董秀明

[摘 要] 為了滲透數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的直觀思維能力，筆者教授“平方差公式”（蘇科版七年級下冊第九章）這節(jié)課時(shí)采取了“構(gòu)圖”模式. “構(gòu)圖”或許會(huì)讓課堂的時(shí)間顯得不那么緊湊和有效，但“構(gòu)圖”卻“構(gòu)”出了課堂的別樣精彩！

[關(guān)鍵詞] 構(gòu)圖；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)教學(xué)

“構(gòu)圖”引入教學(xué)過程

這一學(xué)年筆者任教兩個(gè)不同層次的班級——2班和4班，2班的層次好一些，在學(xué)習(xí)蘇科版七年級下冊第九章“9.4.2 平方差公式”時(shí)，筆者一時(shí)興起，決定引入“構(gòu)圖”，在兩個(gè)班級采用不同的方式講授.

和前面幾節(jié)課的引入一樣，筆者在4班仍請同學(xué)們觀察課本9-5的圖形，然后請大家用“面積法”求陰影部分的面積.

同學(xué)們因?yàn)橛辛饲皫坠?jié)課的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，所以很快就類比得出了陰影部分面積的兩種表示方法，即（a+b）（a-b）與a2-b2，于是可以得到（a+b）（a-b）=a2-b2.

這樣的引入學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣和熟悉，所以他們很快便得到了答案，師生皆大歡喜，我們很順利地進(jìn)入下一環(huán)節(jié)……筆者大概看了一下，這里引入的時(shí)間不足五分鐘.

到了2班，因?yàn)榍耙还?jié)課筆者已經(jīng)讓同學(xué)們仿照課本求（a+b）2的方法，通過“構(gòu)圖”求（a-b）2了，且同學(xué)們做得還不錯(cuò)，有了這樣的鋪墊，這一節(jié)課筆者“心血來潮”，想請同學(xué)們繼續(xù)從圖形直觀的角度，通過“構(gòu)圖”來求（a+b）（a-b）. 這里，筆者預(yù)估的時(shí)間是5～6分鐘，筆者請了四位同學(xué)來“板演”.

大約3分鐘左右，黑板上同學(xué)畫的圖形陸陸續(xù)續(xù)出來了，筆者抬頭一看，竟然清一色的是相同的圖形（如圖1），但沒有另一種表示面積的方法呈現(xiàn)，幾位同學(xué)都愣在那兒，筆者看完也懵了，因?yàn)檫@不在筆者的預(yù)料之中，于是筆者立即問下面的同學(xué)：“有同學(xué)畫出來了嗎？”話音剛落，有好幾位同學(xué)舉起了手，筆者頓感欣慰，于是請板演的四位同學(xué)回座位，請舉手的同學(xué)上來，心想或許他們能“救場”.

不出所料，幾位同學(xué)真不錯(cuò)，圖形都畫出來了（如圖2）.

在這幾位同學(xué)中，有兩位同學(xué)將陰影部分分割之后拼成了一個(gè)長方形，此時(shí)長正好是a+b，寬正好是a-b，從而得出（a+b）（a-b）=a2-b2；還有一位同學(xué)將陰影部分分割成兩個(gè)形狀、大小相同的梯形，然后將兩個(gè)梯形拼成一個(gè)新的梯形，梯形的上底是2a，下底是2b，高是（a-b），從而得到（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）=a2-b2；最后一位同學(xué)也是分割成兩個(gè)形狀、大小相同的梯形，只不過這位同學(xué)將梯形拼成了一個(gè)平行四邊形，平行四邊形的底是a+b，高是a-b，從而得出（a+b）（a-b）=a2-b2.

下面的同學(xué)看了以上的“構(gòu)圖”，都發(fā)出了“哦，哦……”的聲音，有的同學(xué)還在竊竊私語：“我怎么沒有想到呢？”“原來這么簡單??！”

此刻的筆者也很欣慰，欣慰的是第二批板演的同學(xué)都能很好地構(gòu)造出圖形，欣慰的是下面的同學(xué)似乎都明白了怎么構(gòu)圖. 乘著興致，筆者決定問問同學(xué)們是如何思考的.

師：“A，B兩位同學(xué)的圖形是一樣的，思路也是一樣的，下面我們請A同學(xué)來說一下想法.”

A同學(xué)：“這個(gè)畫法不是我想出來的，因?yàn)槲抑耙呀?jīng)預(yù)習(xí)過課本了，記住了課本上的畫法.”

好一個(gè)誠實(shí)的孩子，同學(xué)們聽了也哈哈大笑起來. 于是筆者請C同學(xué)來說說想法.

C同學(xué)：“我一開始也沒有想出來，后來我就用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算出（a+b）（a-b）=a2-b2，然后我就想到構(gòu)造一個(gè)邊長為a的正方形，在這個(gè)正方形里面再構(gòu)造一個(gè)邊長為b的正方形，圖形就出來了，并且a2-b2表示的就是剩余部分的面積，只要把剩余部分的面積用另一種方式表示出來就可以了，所以我想到將它分割成兩個(gè)梯形，再拼成一個(gè)大的梯形，面積正好是（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）.”

C同學(xué)說完，筆者示意他坐下，頓有感觸：“同學(xué)們的想法會(huì)超出老師的預(yù)期！”下面的同學(xué)不再作聲，默默地聽著，若有所思地點(diǎn)頭. 有些同學(xué)低聲懊悔：“我怎么就沒有想到呢？”于是筆者趁熱打鐵，繼續(xù)請D同學(xué)來說說想法.

“我和C同學(xué)的想法差不多.”D同學(xué)有些害羞地回答道.

板演同學(xué)的回答讓同學(xué)們茅塞頓開，就在這時(shí)，E同學(xué)舉起了手.

筆者還沒來得及進(jìn)行進(jìn)一步分析，目光和E同學(xué)的目光相遇后，他就迫不及待地站了起來：“我還是上去講吧！”他一邊說著一邊往講臺(tái)上走，走到講臺(tái)時(shí)很麻利地擦了黑板，拿了粉筆就畫起圖來，顯然此時(shí)的他胸有成竹，迫不及待.

“我一開始和剛上來的同學(xué)一樣，一想到（a+b）（a-b），就想到構(gòu)造一個(gè)長為a+b、寬為a-b的長方形，剛剛受C同學(xué)的啟發(fā)，我就想，將這個(gè)長方形分割成兩個(gè)長方形，一個(gè)是長為a、寬為a-b的長方形，大家看，另一個(gè)則是長為b、寬為a-b的長方形.”（如圖3）他邊說邊畫，由于有些激動(dòng)，講臺(tái)上的三角尺他都沒有用，所以畫出來的線有些彎曲，不過無礙.

“接著，我把右側(cè)的長方形移到下面來，就是這樣（如圖4）.”

“上面的大長方形（圖3）整體求面積就是（a+b）（a-b），下面的圖形（圖4），我用‘補(bǔ)的方法，補(bǔ)上去的左下角的圖形正好是邊長為b的正方形（如圖5），所以面積是a2-b2.”

E同學(xué)講得很激動(dòng)，下面的同學(xué)估計(jì)還沒有完全聽明白，他已經(jīng)興奮地回到座位了.

顯然E同學(xué)的想法很棒，他積極思考，有了新的見解，此時(shí)，筆者為孩子們的精彩表現(xiàn)而倍感高興. 此刻筆者也習(xí)慣性地抬頭看了看時(shí)間，這一看嚇了一跳，半節(jié)課的時(shí)間已經(jīng)過去了，于是筆者欣喜又無奈地結(jié)束了這段“構(gòu)圖”的引入，因?yàn)楹竺孢€有很多內(nèi)容等著我們?nèi)W(xué)習(xí)……

教學(xué)反思

1. “構(gòu)圖”：教與學(xué)的“橋梁”

到下課的時(shí)候，筆者的例題還沒有講完. 回到辦公室，筆者的心情無法言說. 4班不到五分鐘的引入，在2班卻整整用了半節(jié)課的時(shí)間，問題出在了哪里？難道筆者的一時(shí)心血來潮是錯(cuò)誤的？2班也應(yīng)像4班那樣引入？但筆者回過頭來想2班同學(xué)的種種想法，盡管“耽誤”了課堂時(shí)間，但孩子們有真思考、真想法、真表現(xiàn)，這些在課堂上閃現(xiàn)出來的“智慧”火花，又何嘗不寶貴呢？這些疑慮讓筆者陷入了沉思……筆者決定再次打開教參，仔仔細(xì)細(xì)地閱讀這部分內(nèi)容，同時(shí)，筆者還借來了人教版的教參，想一下子研究透徹.

蘇科版“9.4乘法公式”的教學(xué)目標(biāo)中明確指出：一是能推導(dǎo)平方差公式，了解公式的幾何背景，并能利用公式進(jìn)行簡單計(jì)算；二是經(jīng)歷探索平方差公式的過程，進(jìn)一步感悟數(shù)與形的關(guān)系，感悟數(shù)形結(jié)合思想，知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性. 筆者也翻閱了人教版的教參，課本中明確指出：本章教科書注意了代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想和方法，在乘法公式部分，借助幾何圖形對運(yùn)算法則及公式做出了直觀解釋，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系和統(tǒng)一，能讓學(xué)生更好地理解有關(guān)知識(shí).

同時(shí)，筆者還和組內(nèi)的老師一起進(jìn)行了討論，老師們的意見如下：對于層次較好的班級，應(yīng)該可以用筆者的引入方式，同學(xué)們多思考、真思考，肯定會(huì)帶來真見解，對平方差公式的理解會(huì)更到位、更深刻！但對于層次一般的班級，我們應(yīng)該提供相關(guān)圖形，以使學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)并歸納即可，因?yàn)楸菊n的重點(diǎn)是平方差公式的特點(diǎn)歸納及應(yīng)用.

經(jīng)過以上查閱、探討、分析，筆者覺得有必要找學(xué)生談?wù)? 第二天，筆者請了4班和2班各兩位層次相近的同學(xué)，筆者現(xiàn)場出題，請四位同學(xué)“構(gòu)圖”，用面積法求（a+b）（a-b），3分鐘不到，2班的兩位同學(xué)就完成了，而4班的兩位同學(xué)大概花了8～10分鐘，接著，筆者又出了四題應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的題目，這次四位同學(xué)不分伯仲，竟然都很快地計(jì)算出來了且都正確.

2. “構(gòu)圖”：知與能的“支點(diǎn)”

筆者靜靜地梳理著這一節(jié)課從開始到現(xiàn)在四位同學(xué)測試結(jié)束的這段時(shí)間，有了如下一些想法：第一，筆者還是堅(jiān)持自己的做法，啟發(fā)學(xué)生類比前面所學(xué)的內(nèi)容，繼續(xù)“構(gòu)圖”，通過面積法求（a+b）（a-b），甚至筆者可以在兩個(gè)班都這樣操作；第二，為了不喧賓奪主，學(xué)生又能進(jìn)一步感受并經(jīng)歷“構(gòu)圖”的過程，能更好地感悟數(shù)與形的關(guān)系，筆者覺得這樣的操作可以放在課前進(jìn)行，成為同學(xué)們預(yù)習(xí)的材料；第三，“數(shù)缺形時(shí)少直觀”，今天的學(xué)習(xí)并不僅僅是為解決平方差公式，同學(xué)們還要經(jīng)歷初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更多的“數(shù)形結(jié)合”，今天課堂“耽誤”的時(shí)間，一定能夠在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中節(jié)省更多的時(shí)間. 學(xué)生鍛煉得愈多，收獲也一定愈多！