點到直線的距離公式的妙用

韓文美

1.巧解參數(shù)問題

參數(shù)的值的求解主要包括點的坐標中的參數(shù)、直線方程中的參數(shù)、曲線方程中的參數(shù)等，根據(jù)位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，巧妙利用點到直線的距離公式，進而達到求解參數(shù)的值的目的.

例1 （2015.安徽文改編）直線3x+4y=b與圓x²+y²-2x-2y+l=0相切，則b=____.

分析 先根據(jù)圓的一般方程配方得到圓心坐標與半徑，利用直線與圓相切的關(guān)系，結(jié)合點到直線的距離公式建立關(guān)系式，進而求解對應(yīng)的參數(shù)值.

點評 涉及參數(shù)的求解問題，往往是通過直線與圓的位置關(guān)系、直線與曲線的位置關(guān)系等，結(jié)合點到直線的距離公式來巧妙轉(zhuǎn)化，建立相關(guān)的等式或不等式，進而得以求解.

分析 先確定線段AB的長度與直線AB的方程，把面積問題轉(zhuǎn)化為點C到直線AB的距離問題，通過求解點C的坐標的解的個數(shù)來判斷點C的個數(shù).

點評 直接確定三角形中頂點C的個數(shù)問題無法下手，而通過構(gòu)造點C與對應(yīng)的直線AB，利用點到直線的距離公式把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過求解二次方程的根的個數(shù)來處理幾何量的確定問題，方法巧妙，形數(shù)結(jié)合.

2.妙求直線方程

有時在求解直線方程時，可以巧妙借助題目條件，利用點到直線的距離公式加以轉(zhuǎn)化，巧妙轉(zhuǎn)換角度而達到求解直線方程的目的.

例3 已知圓C：x²+y²-4x-4y+7=0，自點A（-3，3）發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，若其反射光線所在的直線與圓C相切，求光線l所在的直線方程，

分析 通過題目分析，若其反射光線所在的直線與網(wǎng)C相切，則光線l與圓C關(guān)于x軸對稱的圓C₁相切，設(shè)出光線l所在的直線方程，利用點到直線的距離公式來分析與求解.

點評 通過對稱性的轉(zhuǎn)化，把直線與網(wǎng)的位置關(guān)系與反射光線、對稱圓等相關(guān)知識加以綜合，結(jié)合求解直線方程的方法、點到直線的距離公式等加以巧妙轉(zhuǎn)化與綜合.值問題，可聯(lián)想兩點間的距離公式，若x與y滿足一次關(guān)系式，即可轉(zhuǎn)化為點到直線的距離公式來巧妙轉(zhuǎn)化與求解.

例4 已知實數(shù)x，y滿足方程x+y1=0，試求代數(shù)式x²+2x+y²+1的最小值，

分析 根據(jù)代數(shù)式的變形x²+2x+y²+1=（x+1）²+y²，把問題巧妙地轉(zhuǎn)化為直線x+y-1=O上一動點P（x，y）到定點（-1，0）距離的平方和的最小值問題，利用點到直線的距離公式來直觀求解，

點評 此類問題由數(shù)想形，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，構(gòu)造幾何圖形，對求解具有特殊結(jié)構(gòu)的代數(shù)式的最值問題有著意想不到的神奇效果.

其實，點到直線的距離公式在其他一些場合也有非常不錯的應(yīng)用，特別是直線與圓的位置關(guān)系問題，以及其他的涉及代數(shù)、三角函數(shù)等知識，利用點到直線的距離公式，能讓大家體驗到一種全新的數(shù)學(xué)解題方法，充分地體現(xiàn)了解析幾何與代數(shù)等相關(guān)知識的完美結(jié)合.endprint