安徽省合肥市特級教師工作站

史承灼 (郵編：230051)

有幸觀摩了28節(jié)合肥市包河區(qū)初中青年數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)評比課，其中的一個(gè)課題是滬科版九年級上冊第23章第1節(jié)“銳角的三角函數(shù)”第1課時(shí)，內(nèi)容是“正切”的概念.隨著課程改革的逐步深入，人們越來越重視教師的專業(yè)成長，教研活動(dòng)也逐步常規(guī)化并顯現(xiàn)出成效，參賽教師態(tài)度積極認(rèn)真，在課堂教學(xué)中各顯神通精彩紛呈，整體教學(xué)水平逐年提升.但同時(shí)也暴露出一些問題，其中最為典型的表現(xiàn)是有的教師沒有讀懂教材，沒有弄清教材的編寫意圖，以至于沒能講清講透“正切”概念.一般說來，能夠參加縣、區(qū)一級的課堂教學(xué)評比的教師應(yīng)該都是各學(xué)校的骨干，參賽前也都應(yīng)該在學(xué)校里經(jīng)過了若干次的課堂教學(xué)打磨，教學(xué)設(shè)計(jì)也應(yīng)該是學(xué)校集體，至少是備課組集體備課的結(jié)果(本次比賽的課題是提前一周抽簽決定的)，因此，從這個(gè)角度來看，研讀教材缺乏火候應(yīng)該是一個(gè)較為普遍的問題.本文以滬科版“銳角的三角函數(shù)(第1課時(shí))”的教學(xué)為例，兼談教師如何讀懂教材，進(jìn)而提高課堂教學(xué)質(zhì)量.

1 教學(xué)案例

在這次的課堂教學(xué)評比中，有教師的課堂教學(xué)環(huán)節(jié)與教材的編排大體一致.

1.1 正切概念背景

滬科版教材是以汽車的爬坡能力作為情境，引入問題：怎樣描述坡面的坡度即坡面的傾斜程度呢？

1.2 正切概念教學(xué)

在圖1中，有兩個(gè)直角三角形，直角邊AC與A1C1表示水平面，斜邊AB與A1B1分別表示兩個(gè)不同的坡面，哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？

圖1

在圖2中，坡面AB與A1B1哪個(gè)更陡？你又是怎樣判斷的？

圖2

圖3

2 案例分析

教師的教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)，不是說一定要對教材進(jìn)行重組或改編，如果教材本身編寫得很好，教師不如就當(dāng)一回“拿來先生”也無妨.但其前提是必須讀懂教材，透徹理解教材，否則以師之昏昏，又怎能使學(xué)生昭昭呢？然而，在這次的教學(xué)評比觀摩中發(fā)現(xiàn)，有的教師并沒有真正讀懂教材，只能“照本宣科”，教學(xué)效果可想而知.正切概念的背景分析見下文“3.1.1”，這里著重分析正切概念的形成過程.

2.1 變化過程中的兩個(gè)變量

眾所周知，初中階段是以“變量說”定義函數(shù)概念的，而學(xué)生對于銳角三角函數(shù)中的兩個(gè)變量的理解本身就是一個(gè)難點(diǎn)，因此，需要教師慢化過程，耐心引導(dǎo).在圖1和圖2中，顯然有一個(gè)直觀的方法判斷哪個(gè)坡面更陡，就是看銳角A的大小，銳角A較大的坡面更陡，銳角A是一個(gè)變量——自變量.將坡面抽象成直角三角形后，還有一個(gè)判別坡面陡緩的方法，即銳角A的對邊與鄰邊的比值，比值較大的坡面較陡，銳角A的對邊與鄰邊的比值是另一個(gè)變量——因變量.

2.2 正切函數(shù)的建立過程

但在很多時(shí)候銳角A的大小不易區(qū)別，這時(shí)又該如何判斷呢？結(jié)合圖形中所給出的條件，可以考慮從邊的角度進(jìn)行判別.可以看出，教材的編排是以層層遞進(jìn)的三個(gè)層次逐步深入的.

在圖1中，兩個(gè)坡面的水平距離相同，鉛直高度較大的坡面更陡，這是通過直觀可以判斷的.但僅有這樣的判斷顯然是不夠的，因?yàn)槲覀冃枰J角A與相應(yīng)的邊之間的關(guān)系，否則我們不能從根本上建構(gòu)銳角的三角函數(shù)關(guān)系.因此，需要理解出這里的隱性含義，即在兩個(gè)坡面的水平距離相同的情況下，銳角A較大，其鉛直高度也就較大，坡面更陡.這是第一層理解.

第二層理解.在圖2中，兩個(gè)坡面的水平距離和鉛直高度都不相同，直觀上看后者的坡面更陡.此坡面的銳角A較大，銳角A的對邊與鄰邊的比值較大.至此，我們理解了，在直角三角形中，存在兩個(gè)變量，銳角A和銳角A的對邊與鄰邊的比值，并且，隨著銳角A的變化，銳角A的對邊與鄰邊的比值也發(fā)生了相應(yīng)的變化.

第三層理解.在圖3中的這些直角三角形中，當(dāng)銳角A的大小確定后，無論直角三角形的大小怎樣變化，銳角A的對邊與鄰邊的比值總是一個(gè)固定值.這說明對每一個(gè)銳角A的值，都有唯一一個(gè)銳角A的對邊與鄰邊的比值與它對應(yīng).

2.3 正切函數(shù)概念

根據(jù)上面的分析，對照函數(shù)的定義，正是由于隨著銳角A的變化，銳角A的對邊與鄰邊的比值也發(fā)生了相應(yīng)的變化，并且對每一個(gè)銳角A的值，都有唯一一個(gè)銳角A的對邊與鄰邊的比值與它對應(yīng).所以，在Rt△ABC中，∠C是直角，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切函數(shù)，簡稱∠A的正切，記作tanA，即

3 教學(xué)建議

上好課的前提是備好課，備好課的前提之一是讀懂教材，讀懂教材編寫的意圖，既要讀懂教材中的顯性的知識和方法，更要讀懂教材中的隱性的知識和方法，唯有如此，我們才能結(jié)合學(xué)情，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，提高教學(xué)質(zhì)量.

3.1 正切函數(shù)概念教學(xué)

鑒于上述對教材的分析理解，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生切實(shí)理解正切函數(shù)概念的形成過程.按照章建躍先生的觀點(diǎn)，要扎扎實(shí)實(shí)地完成概念形成的每一個(gè)步驟.[2]

(1)背景引入：考慮到九年級學(xué)生對汽車爬坡能力缺乏體驗(yàn)，可以將引入情境改為上樓的樓梯問題，將樓梯抽象為坡面，顯然是幾乎所有的初中生都有這樣的體會，坡面更陡的樓梯上起來更累一些.并將樓梯抽象成直角三角形，坡面的傾斜程度即為斜邊的傾斜程度.

(2)屬性分析：坡面傾斜程度可以用銳角A的大小來描述，也可以用銳角A所在的直角三角形中邊的關(guān)系來描述。這里，為了形成銳角的正切函數(shù)概念，我們只考慮銳角A的對邊與鄰邊的比值.

(3)概括概念的本質(zhì)屬性：在坡面傾斜程度的變化過程中，有兩個(gè)變量，將坡面抽象成直角三角形后，一個(gè)變量是銳角A，另一個(gè)是銳角A的對邊與鄰邊的比值；隨著變量銳角A的變化，銳角A的對邊與鄰邊的比值也發(fā)生了變化，角A不變對應(yīng)的比值也不變，并且對每一個(gè)銳角A的值，都有唯一一個(gè)銳角A的對邊與鄰邊的比值與它對應(yīng).

(4)下定義：如前所述，這里從略.需要注意的是要交待清楚正切函數(shù)的符號特點(diǎn).

(5)概念辨析：從正反兩個(gè)方面分析概念中關(guān)鍵詞的含義，如前提是直角三角形，銳角A的對邊與鄰邊的比值是銳角A的正切函數(shù)，其中銳角A是自變量，銳角A的對邊與鄰邊的比值是因變量等.

(6)用概念做判斷：通過解決一些較為簡單的問題，形成用正切函數(shù)概念作判斷的基本規(guī)范.

(7)概念的“精致”：建立正切函數(shù)與相關(guān)概念的聯(lián)系，如以前學(xué)過的函數(shù)、三角形中其他的邊、角之間的關(guān)系等.正切函數(shù)和即將要學(xué)習(xí)的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，描述的是直角三角形中的邊與角之間的關(guān)系.

3.2 正切與正切函數(shù)概念的教材編排商榷

滬科版教材是首先定義正切的概念，類似地定義了正弦、余弦的概念，在此基礎(chǔ)上給出“銳角A的正弦、余弦、正切都叫做銳角A的三角函數(shù)?！币怨P者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，這樣的編排不利于學(xué)生從本質(zhì)上理解銳角的三角函數(shù)概念，也給銳角的三角函數(shù)概念的應(yīng)用設(shè)置了一定的障礙.因此建議可作調(diào)整：正切函數(shù)(簡稱正切)——正弦、余弦函數(shù)(簡稱正弦、余弦)——銳角A的三角函數(shù)(銳角A的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)都叫做銳角A的三角函數(shù)).透徹理解正切函數(shù)是學(xué)習(xí)并掌握銳角的三角函數(shù)的前提，也是后續(xù)知識如任意角的三角函數(shù)、解析幾何等學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

4 結(jié)束語

教材的編寫是專家團(tuán)隊(duì)集體智慧和經(jīng)驗(yàn)的結(jié)晶，有其自身的邏輯性、整體性和結(jié)構(gòu)體系，材料的選取和編排也有其自身的獨(dú)特優(yōu)勢，很多情況下，我們可以是“拿來主義”者.但“拿來主義”并非照本宣科，需要結(jié)合我們的教學(xué)實(shí)際，有所調(diào)整和取舍，要靈活運(yùn)用并駕馭教材，真正實(shí)現(xiàn)“用教材教”，而不是“教教材”.何況教材的編寫因受各種各樣條件和因素的影響，不可能是放之四海而皆準(zhǔn)的“真理”，這就更加說明了教師讀懂教材的重要性.讀懂教材，不僅要讀懂教材的“顯性價(jià)值”——文本有什么？為什么這樣編寫？這樣編寫的目的是什么？更要讀懂其“隱性價(jià)值”——數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值，借助教材，明白新知識的生長點(diǎn)在哪里？清楚在知識形成、建構(gòu)、應(yīng)用過程中，要讓學(xué)生學(xué)會哪些知識、訓(xùn)練哪些技能、體驗(yàn)?zāi)男┧枷?、積累哪些經(jīng)驗(yàn)？還要讀懂其“育人價(jià)值”——數(shù)學(xué)教育價(jià)值，要挖掘出有利于學(xué)生智力發(fā)展的潛在因素和情感發(fā)展的思想文化價(jià)值.讀懂教材，才能實(shí)現(xiàn)由教材的“復(fù)制者”轉(zhuǎn)變?yōu)榻滩牡摹皠?chuàng)造者”，使教材“增值”，使課堂充滿活力.[3]

1 新時(shí)代數(shù)學(xué)編寫組.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)九年級上冊[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2014:112-113

2 章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄(上卷)[M].杭州：浙江教育出版社，2017:360

3 史承灼.情境導(dǎo)入堅(jiān)持“三性”，法則教學(xué)注重“三然”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018(1)