動中尋定，數(shù)形結(jié)合方為妙

朱紅姣

有關直線與圓相切、相交弦長的問題，同學們習慣于根據(jù)圓心到直線的距離d及圓的半徑r的幾何特征來解題，那么當直線或圓中含有參數(shù)，這樣解決已不再簡便時，我們義該怎么辦？一起來看課本上的一道練習題：

求證：無論k取何值，直線l：kx-y4k+3=0與圓C：x²+y²-6x-8y+21=0都有兩個交點.

我們將式子整理一下，k（x-4）+（3y）=0，無論是取何值，當x=4，y=3時等式恒成立，即過定點（4，3），哦，動中有定！在平面直角坐標系中，作出以（3，4）為圓心，2為半徑的網(wǎng)C，定點（4，3）在網(wǎng)內(nèi)，同學們稍加說明，結(jié)論便得證了！

回看此題，從圖形的角度出發(fā)來處理問題，關鍵點是同學們能看出動直線l：kxy-4k+3=0過定點（4，3），從而得出了位置關系，看來在動中找定，把握了動的變化規(guī)律后，解決問題才能事半功倍.

例 點P（-1，3）到直線y=k（x-2）的距離的最大值是

此題中直線l含有參數(shù)k，為動直線，上面問題的分析讓我們意識到要在動中找定，顯然，直線l過定點A（2，0），我們先定后動，可以多畫幾條過點A的動直線l，過點P作直線l的垂線段，由圖1可看出，將PA連起來，PA可看成由所有垂線段（PA除外）構(gòu)成的直角三角形斜邊，斜邊大于直角邊，自然可知PA是所有過點P到動直線l垂線段中最長的.因此，點P到直線l的距離的最大值即為PA.

此題中，當我們抓住“定點”后，利用圖形助力解題，問題迎刃而解！

遷移1 圓C與兩平行直線l：y=kx+1和l₂：y=k（x-1）都相切，則圓C半徑的最大值為 ___________.

分析 首先看到直線l₁與l₀后，同學們頭腦中有了找定點的想法了，l₁過點A（O，1），l₂過點B（1，0），且兩動直線l₁，l₂平行，作圖時我們能出很多組滿足要求的l₁，l₂，條件中的網(wǎng)C與l₁，l₂均相切，圓C必定夾在ll₂與ll₂之間，則圓C直徑的最大值即為兩平行線l₁，l₂之間距離的最大值，而兩平行線間距離的最大值可看成是在一條直線上找一點到另一條直線的距離，此時問題轉(zhuǎn)化成了過點A（B）到動直線l₂（l₁）的距離，即轉(zhuǎn)化為例題所求問題了.

題目千變?nèi)f化，當我們找到規(guī)律，巧妙化歸后，解題也變簡單了.

遷移2 在平面直角坐標系xoy中，以點（1，0）為圓心且與直線mx-y-2m+l=0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程是_____.

分析 首先直線與圓相切，則半徑r與網(wǎng)心（1，O）到直線：mx-y-2m+l=0的距離d相等，故求r的最大值就是求d的最大值，即點（1，0）到動直線：mx-y=2m+1=0的最大距離，此問題即轉(zhuǎn)化力例題所求問題了.

我們發(fā)現(xiàn)：遷移1、遷移2實際上就是在例題的基礎上加了層“外衣”，當我們通過分析處理將“外衣”剝離后，就變成了含參數(shù)的直線方程過定點，然后結(jié)合圖形解決最值問題.

前幾題都是動直線過定點問題，那我們再看看含參數(shù)的動曲線中有沒有“定”的東西.

遷移3 在平面直角坐標系xoy中，以點C（a，a）為圓心的圓C與圓M：（x-3）²+y²=2恒有公共點，則圓C面積的最小值是

此題中同學們發(fā)現(xiàn)動點所成軌跡是解題的關鍵，因此我們要善于從動中探定，借助圖形來解題.

通過這幾道題的探究求解后，同學們有什么樣的收獲呢？當代數(shù)運算復雜不容易求解時，你是否愿意從形的角度來解決？當我們看到含有參數(shù)的直線或網(wǎng)的問題時，如何從動中找定？你掌握了嗎？

思考 已知點P，Q分別是網(wǎng)C₁：（x-m）²+（y-m²）²=1（m∈R）和圓C₂：（x-a）²+（y-a+4）²=1（a∈R）上任意一點，則PQ的最小值是_____.endprint