淺談恒成立與存在性問題的綜合應(yīng)用

孫濤+易如躍

摘 要：恒成立問題與存在性問題是近幾年高考熱點(diǎn)之一，常出現(xiàn)于函數(shù)、不等式等問題中.主要探討了當(dāng)恒成立問題和存在性問題出現(xiàn)在同一函數(shù)或不同函數(shù)時(shí)，孰先孰后如何解決等問題，旨在為以后解題提供一種思路.

關(guān)鍵詞：恒成立問題；存在性問題；最值；不等式

恒成立思想與存在性思想在近幾年高考數(shù)學(xué)中屢見不鮮，其分值一般較高.當(dāng)其單一出現(xiàn)于一個(gè)題中時(shí)，解題較方便，在相關(guān)論文[1][2]中已有所介紹.但當(dāng)兩個(gè)問題同時(shí)出現(xiàn)于同一函數(shù)或不等式時(shí)，先考慮恒成立問題還是先考慮存在性問題，還是同時(shí)考慮？這要根據(jù)具體問題的復(fù)雜性適時(shí)作出決定.

恒成立問題和存在性問題已經(jīng)研究的很詳細(xì)了，其方法也相對成熟了.本文將從幾道題入手來探究同一函數(shù)或不同函數(shù)同時(shí)出現(xiàn)恒成立問題或存在性問題時(shí)，孰先考慮孰后考慮等問題.旨在總結(jié)一種方法提供一種思路.所涉及的主題思想如下：

（1）？坌x1∈[a，b]，？坌x2∈[c，d]，若f（x1）>g（x2）恒成立，則f（x）min>g（x）max.

（2）？坌x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，若f（x1）>g（x2）恒成立，則f（x）min>g（x）min.

（3）？堝x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，若f（x1）>g（x2）恒成立，則f（x）max>g（x）min.

例題1：已知函數(shù)f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R.如對？坌b∈[-2，-1]，？堝x∈（1，e），使得f（x）<0成立，求實(shí)數(shù)a的范圍.

分析：本題既有？坌b∈[-2，-1]，？堝x∈（1，e），使得f（x）<0，是先解決恒成立問題還是存在性問題要具體對待，本題可先解決恒成立問題，讓問題參變量減少，再解決存在性問題.

解：令g（b）=ax2+bx-lnx，？坌b∈[-2，-1]，都有g(shù)（b）<0，只需g（b）max<0. g（b）=xb+ax2-lnx，？坌b∈[-2，-1]的圖像是一條線段，因?yàn)槠湎禂?shù)x∈（1，e），故y=g（b）是增函數(shù)，g（b）max=g（-1）.

對？坌b∈[-2，-1]，？堝x∈（1，e），使得ax2+bx-lnx<0成立，即

g（-1）<0，即ax2-x-lnx<0.

即a<，？堝x∈（1，e）. 令h（x）=，a∵x∈（1，e），∴h′（x）<0，∴a

練習(xí)1：

已知函數(shù)f（x）=lnx，對？坌a∈[-1，0），若不等式f（x）

例題2：已知函數(shù)f（x）=x3-ex2+mx+1，（m∈R），g（x）=.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.

（2）對任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)x1，x2，若g（x1）

分析：本題主要探究不同函數(shù)之間的恒成立問題，針對此題可以根據(jù)恒成立思想，分別考慮各自函數(shù)的最值，來解決問題.

解：

（1）略

（2）對任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)x1，x2，若g（x1）

解析：f′（x）=x2-2ex+m是開口向上的二次函數(shù)，在對稱軸x=e處取得最小值.

f′（x）min=f′（e）=m-e2，∵x∈（0，+∞），g′（x）=，令g′（x）=0，∴x=e，g（x）在（0，e）上為增函數(shù)，在（e，+∞）上為減函數(shù)，∴g（x）max=

g（e）=，故有m-e2>，∴m>e2+.

練習(xí)2：已知函數(shù)f（x）=+lnx，g（x）=x3-x2-3.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

（2）如果對于？坌x1，x2∈[，2]，都有x1f（x1）≥g（x2）成立，試求a的取值范圍.

本文通過兩個(gè)例題的精講以及兩個(gè)練習(xí)的精練，一是研究了恒成立問題和存在性問題在同一函數(shù)和不同函數(shù)中孰先孰后問題，二是鞏固了對文章中知識，思想的實(shí)際效果的檢測.總之，本文給以后解決此類問題指明了方向，提供了思路.

參考文獻(xiàn)：

[1]孫濤，易如躍.淺談高中數(shù)學(xué)變量分離法的應(yīng)用及一題多解[J].讀寫算，2011（51）.

[2]易如躍，孫濤.淺談恒成立思想的推廣[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2016（3）.

作者簡介：孫濤，男，漢族，皖合肥，研究生，中學(xué)二級教師，研究方向：恒成立問題與存在性問題；

易如躍，女，漢族，魯濟(jì)寧，研究生，中學(xué)二級教師，研究方向：恒成立問題與存在性問題。

？誗編輯 謝尾合