一個(gè)二次函數(shù)問題的優(yōu)化

蔡依峰

今天，我遇到了這樣一個(gè)二次函數(shù)問題：

已知函數(shù)f（x）=ax²-1/2x-3/4（a>o）.若在任何長度為2的閉區(qū)間上總存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁·x₂，/f（x₁）-f（x₂≥1/4成立，求實(shí)數(shù)以的最小值.

顯然，這是個(gè)很棘手的問題，因?yàn)樗y以下手.那么該從什么角度切入去研究這個(gè)問題呢？此刻，我想到了先將條件一步步地進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

我做了如下思考和分析.

①任何長度為2的區(qū)間，是一個(gè)定長區(qū)間，如何表示這個(gè)區(qū)間呢？我想到的一個(gè)辦法是引入變量t來表示這樣的一個(gè)區(qū)間，即將這樣的區(qū)間表示為[t，t+2]，其中t∈R.

②總存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁·x₂，使/f（x₁）f（xx_n/≥1/4成立，條件中有關(guān)鍵詞“總”和“存在”.

那么，何時(shí)兩者的“落差”最小呢？我義陷入了沉思.當(dāng)我百思不得其解之時(shí)，我義想到了數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象再來審視這個(gè)問題.

在作圖的過程中我發(fā)現(xiàn)，根據(jù)圖象來看，二次函數(shù)的圖象在某一區(qū)間上的最值的差（即上面所說的“落差”）是由二次函數(shù)的開口大小決定的.而決定二次函數(shù)開口大小的，是二次項(xiàng)系數(shù)“的絕對值的大小，與一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)無關(guān).既然是無關(guān)的，在這里就可以對這個(gè)問題進(jìn)行優(yōu)化，即把函數(shù)f（x）=ax²-1/2x-3/4轉(zhuǎn)化成函數(shù)f（x）=ax²，兩個(gè)函數(shù)在這個(gè)問題的研究上是等價(jià)的.

有了這個(gè)發(fā)現(xiàn)，我心頭一陣狂喜.感覺真相離我越來越接近了.再回到題目中，一旦將函數(shù)解析式簡化為f（x）=ax²，對稱軸就是y軸，問題就變得非常簡單了.再利用數(shù)形結(jié)合的思想，讓區(qū)間在f（x）=ax²的圖象上動(dòng)起來，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)區(qū)間[t，t+2]關(guān)于對稱軸對稱，即t=1時(shí)，此時(shí)函數(shù)f（x）=ax²在區(qū)間[t，t+2]上的“落差”最小，即f（1）-f（0）=a，所以a≥1$.

通過對這個(gè)問題的研究，我義得m了如下兩個(gè)結(jié)論：

這是一次很獨(dú)特而且很有趣的數(shù)學(xué)研究之旅，它改變了我對數(shù)學(xué)的一些認(rèn)識(shí)和看法，我一直認(rèn)為數(shù)學(xué)是很枯燥的，就是一些公式、定理的堆砌，沒想到數(shù)學(xué)可以這么好玩.由一個(gè)二次函數(shù)問題，通過分析、思考，解決了難題的同時(shí)還得到了兩個(gè)小結(jié)論，研究過程中我還多次應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的方法.

通過這次研究之旅，我認(rèn)為，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，不能僅僅滿足于老師的課堂內(nèi)容，更要利用老師所教的知識(shí)和方法獨(dú)立地去思考和研究一些問題，只有不斷地思考，不斷地研究，你才能體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，從而學(xué)好數(shù)學(xué).endprint