“解幾”入門 方法先行

余建國

解析幾何（簡稱“解幾”）的本質(zhì)就是用代數(shù)的方法研究幾何問題.這里有兩個問題：一是研究什么幾何問題，二是何為代數(shù)方法.“解析幾何初步”中對直線與網(wǎng)的研究歷程清楚地說明了這兩個問題，并且為我們今后學(xué)習(xí)圓錐曲線奠定了基礎(chǔ).下面以圓為例，與同學(xué)們談?wù)勅绾瓮ㄟ^研究解析幾何的常見問題，把握解析幾何學(xué)習(xí)的典型方法，跨入解析幾何的大門.

一、問題與方法

“解析幾何初步”中，我們研究了直線和圓，這是平面中兩個最基本的圖形.正如前面研究直線——建立平面直角坐標(biāo)系求直線的方程，利用直線的方程研究直線的幾何性質(zhì)一樣，對于網(wǎng)的研究，我們同樣經(jīng)歷這兩個步驟.本期將重點(diǎn)研究圓的幾何性質(zhì).

1.直線與圓的位置關(guān)系

根據(jù)平面幾何知識，直線與網(wǎng)有相交、相切和相離三種位置關(guān)系，并且用同心到直線的距離（d）與圓的半徑（r）比較可得，而通過同心坐標(biāo)與直線方程計算這個距離就是解析幾何的“拿手好戲”了；我們還可以從解方程組（直線方程與網(wǎng)的方程聯(lián)立）——純粹的代數(shù)的角度，考察所得方程組的解的情況判別直線與網(wǎng)的關(guān)系.這兩種方法都體現(xiàn)了解析幾何在溝通代數(shù)與幾何上的橋梁作用.具體結(jié)論見表1.

2.相交時的弦長問題

當(dāng)直線l與網(wǎng)C相交時，連結(jié)兩個交點(diǎn)A，B的線段AB稱為圓的弦，

從代數(shù)的角度看，只要通過解方程組求得兩個交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)（x₁，y₁），（x₂，y₂），利用兩點(diǎn)間的距離公式：求得距離，如果直線AB的斜率k存在的話，也可以寫成：

3.相切時的切線問題

直線與網(wǎng)相切，常見的問題是求切線方程，求切線長、范圍和最值等.

從代數(shù)的角度看，直線與網(wǎng)相切時，△一0，這是一個方程，一般通過這個方程就能求解一個未知數(shù)，例如切線的斜率（如果直線的斜率存在）；而從幾何的角度看，直線與網(wǎng)相切時，d=r，同樣這個方程也能求解切線的斜率.特別地，在已知切點(diǎn)的情況下，利用切點(diǎn)與網(wǎng)心的連線與切線互相垂直，可以直接確定切線的斜率，課本上習(xí)題提供了這個問題的結(jié)論：

4.圓與圓的位置關(guān)系

將兩個圓的方程聯(lián)立，解所得方程組.若方程組沒有實數(shù)解，說明兩個網(wǎng)沒有交點(diǎn)（公共點(diǎn)），此時兩圓是相離，還是內(nèi)含就需要結(jié)合圖形來看，因此，純粹的解方程組手段就沒有表2的判斷方法簡潔，表中d是兩圓心0₁，Q₂間的距離，R，r分別是兩圓半徑（R≥r）.

二、示例與思想

在求解網(wǎng)的問題時，一方面，通過分析圖形，找出可以使用的幾何關(guān)系，并盡可能地將幾何語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，用坐標(biāo)、方程等代數(shù)語言去表征、去求解；另一方面，由于在初中的平面幾何學(xué)習(xí)中，較多地了解了網(wǎng)的有關(guān)性質(zhì)，因此充分利用網(wǎng)的已有的幾何性質(zhì)，例如垂徑定理，實現(xiàn)代數(shù)運(yùn)算的簡化，也是同學(xué)們需要感悟的解題思想.

例 已知圓C：x²+y²+x-6y+m=0與直線l：x+2y-3=0相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓通過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求實數(shù)m的值.

分析一 “以AB為直徑的網(wǎng)通過坐標(biāo)原點(diǎn)0"，一方面，轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言就是原點(diǎn)0（0，0）的坐標(biāo)滿足以AB為直徑的圓的方程，若設(shè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則以AB為直徑的圓的方程是（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，原點(diǎn)O在網(wǎng)上等價于（O-x₁）（0-x₂）+（0-y₁）（O-y₂） =O，即XlX2+y.Y2 =0；另一方面，這句話也等價于OA上OB，當(dāng)X₁=O（y=0）或x₂=0（y₁=0）時，滿足x₁x₂+y₁y₂=O，當(dāng)x₁·x₂≠0時有k_OA=y₁/x₁，k_OB=y₂/x₂，由k_OA1·k_OB=-1得x₁x₂+y₁y₂=0，因此對所有A，B都滿足x₁x₂+y₁y₂=0，殊途同歸，

分析二 從代數(shù)的角度想，求解一個未知數(shù)出，只需找到一個含m的方程，“算兩次”是典型的建立方程的方法.在圖1中，取線段AB中點(diǎn)M，由于CM⊥AB，可以求得直線CM的方程，從而得到M的坐標(biāo)，于是OM長可求，由于OA⊥OB，而M是線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)M=1/2AB—AM，另一方面，可以通過類似于求弦長的方法求得AM，于是建立方程OM=AM求得m

略解二 取線段AB中點(diǎn)M，由CM-LAB可得直線CM的方程為2x-y+4=0，與AB方程聯(lián)立，得M（-1，2），所以Am₂=OM₂=5.

另一方面，因為cM₂=5/4，CA₂=r₂=37-4m，在Rt△ACM中，有AM2一r2CM₂=8-m.所以8-m=5，解得M=3.

反思 將幾何語言轉(zhuǎn)譯為代數(shù)語言，并通過代數(shù)（坐標(biāo)、方程）運(yùn)算解決幾何問題是解析幾何的本質(zhì)方法.而研究直線與網(wǎng)的位置關(guān)系時，涉及的二元二次方程組的處理方法也是將來進(jìn)一步研究圓錐曲線的通法.需要指出的是，由于我們在初中學(xué)習(xí)過網(wǎng)的幾何性質(zhì)，如垂徑定理，因此解決直線與圓的位置時，也要盡可能地挖掘其平面幾何性質(zhì)，這樣，需要轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言的部分越少，計算的量和障礙就越少，真正發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢.

總之，同學(xué)們在學(xué)習(xí)直線與圓的幾何性質(zhì)的過程中，不僅要學(xué)會相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識，更重要的是領(lǐng)悟解析幾何的思想方法，發(fā)揮坐標(biāo)法研究問題的統(tǒng)一性、程序性和簡潔性，善于將幾何語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，從不同的角度表征數(shù)學(xué)問題，從而尋求問題的解.

鞏固練習(xí)

1.過點(diǎn)（3，1）作圓（x-1）²+y²=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為

（

）

A. 2x+y-3=0

B.2x-y-3=0

C.4x-y-3=0

D.4x+y-3=0

2.過點(diǎn)（3，1）作網(wǎng)（x-2）²+（y-2）²=4的弦，其中最短的弦長為_______.endprint