圓的方程一題多解與

■郭 永

圓的方程一題多解與

■郭 永

題目 經(jīng)過點(diǎn)A（5，2），B（3，—2），且圓心在直線2x—y—3=0上的圓C的方程為____。

解法1：設(shè)圓心坐標(biāo)為C（a，b）。

由題意可知kAB=2，A，B兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）。

因?yàn)閳AC 過A（5，2），B（3，—2）兩點(diǎn)，所以圓心一定在線段AB的垂直平分線上，可

故所求圓C 的方程為（x—2）2+（y—l）2=l0。

解法2：設(shè)圓C的方程為（x—a）2+（y—b）2=r2。

故圓C的方程為（x—2）2+（y—l）2=l0。

解法3：設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中D2+E2—4F＞0）。

故所求圓C的方程為x2+y2—4x—2y—5=0。

方法總結(jié)：求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件選擇合適的圓的方程。一般來說，求圓的方程有兩種方法：①幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量。②代數(shù)法，先設(shè)出圓的方程，再用待定系數(shù)法求解。

跟蹤訓(xùn)練：求下列圓的方程：

（l）圓心在直線y=—4x上，且與直線l：x+y—l=0相切于點(diǎn)P（3，—2）。

（2）經(jīng) 過 三 點(diǎn) A （l，l2），B （7，l0），C（—9，2）。

提示：（l）（法l）設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—a）2+（y—b）2=r2。

由題意可得方程組：

故所求圓的方程為（x—l）2+（y+4）2=8。

（法2）過切點(diǎn)P（3，—2）且與x+y—l=0垂直的直線為y+2=x—3，與直線y=—4x聯(lián)立解得圓心坐標(biāo)為（l，—4）。

故所求圓的方程為（x—l）2+（y+4）2=8。

（2）（法l）設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0。

把A，B，C三點(diǎn)代入一般方程后解得D=—2，E=—4，F(xiàn)=—95。

故所求圓的方程為x2+y2—2x—4y—95=0。

（法2）由題設(shè)可得線段AB的中垂線方程為3x—y—l=0，線段AC的中垂線方程為x+y—3=0。

故所求圓的方程為（x—l）2+（y—2）2=l00。

河南商丘市第一高級(jí)中學(xué)

（責(zé)任編輯 郭正華）