陳潤(rùn)

題目 已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（0，1），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP=αOM+βON，其中α2+β2=1，α，β∈R.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）求PM·PN的取值范圍.

一、考點(diǎn)解析

1.本題第一問(wèn)涉及簡(jiǎn)單向量化簡(jiǎn)，而后代換求軌跡問(wèn)題，難度不大.第二問(wèn)通過(guò)簡(jiǎn)單的向量計(jì)算后得到一個(gè)二元二次式，而后求二元二次式所對(duì)應(yīng)的取值范圍（是本題的難點(diǎn)）.

2.本題主要考查考生應(yīng)用換元法進(jìn)行化歸的能力.高中數(shù)學(xué)對(duì)換元思想有很高的要求，在函數(shù)、解析幾何等知識(shí)中都有很高的應(yīng)用要求.

二、題目解析

解 （1）設(shè)P的坐標(biāo)為P（x，y），

則由OP=αOM+βON，得（x，y）=（-α，β），

∴x=-α，y=β. ∵α2+β2=1，α，β∈R，

∴x2+y2=1，即為P的軌跡方程.

（2）設(shè)P（x，y），則PM=（-1-x，-y），PN=（-x，1-y），

∴PM·PN=-x（-1-x）+（-y）（1-y）=x2+y2+x-y.

以下針對(duì)第二問(wèn)分四種方法進(jìn)行解答：

法一 ∵x2+y2=1，∴PM·PN=x-y+1.

∵x2+y2=1，令x=cosθ，y=sinθ， θ∈[0，2π），

∴x-y+1=cosθ-sinθ+1=2cosθ+π4+1，θ∈[0，2π）.

∵θ+π4∈π4，9π4，∴cosθ+π4∈[-1，1]，

即PM·PN∈[1-2，1+2].

法二 ∵x2+y2=1，∴PM·PN=x-y+1.

令u=x-y+1，則y=x-u+1，代入x2+y2=1得

2x2+（2-2u）x+u2-2u=0.

由Δ=（2-2u）2-8（u2-2u）≥0，

∴1-2≤u≤1+2，

即PM·PN∈[1-2，1+2].

法三 ∵x2+y2=1，∴PM·PN=x-y+1.

令u=x-y+1，則y=x-u+1.

∵P滿(mǎn)足x2+y2=1，也滿(mǎn)足y=x-u+1，

∴圓與直線有公共點(diǎn)，

即|-u+1|12+（-1）2≤11-2≤u≤1+2，

即PM·PN∈[1-2，1+2].

法四 ∵PM·PN=x2+y2+x-y

=x+122+y-122-12

=x+122+y-1222-12.

而x+122+y-1222表圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)-12，12的距離.

圓心（0，0）到-12，12的距離

d=0+122+0-122=22.

∵圓的半徑r=1，

∴x+122+y-1222∈1-222，1+222，

∴x+122+y-1222∈32-2，32+2，

即PM·PN∈[1-2，1+2].

三、學(xué)情與教學(xué)對(duì)策

1.該考點(diǎn)要求能熟練地利用換元和化歸思想.學(xué)生對(duì)換元、化歸的思想的理解沒(méi)形成系統(tǒng)，對(duì)學(xué)生有難度.

2.該題的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)在平面向量、三角函數(shù)、直線與圓、參數(shù)方程等都有涉及.相關(guān)的思想教學(xué)是高中教學(xué)的重點(diǎn).

3.從此題來(lái)看，數(shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)注重思想的教學(xué)，同時(shí)應(yīng)注重知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)性.學(xué)生在學(xué)習(xí)中應(yīng)該注意知識(shí)點(diǎn)的整合，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)應(yīng)該把重心放到思想悟化上來(lái).很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，老是學(xué)啥會(huì)啥，學(xué)啥忘啥，誘因就是學(xué)習(xí)的重心停留在記憶和模仿上.對(duì)知識(shí)點(diǎn)的整合和對(duì)思想的悟化應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的重要突破口.

四、試題的拓展、變式分析

1.此題的解析思想可用于函數(shù)的解析式、值域、消元降次、不等式等的求解.

舉例如下：

（1）若f（x）=x，求f（x）；

（2）求f（x）=x+1-x2的值域；

（3）若點(diǎn)（x，y）是圓x2+y2=1上的點(diǎn)，求x+y的最值；

（4）圓x2+（y-1）2=1上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）使得x+y+m≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

以上問(wèn)題用換元、三角代換、數(shù)形結(jié)合等方法能進(jìn)行解決.

2.試題的改編分析

（1）第一問(wèn)可改變題干的內(nèi)容，讓求出的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程是圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，

例如，將α2+β2=1改為α42+β2=1，α42-β2=1，β=α42，則分別得到橢圓、雙曲線、拋物線的軌跡方程.

（2）第二問(wèn)可改為下列問(wèn)題：

① 求二元一次式的范圍，例如，求ax+by+c的取值范圍；

② 求二元二次式的范圍，例如，求x2+y2+Dx+Ey+F（D2+E2-4F>0）的取值范圍；

③ 求某類(lèi)分式的取值范圍，例如，求y-bx-a的取值范圍；

④ 求某類(lèi)含絕對(duì)值式的取值范圍，例如，求|ax+by+c|的取值范圍；

⑤ 求某類(lèi)含根號(hào)式的取值范圍，例如，求（x-a）2+（y-b）2的取值范圍.

以上問(wèn)題用消元、三角代換、線性與非線性規(guī)劃、數(shù)形結(jié)合等方法能進(jìn)行解決.

3.命題趨勢(shì)

第一問(wèn)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程多以圓、橢圓、雙曲線、拋物線出現(xiàn)，新課標(biāo)下圓的地位要引起足夠的重視.

第二問(wèn)的題型多以求一元一次式、含參數(shù)的一元一次式、分式為主，新課標(biāo)下一元一次式、含參數(shù)的一元一次式要引起足夠的重視.endprint