品味類比，直覺與發(fā)敖

常文武+文江

人與人相遇是緣，人與題目相遇也是緣.偶有學生來問：如何找m三種方法將正三角形切割為4個等腰三角形？

師生討論出的答案如下：

前兩種方法一目了然（但解讀有多種）.第三種卻不易一眼發(fā)現(xiàn)水平線的具體位置.需申明水平切割線是過幾何對稱中心（重點）.

作為求教者，學生已經(jīng)釋然.作為老師卻感覺有必要繼續(xù)引申一番，于是追問：如果題目改為“找出將一個等腰三角形切割為4個等腰三角形的方法”，又將如何求解呢？

請讀者類比一下：以上關于等邊三角形的結果是否可以行得通呢？

第一種“聯(lián)結中點”法得到的是與初始等腰三角形相似的四個全等三角形，所以形狀保持了大三角形等腰的形狀；對第二種切法，利用直角三角形斜邊中線長等于斜邊一半的性質可輕易判定.（不過這只是一種解讀和推廣，讀者讀到文末白會領會）

第三種方法就不敢保證了，

調動直覺思維，如果等腰三角形比較“瘦”，似乎只要讓方法三的水平切割線下移一些就可以滿足要求.而對于“胖”的等腰三角形，應該上移那條水平切割線.總之，方法應該可行！

那么如何找到切割位置呢？自然想到設未知數(shù)來解方程.

對于圖2的等腰三角形，設BD長為未知數(shù)x.AB=AC=a，BC=b為已知數(shù).根據(jù)題設，DE= 2x，DE∥BC.利用相似，可得AD：AB=DE：BC，即a-x：a=2a：b.解得x=ab/（2a+b）.

既然第三套切法也有了推廣的解，問題似乎得到了“圓滿”解決：任何等腰三角形同樣能如同等邊三角形那樣有三種方法切割為4個等腰三角形.

一個更大膽的問題冒出來了：這是全部的解嗎？

本文第二作者利用對前面兩個切法的不同解讀，竟然義拓展產生了兩個“衍生產品”.請看圖3（不要忽略鈍角三角形也必須滿足條件）.

從圖3中可以看出，有一個切法是邊中點聯(lián)三角形的推廣，打破了只有聯(lián)結中點才行的“神話”.另外一個方法是“個”字型切割法，它是原先方法二的再推廣.改變了“個”字起筆（即為角平分線）在底邊的套路.

這樣，針對新的問題“切等腰三角形為4個等腰三角形”一共找到了五種方法：倒三角切法二種，“個”字切法二種和K字切法一種.

你還能找到其他解法嗎？

看來哪怕是課本配套習題冊上面的普通題目，只要勤思考多動腦去發(fā)散思維，有趣又深刻的結果就有可能被你發(fā)現(xiàn).如果再把心得及時記錄下來寫成文字，你必定會在數(shù)學甚至語文學科上都取得驕人的成績.endprint