桂然然, 劉 鳳, 宋衛(wèi)東

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 安徽 蕪湖 241003)

1 引言與主要結(jié)果

對(duì)偶平坦[1]的Finsler度量在信息幾何、 超弦理論及相對(duì)論等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 沈忠民[2]將對(duì)偶平坦的概念推廣到Finsler空間上, 并用一組偏微分方程刻畫局部對(duì)偶平坦的Finsler度量, 即F=F(x,y)是U ?n上的Finsler度量, 則F是對(duì)偶平坦的當(dāng)且僅當(dāng)

[F2]xkylyk-2[F2]xl=0.

因此, 研究和構(gòu)造對(duì)偶平坦的Finsler度量是Finsler幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題. 目前, 已涌現(xiàn)許多對(duì)偶平坦Finsler度量[3-12], 例如: 單位球Bn?n上的Funk度量[3-4]

(1)

李本伶[5]根據(jù)Berwald度量[13-14]構(gòu)造的對(duì)偶平坦Finsler度量

(2)

研究表明, Finsler度量(1),(2)均可視為歐氏度量|y|>、 內(nèi)積〈x,y〉以及歐氏范數(shù)|x|>構(gòu)成的度量. 周林峰[15]證明了任何球?qū)ΨQFinsler度量都可表示為|y|>,〈x,y〉和|x|>構(gòu)成的度量. 本文考慮更一般的情形, 即由|y|>,〈x,y〉,|x|>,〈a,y〉和〈a,x〉構(gòu)成的對(duì)偶平坦Finsler度量. 李本伶[5]構(gòu)造了該類對(duì)偶平坦的Finsler度量:

(3)

本文研究是否存在更多的由|y|>,〈x,y〉,|x|>,〈a,y〉和〈a,x〉構(gòu)成的對(duì)偶平坦Finsler度量. 因此, 考慮下列Finsler度量：

(4)

其中:x∈n;y∈Txn;a為n上的任一常量;f為光滑函數(shù). 本文給出Finsler度量(4)為對(duì)偶平坦的等價(jià)條件：

sfu s+tfv s+fs s-2fu=0,

(5)

sfu s+tfv t+fs t-2fv=0,

(6)

其中:

為找到更明確的度量, 本文考慮一種特殊情形下的解. 大多數(shù)例子如式(1)～(3)都滿足ftt=0, 在該條件下, 可得以下結(jié)論:

定理2如果ftt=0, 則下列函數(shù)為方程(5)-(6)的解:

(7)

顯然, 式(7)中f滿足ftt=0. 根據(jù)定理1和定理2可得以下推論:

sfus+fss-2fu=0.

(8)

且對(duì)任意光滑函數(shù)g和θ, 方程(8)的解可表示為

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)M是一個(gè)n維的光滑實(shí)流形,TxM是x∈M處的切空間, 則TM∶=∪TxM={(x,y)|x∈M,y∈TxM}是M的切叢. 流形TM{0}稱為帶孔切叢, 其中{0}表示零截面.

設(shè)M是一個(gè)n維的光滑流形, 如果函數(shù)F∶=TM→[0,+∞)滿足:

1) 正則性:F在TM{0}上是光滑函數(shù);

2) 正齊性:F(x,λy)=λF(x,y), ?λ>0;

3) 強(qiáng)凸性: 在TM{0}的任意局部坐標(biāo)系(xi,yi)中,n×n矩陣(gij)是正定的, 其中

(9)

則稱F是流形M上的Finsler度量. 具有Finsler度量的流形稱為Finsler流形, 記作(M,F). 張量

g∶=gij(x,y)dxi?dxj

是切叢TM上的二階正定對(duì)稱協(xié)變張量, 稱為F的基本張量.

在Finsler幾何中, 測(cè)地系數(shù)

(10)

其中:

如果流形M上的Finsler度量F稱為對(duì)偶平坦的, 則其在TM上任一點(diǎn)都存在局部坐標(biāo)系(xi), 使得

其中H=H(x,y)是切叢TM上的一個(gè)標(biāo)量函數(shù).

引理1[2]設(shè)F(x,y)是開(kāi)集U ?n上的一個(gè)Finsler度量, 則F是對(duì)偶平坦的當(dāng)且僅當(dāng)

[F2]xkylyk-2[F2]xl=0,

(11)

3 定理的證明

3.1 定理1的證明

直接計(jì)算可得

(12)

(13)

將式(12),(13)代入式(11), 可得

整理可得

(14)

令

A=sfus+tfvs+fss-2fu,B=sfut+tfvt+fst-2fv,

則式(14)可寫為

(|y|>xl-syl)|y|>A+(|y|>al-tyl)|y|>B=0.

(15)

式(15)對(duì)任意的x,y都成立, 故可得A=0,B=0.

3.2 定理2的證明

由定理1可知

(sfu+tfv+fs)s-2fu=0,

(16)

(sfu+tfv+fs)t-2fv=0.

(17)

將式(16),(17)分別求關(guān)于t和s的微分, 可得

由式(18),(19), 可得

fut=fvs.

(20)

假設(shè)ftt=0, 令

f∶=φ(u,s,v)t+ψ(u,s,v).

(21)

將式(21)代入式(20), 可得

φu=φsvt+ψsv.

(22)

又φ,ψ與變量t無(wú)關(guān), 故由式(22)可得

φsv=0,

(23)

φu=ψsv.

(24)

將式(21)代入式(16), 有

t2φsv+t(sφus+φss+ψsv-2φu)+sψu(yù)s+ψss-2ψu(yù)=0.

(25)

再由式(23),(24), 可將式(25)化簡(jiǎn)為

t(sφus+φss-φu)+sψu(yù)s+ψss-2ψu(yù)=0.

(26)

式(26)對(duì)任意的t都成立, 則式(26)等價(jià)于

sφus+φss-φu=0,

(27)

sψu(yù)s+ψss-2ψu(yù)=0.

(28)

再將式(21)代入式(17), 有

(sφu+φs-2ψv)-tφv=0.

同理, 有

φv=0,

(29)

sφu+φs-2ψv=0.

(30)

根據(jù)式(29), 可將φ定義為

φ=φ(u,s).

(31)

考慮如下的變量替換：

(32)

其中h=h(u)是關(guān)于u的光滑函數(shù). 對(duì)式(30)求關(guān)于u和s的微分, 分別為

將式(33),(34)代入式(18), 可得

(35)

因此存在一個(gè)光滑函數(shù)ω=ω(u,x), 使得

(36)

下面確定ω=ω(u,x), 對(duì)式(36)直接計(jì)算可得

將式(37)～(39)代入式(28)中, 有

sωus+ωss-2ωu=0.

(40)

求方程(40)關(guān)于s的微分, 得

sωuss+ωsss-ωus=0.

(41)

令ξ∶=ωs, 則式(41)可寫為

sξus+ξss-ξu=0.

(42)

顯然ξ滿足

(43)

其中ρ=ρ(u)是關(guān)于u的光滑函數(shù). 故由ξ=ωs可知, 存在光滑函數(shù)θ=θ(u), 使得

(44)

對(duì)式(44)直接計(jì)算, 有

再將式(45)～(47)代入式(40), 可得

ρ(u)=2θ′(u).

則ω可寫為

(48)

根據(jù)式(48), 有

(49)

將式(32),(49)代入式(21), 可得

證畢.

[1] Amari S, Nagaoka H. Methods of Information Geometry [M]. Providence, RI: American Mathematical Society, 2007.

[2] SHEN Zhongmin. Riemann-Finsler Geometry with Applications to Information Geometry [J]. Chinese Annals of Mathematics (Series B), 2006, 27(1): 73-94.

[3] Funk P. über Geometrien bei Denen die Geraden die Kürtzesten Sind [J]. Mathematische Annalen, 1929, 101(1): 226-237.

[4] Funk P. über Zweidimensionable Finslersche R?ume, Insbesondere über Solche Mit Geradlinlgen Extremalen und Positiver Konstanter Krümmung [J]. Mathematische Zeitschrift, 1936, 40(1): 86-93.

[5] LI Benling. On Dually Flat Finsler Metrics [J]. Differential Geometry and Its Applications, 2013, 31(6): 718-724.

[6] XIA Qiaoling. On Locally Dually Flat (α,β)-Metrics [J]. Differential Geometry and Its Applications, 2011, 29(2): 233-243.

[7] YU Changtao. On Dually Flat General (α,β)-Metrics [J]. Differential Geometry and Its Applications, 2015, 40: 111-122.

[8] HUANG Libing, MO Xiaohuan. On Some Explicit Constructions of Dually Flat Finsler Metrics [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2013, 405(2): 565-573.

[9] CHENG Xinyue, SHEN Zhongmin, ZHOU Yusheng. On Locally Dually Flat Finsler Metrics [J]. International Journal of Mathematics, 2010, 21(11): 1531-1543.

[10] CHENG Xinyue, TIAN Yanfang. Locally Dually Flat Finsler Metrics with Special Curvature Properties [J]. Differential Geometry and Its Applications, 2011, 29(1): 98-106.

[11] XIA Qiaoling. On a Class of Locally Dually Flat Finsler Metrics of Scalar Flag Curvature [J]. Publicationes Mathematicae Debrecen, 2011, 78(1): 169-190.

[12] YU Changtao. On Dually Flat Randers Metrics [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2014, 95: 146-155.

[13] Berwald L. über dien-Dimensionalen Geometrien Konstanter Krümmung, in Denen die Geraden die Kürzesten Sind [J]. Mathematische Zeitschrift, 1929, 30(1): 449-469.

[14] Berwald L. über Eine Charakteristiche Eigenschaft der Allgemeinen R?ume Konstanter Krümmung Mit Geradlinigen Extremalen [J]. Monatshefte für Mathematik und Physik, 1929, 36(1): 315-330.

[15] ZHOU Linfeng. Spherically Symmetric Finsler Metric inn[J]. Publicationes Mathematicae Debrecen, 2012, 80(1/2): 67-77.