理清變化機理 參數(shù)刻畫運動

漆光宗

運動、變化是絕對的，而靜止、不變是相對的，對許多解析幾何中的變化型問題，如果能認(rèn)真地分析運動變化的機理及相互制約的因素，看看是誰引起了運動和變化，就將其作為參數(shù)引入，這個參數(shù)往往可以作為橋梁，溝通著主要變量之間的聯(lián)系，明確變量之間的函數(shù)關(guān)系.參數(shù)的變化引起運動，運動就可以由參數(shù)來刻畫.這樣就可以把變化中的量轉(zhuǎn)化為參數(shù)的變化，從而使問題的解決變得豁然開朗.

經(jīng)過定點M（x₀，y₀）的直線l的點斜式方程為：y-y=k（x-x₀），若把斜率k看成參數(shù)，則不同的k值對應(yīng)著經(jīng)過點M的不同的直線，因此方程就可以表示jL經(jīng)過點M的除去直線x=x₀。（斜率不存在）的所有的直線.從運動的角度看，k的變化引起了直線l的轉(zhuǎn)動.特別地：方程y=kx+b（k為參數(shù)，b為常數(shù)）則表示經(jīng)過定點（O，6）的除去直線x=0的所有直線.

例1 當(dāng)直線l經(jīng)過點P（3，2）且與x，y軸正半軸交于A，B兩點，點0是坐標(biāo)原點，當(dāng)△OAB面積最小時求直線Z的方程.

分析 經(jīng)過點P（3，2）的直線有無數(shù)多條，由于斜率k的變化引起了直線的轉(zhuǎn)動，從而引起△OAB面積的變化，因此可以引入?yún)?shù)k，△OAB面積就可以表示成關(guān)于k的函數(shù)f（k），這樣問題就轉(zhuǎn)化為探求函數(shù)f（x）取得最小值時k的取值，從而寫出所求直線l的方程.

例2 求與直線3x+4y+l=0平行且過點（1，2）的直線l的方程.

解 設(shè)與3x+4V+l=0平行的直線l方程為3x+4y+A—O，

點（1，2）在直線上，則3×1+4×2+λ一0，所以λ=-11，

故所求直線方程為3x+4y-ll=0.

從運動、變化的角度看，曲線可以看成由點的運動所形成，當(dāng)生成曲線的動點P（稱為被動點）隨著另一動點Q（稱為主動點）的運動而有規(guī)律地運動，且Q又落在一給定的曲線C上時，可以把點Q看成參數(shù)（稱為點參數(shù)），只需根據(jù)條件去尋找表示P，Q兩點間規(guī)律的表達式，然后將Q點的兩個坐標(biāo)分別用P點的坐標(biāo)來表示，再把Q點的坐標(biāo)代入曲線C的方程.從而得到被動點P的坐標(biāo)之間的關(guān)系，即所求曲線的方程.

例3 （人教版必修二P129例5）已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是（4，3），端點A在圓（x+1）²+y²=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.

分析 如圖2，點M為什么運動？是因為點A的運動引起的，因此可以把點A看成主動點（參數(shù)），點M看成被動點，要探求被動點M的軌跡方程即探求點M的坐標(biāo)（x，y）所滿足的關(guān)系式.而主動點A在已知圓上運動，點A的坐標(biāo)滿足方程（x+1）²+y²=4.建立點M與點A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點M的坐標(biāo)滿足的條件，從而求出點M的軌跡方程.

解 設(shè)點M的坐標(biāo)是（x，y），點A的坐標(biāo)是（x₀，y₀）.由于點B的坐標(biāo)是（4，3），且M是線段AB的中點，所以x=（x₀+4）/2，y=（y₀+3）/2

于是有x₀=2x-4，y₀=2y-3，

①

因為點A在圓（x+1）²+y²=4上運動，所以點A的坐標(biāo)滿足方程（x+1）²+y²=4即（x₀+l）²+y₀²=4，

②

把①代入②，可得（2x-4+1）²+（2y-3）²=4，即（x-3/2）²+（y-3/2）²=1.

所以，點M的軌跡是以（3/2，3/2）為圓心，半徑長是1的圓，

參數(shù)是刻畫運動的好幫手——相信你通過上述的幾個例子已經(jīng)深有體會，通過參數(shù)來刻畫運動，不但可以揭示運動的本質(zhì)屬性，還能提高我們分析和解決幾何問題的能力.endprint