基于機(jī)會(huì)的教學(xué)立意
——以“二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系”教學(xué)為例

☉浙江省建德市梅城初級(jí)中學(xué) 沈 莉

一、二次函數(shù)不等式教學(xué)的現(xiàn)狀

二次函數(shù)是浙教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第一單元的內(nèi)容.學(xué)生在八年級(jí)學(xué)習(xí)一次函數(shù)和反比例函數(shù)，七年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)一元一次方程，八年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)一元二次方程，八年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)一元一次不等式等基本知識(shí).在此基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)二次函數(shù)及二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系，既便于學(xué)生理解其中的本質(zhì)，也達(dá)到了學(xué)以致用的效果.

二次函數(shù)一直受到初中學(xué)生和教師的高度重視.類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，二次函數(shù)的概念及其圖像和性質(zhì)的學(xué)習(xí)容易讓學(xué)生理解.但在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)二次函數(shù)與方程、不等式結(jié)合起來(lái)的時(shí)候，學(xué)生的思路就不太清晰了.這就要求學(xué)生注重對(duì)二次函數(shù)的理解和鞏固練習(xí)，還要求教師注重課堂效率，注重教學(xué)方法.讓學(xué)生在拋物線和方程、不等式的學(xué)習(xí)中體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想，解決二次函數(shù)不等式學(xué)習(xí)的重、難點(diǎn).

二、機(jī)會(huì)的教之釋義

機(jī)會(huì)的教，就是抓住課堂教學(xué)過(guò)程中學(xué)生迸發(fā)的閃光點(diǎn)進(jìn)行延伸、拓展教學(xué).在理解教材、理解課標(biāo)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上，針對(duì)學(xué)生原有的知識(shí)和能力，以及學(xué)生的錯(cuò)解，分析、總結(jié)，從而進(jìn)一步拓展教學(xué).

在學(xué)生原有的認(rèn)知和理解能力的基礎(chǔ)上展開(kāi)拓展.在學(xué)生能熟練得到一個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸及圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)后，基于機(jī)會(huì)的教要求教師找準(zhǔn)時(shí)機(jī)，提出適合的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考、比較，并得到相關(guān)結(jié)論.例如本課中，教師在學(xué)生求出函數(shù)y=x2+4x+3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)后，教師提問(wèn)：“你是怎么求得交點(diǎn)坐標(biāo)的呢？為什么要令y=0？”學(xué)生會(huì)回答x軸就是直線y=0.教師拋出問(wèn)題：“拋物線y=x2+4x+3與直線y=x+7的交點(diǎn)的坐標(biāo)怎么求？”學(xué)生通過(guò)類比會(huì)得到方程x2+4x+3=x+7，求得x1=1，x2=-4，再回代求y.由學(xué)生已經(jīng)掌握得比較好的知識(shí)能力入手，向?qū)W生不易理解的問(wèn)題轉(zhuǎn)變，銜接自然且容易讓學(xué)生理解其中的聯(lián)系點(diǎn).

理解教材、理解課標(biāo)地開(kāi)展教學(xué).浙教版九年級(jí)第一單元中二次函數(shù)的應(yīng)用中有例題：利用二次函數(shù)的圖像求方程x2+x-1=0的解（或近似解）.方程的解即函數(shù)y=x2+x-1與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以理解為函數(shù)y=x2+x與y=1的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，或者當(dāng)作y=x2與y=1-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).此過(guò)程可以通過(guò)幾何畫板的展示，問(wèn)題引導(dǎo)，學(xué)生判斷、分析、比較，從而對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和體會(huì).筆者在本節(jié)課的例題題干中只出示二次函數(shù)的解析式，第一個(gè)問(wèn)題就要求學(xué)生畫出圖像，在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上步步引導(dǎo)，通過(guò)一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把函數(shù)的解析式聯(lián)立得到的方程與圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)建立關(guān)系.

三、基于機(jī)會(huì)的教的教學(xué)立意構(gòu)建

教學(xué)過(guò)程中，筆者把多種方式結(jié)合起來(lái).提出問(wèn)題后，由學(xué)生猜想、小組討論合作完成，如在同一直角坐標(biāo)系中的圖像，比較三個(gè)函數(shù)的圖像，有什么發(fā)現(xiàn)？它們之間有什么共同點(diǎn)和區(qū)別？分組合作，并以組為單位分享收獲，既發(fā)揮學(xué)生的主體性，提高學(xué)生的興趣，還能更有效地掌握二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì).

本節(jié)課筆者主要對(duì)二次函數(shù)的圖像展開(kāi)討論研究，讓學(xué)生畫二次函數(shù)的圖像，分析對(duì)稱性、增減性、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再由特殊到一般，類比拋物線與直線交點(diǎn)的求解方法，得到圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與方程解的對(duì)應(yīng)關(guān)系.通過(guò)畫圖、分析、計(jì)算，得到拋物線與直線的交點(diǎn)，與對(duì)應(yīng)一元二次方程解的相關(guān)性.在此過(guò)程中，

（一）課堂教學(xué)方式多樣化，提高學(xué)生對(duì)課堂教學(xué)的興趣

多樣化的教學(xué)手段能幫助教師吸引學(xué)生的注意力，提高對(duì)課堂及知識(shí)點(diǎn)的興趣.幾何畫板就是很好的一種展示工具.通過(guò)改變參數(shù)的值，在幾何畫板中得到二次函數(shù)的圖像動(dòng)起來(lái)的效果，能讓學(xué)生覺(jué)得有意思.借此機(jī)會(huì)，提一些小問(wèn)題，讓學(xué)生猜想，再通過(guò)圖像說(shuō)明.解決問(wèn)題的同時(shí)，讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)產(chǎn)生興趣.然后加一條與拋物線相交的直線，通過(guò)移動(dòng)直線，觀察圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到相關(guān)結(jié)論.多給學(xué)生展示的機(jī)會(huì)，請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)演示動(dòng)態(tài)圖，或者結(jié)合圖像分析.讓小老師們分析解題思路，講解函數(shù)與方程的關(guān)系，課堂效果明顯的同時(shí)還能活躍課堂上學(xué)生的學(xué)習(xí)氛圍.

（二）充分利用現(xiàn)代化教學(xué)工具，增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂的趣味性

在科技高速發(fā)展的今天，教師可以通過(guò)多媒體、畫圖軟件、手機(jī)同屏技術(shù)等現(xiàn)代化教學(xué)工具，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科的趣味性，把學(xué)生帶進(jìn)妙趣橫生的數(shù)學(xué)課堂.

二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)用幾何畫板增強(qiáng)趣味性.比如，在二次函數(shù)1.2.1的學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生掌握形如y=ax2的函數(shù)的畫像和性質(zhì).教師通過(guò)幾何畫板畫出函數(shù)y=圖像，并不斷改變函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)a的值，學(xué)生目不轉(zhuǎn)睛地看變化著的圖像，在幾何畫板中找出這類函數(shù)的明顯特征，很大程度上提高了課堂效率.

手機(jī)同屏技術(shù)的應(yīng)用讓學(xué)生覺(jué)得很新鮮.二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)課——求二次函數(shù)表達(dá)式，教師可針對(duì)二次函數(shù)的三種表達(dá)式（一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式）的不同要求和特點(diǎn)擬兩個(gè)生活中的問(wèn)題給學(xué)生練習(xí).再通過(guò)手機(jī)同屏拍照投影出學(xué)生選用不同表達(dá)式的求解，請(qǐng)學(xué)生討論每個(gè)表達(dá)式適用的問(wèn)題.

當(dāng)然，教學(xué)過(guò)程中教師還可以通過(guò)生活中的視頻、圖片向?qū)W生展示我們的數(shù)學(xué)知識(shí).比如，選學(xué)生在打籃球時(shí)投籃的照片、視頻引入拋物線的概念.通過(guò)下載的FLASH、圖片等網(wǎng)絡(luò)資源，提高函數(shù)與方程學(xué)習(xí)中的直觀性、趣味性.

（三）基于學(xué)生生活的有效提問(wèn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

初中學(xué)生正處于由直觀的形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)變過(guò)程中，對(duì)抽象事物的理解能力比較弱，因此，在課堂教學(xué)中結(jié)合學(xué)生身邊的事例，找到刺激學(xué)生興趣的興奮點(diǎn)相當(dāng)重要.比如，講拋物線時(shí)，教師用投籃過(guò)程中籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡介紹拋物線.同時(shí)提出疑問(wèn)：班里××男生投出的籃球運(yùn)動(dòng)路線是不是拋物線呢？這樣一來(lái)，課堂氣氛就活躍起來(lái)，拋物線也形象直觀了.再問(wèn)：×××同學(xué)擅長(zhǎng)實(shí)心球，那么實(shí)心球擲出后的運(yùn)動(dòng)軌跡是不是拋物線呢？在一部分學(xué)生否定后，引導(dǎo)學(xué)生帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)書本上拋物線的概念.

生活中學(xué)生都逛過(guò)超市，教師可提問(wèn)：大家去超市買東西時(shí)，選擇怎樣的方案能達(dá)到省錢的目的呢？那么，我們就可以用二次函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)方案了.將二次函數(shù)應(yīng)用于生活中，既能使抽象的概念形象化，又可以把學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性調(diào)動(dòng)起來(lái)，達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.

（四）讀懂例題精準(zhǔn)的教，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力

想使例題發(fā)揮應(yīng)有的效果，就要引導(dǎo)學(xué)生先把例題讀懂.讀懂例題的教，可以根據(jù)學(xué)生對(duì)第一個(gè)問(wèn)題的回答情況再進(jìn)一步提問(wèn)、教學(xué)，不能為了完成分析例題這個(gè)任務(wù)才講解習(xí)題.教學(xué)過(guò)程中，對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤理解和解題步驟，千萬(wàn)不能輕易放過(guò)，可以請(qǐng)學(xué)生分享他們的思路和想法，再由別的學(xué)生補(bǔ)充或者糾正，教師只需要在適合的時(shí)候引導(dǎo)、小結(jié)就能達(dá)到較好的效果.

為了讓大家更清晰地理解和掌握二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)聯(lián)，本課的例題只有一個(gè)，即二次函數(shù)y=x2+4x+3.從該函數(shù)自身的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、增減性，到y(tǒng)=x2+4x+3與x軸的交點(diǎn)，再到y(tǒng)=x2+4x+3與直線y=x+7的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及方程x2+4x+3=x+7的解，最后拓展到y(tǒng)=x2+4x+3-（x+7）與x軸的交點(diǎn)情況.解決一個(gè)小題，就及時(shí)做個(gè)小結(jié)，前三個(gè)小題都完成后，學(xué)生通過(guò)類比就能馬上得出問(wèn)題4的解決辦法.在解決所有問(wèn)題之后，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)不管是求函數(shù)的交點(diǎn)，還是一元二次方程的解，其實(shí)就是在解決同一個(gè)問(wèn)題，計(jì)算同一個(gè)方程，從而體會(huì)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，再由一元二次方程變形成不等式，其實(shí)就是函數(shù)圖像上由交點(diǎn)向其他部分轉(zhuǎn)變，進(jìn)而提高學(xué)生分析、解題的能力.

（五）加強(qiáng)相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率

在教學(xué)的引入或者課堂小結(jié)中，可以適當(dāng)采用類比、區(qū)分兩者關(guān)系等方法，既能使得課堂內(nèi)容順暢銜接，也能及時(shí)回顧所學(xué)內(nèi)容，更能幫助教師在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，找準(zhǔn)機(jī)會(huì)進(jìn)行教學(xué).函數(shù)研究的方式與途徑相同，而在二次函數(shù)求值過(guò)程中會(huì)多次出現(xiàn)方程、不等式等.學(xué)生能回答單一知識(shí)點(diǎn)的問(wèn)題，但很難高效地解決綜合性強(qiáng)的問(wèn)題.

筆者認(rèn)為二次函數(shù)是中考的重、難點(diǎn).二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用通常都會(huì)與方程、不等式、分類討論及一些實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，這就要求有更強(qiáng)的邏輯性，有更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和更綜合的學(xué)習(xí)能力.本節(jié)課把二次函數(shù)與一元二次方程、不等式聯(lián)系起來(lái)，由二次函數(shù)自身提問(wèn)到二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)聯(lián)問(wèn)題，從不同角度通過(guò)對(duì)不同問(wèn)題的思考，列出同一個(gè)等式，解決同一個(gè)本質(zhì)問(wèn)題，即二次函數(shù)圖像與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)一元二次方程的解，拋物線上交點(diǎn)以外的其他點(diǎn)的坐標(biāo)，是相應(yīng)不等式的解.這樣來(lái)源于實(shí)踐的體驗(yàn)，使得學(xué)習(xí)能更系統(tǒng)化，便于學(xué)生理解和掌握其中的關(guān)系.

同時(shí)這種聯(lián)系與區(qū)別還能同樣應(yīng)用于一次函數(shù)與一元一次方程、二元一次方程組等的復(fù)習(xí).函數(shù)與函數(shù)之間也有聯(lián)系與區(qū)別，比如二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像、增減性等就有一定的聯(lián)系與區(qū)別.這樣化繁為簡(jiǎn)地學(xué)習(xí)，不僅可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，加深對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解，還能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)習(xí)方法.

四、結(jié)束語(yǔ)

教師的專業(yè)知識(shí)水平、對(duì)教材和課標(biāo)的理解、對(duì)學(xué)生的理解決定數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效果.本文通過(guò)二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系，得到的對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的感受和思考也比較淺.筆者會(huì)在今后的教學(xué)中，繼續(xù)將重點(diǎn)放在對(duì)學(xué)生認(rèn)知和接受能力的理解上，研究每個(gè)階段學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和解決問(wèn)題的能力，基于機(jī)會(huì)地教學(xué)，努力打造更有數(shù)學(xué)味道的高效課堂，帶著學(xué)生了解數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué).