楊習(xí)志

摘 要：本文首先指出學(xué)生對(duì)于運(yùn)用微元法解題的困難在于不知道所遇到的問(wèn)題要用微元法解決，而中學(xué)老師對(duì)于微元法的常規(guī)教學(xué)大多以遇題講題的方式為主，并沒(méi)有教會(huì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)什么情況下該用微元法解題。故筆者經(jīng)過(guò)研究和思考后指出，當(dāng)研究對(duì)象不是質(zhì)點(diǎn)但連續(xù)可變或研究過(guò)程所涉及的核心物理量在連續(xù)變化，而這個(gè)變化使得我們無(wú)法用中學(xué)階段的常規(guī)公式或規(guī)律求解時(shí)，可考慮用微元法。

關(guān)鍵詞：微元法；連續(xù)可變；非質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題；教學(xué)策略

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2018）12-0052-4

微元法在高中物理教學(xué)過(guò)程中扮演著非常重要的角色，它是研究物理問(wèn)題的常用方法，也是啟迪學(xué)生思維的重要手段。在人教版新課程教材中也多次用微元法來(lái)研究問(wèn)題。比如，探究勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式，探究彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式，探究重力或電場(chǎng)力做功與路徑的關(guān)系，一般曲線運(yùn)動(dòng)的處理方法等內(nèi)容均用到了微元法。近年來(lái)，在全國(guó)各省市的高考題中也頻現(xiàn)運(yùn)用微元法解題的案例，在競(jìng)賽中則體現(xiàn)得更為突出。因此，做好微元法的教學(xué)工作，帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用微元法分析和解決問(wèn)題是一件非常重要的事情。

1 學(xué)生的根本問(wèn)題在于不知道所遇到的問(wèn)題要用微元法進(jìn)行處理

筆者在查閱相關(guān)文獻(xiàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)關(guān)于微元法的教學(xué)策略研究很少，而且大都是通過(guò)舉例子說(shuō)明微元法的具體運(yùn)用，但怎么樣教會(huì)學(xué)生真正地運(yùn)用微元法去分析和解決問(wèn)題卻很少去思考。筆者在教學(xué)過(guò)程中還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生其實(shí)對(duì)于微元法基本思想的理解是沒(méi)有問(wèn)題的，即將研究對(duì)象或研究過(guò)程分解為若干的“元對(duì)象”或“元過(guò)程”，由于“元對(duì)象”或“元過(guò)程”都有著相同的規(guī)律，故只需要對(duì)“元對(duì)象”或“元過(guò)程”進(jìn)行分析，再進(jìn)行一些必要的數(shù)學(xué)或物理方法的處理即可。其次，學(xué)生對(duì)于在微元法解題中用到的數(shù)學(xué)手段的處理也是沒(méi)有問(wèn)題的，每次在講運(yùn)用微元法解題時(shí)，學(xué)生也都跟得上，聽(tīng)得懂。但一考試就會(huì)發(fā)現(xiàn)，只要遇到微元法的題，學(xué)生就幾乎全軍覆沒(méi)，那么問(wèn)題到底出在哪里呢？經(jīng)過(guò)對(duì)學(xué)生的做題情況進(jìn)行分析，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的根本問(wèn)題不在于微元法的解題思想和所涉及的數(shù)學(xué)手段，而在于他們根本不知道這個(gè)題要用微元法，想不起要用微元法來(lái)解這道題。換句話說(shuō)，如果你直接告訴他這道題要用微元法才能解，那他很快就可以解出來(lái)。這樣的問(wèn)題不僅僅出現(xiàn)在學(xué)生身上，對(duì)很多中學(xué)老師而言也是如此。很多時(shí)候，部分中學(xué)老師也是看了答案才恍然大悟，才知道原來(lái)這道題要用微元法進(jìn)行分析，而一旦知道要用微元法，解題就變得簡(jiǎn)單了，畢竟涉及到的數(shù)學(xué)問(wèn)題并不算難。因此，關(guān)于微元法的教學(xué)策略不應(yīng)只局限于告訴學(xué)生微元法的思想是什么，帶領(lǐng)學(xué)生解幾道具體的題目就完了，還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何去發(fā)現(xiàn)所遇到的問(wèn)題要用微元法來(lái)分析。

2 如何讓學(xué)生建立主動(dòng)發(fā)現(xiàn)所遇到的問(wèn)題要用微元法進(jìn)行分析的思維方式？

如何讓學(xué)生能夠自己主動(dòng)發(fā)現(xiàn)某道題要用微元法進(jìn)行分析呢？筆者經(jīng)過(guò)思考和研究后發(fā)現(xiàn)，需要用微元法進(jìn)行分析的題型大多具有這樣的特點(diǎn)，即研究對(duì)象不是質(zhì)點(diǎn)但連續(xù)可變，或研究過(guò)程所涉及的核心物理量在連續(xù)變化，而這個(gè)變，使得我們無(wú)法用現(xiàn)階段的公式或規(guī)律進(jìn)行求解。此時(shí)，可用微元法將研究對(duì)象或研究過(guò)程進(jìn)行微分，則每一微小部分或微小過(guò)程可看作是質(zhì)點(diǎn)或不變的，那么，就可以用所學(xué)的物理規(guī)律對(duì)“元對(duì)象”或“元過(guò)程”進(jìn)行分析。注意這里之所以要強(qiáng)調(diào)可連續(xù)變化或在連續(xù)變化，是因?yàn)橹挥羞B續(xù)變化才能進(jìn)行微分，并且才能保證每一微分元均遵循著相同的規(guī)律。例如，在運(yùn)動(dòng)學(xué)的問(wèn)題中，其核心物理量是加速度，高中階段學(xué)的是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，即加速度不變的直線運(yùn)動(dòng)，那么如果在這道題中發(fā)現(xiàn)加速度在連續(xù)變化，顯然用勻變速運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律是無(wú)法求解的，此時(shí)可考慮用微元法進(jìn)行處理；在探究重力或電場(chǎng)力做功的問(wèn)題時(shí)，若發(fā)現(xiàn)位移的方向在連續(xù)變化，而我們只學(xué)過(guò)直線位移的做功問(wèn)題，此時(shí)可考慮用微元法；在探究彈性勢(shì)能的表達(dá)式時(shí)，力的大小在連續(xù)變化，即涉及變力做功問(wèn)題，而高中階段主要講的是恒力的做功問(wèn)題，此時(shí)可考慮用微元法；在電磁感應(yīng)的電路問(wèn)題中，如果發(fā)現(xiàn)電流在連續(xù)變化，而高中階段所學(xué)的電路問(wèn)題都是恒定電流下的電路問(wèn)題，那么可考慮用微元法處理；高中階段研究的主要是質(zhì)點(diǎn)或點(diǎn)電荷模型，如果發(fā)現(xiàn)質(zhì)量在連續(xù)變化或是非質(zhì)點(diǎn)非點(diǎn)電荷問(wèn)題，那么可考慮用微元法處理。總之，當(dāng)研究對(duì)象不是質(zhì)點(diǎn)但連續(xù)可變，或研究過(guò)程所涉及的核心物理量在連續(xù)變化，而這個(gè)變化使得我們無(wú)法用中學(xué)階段的常規(guī)公式或規(guī)律求解時(shí)，可考慮用微元法。

3 需要運(yùn)用微元法進(jìn)行分析的教學(xué)案例及微元法的處理技巧

例1：加速度的大小在連續(xù)變化

如圖1所示，兩根平行的光滑金屬導(dǎo)軌水平放置，相距為L(zhǎng)，電阻不計(jì)，在其左端連接一阻值為R的電阻，在導(dǎo)軌上垂直于導(dǎo)軌放置一質(zhì)量為m的金屬桿，其接入電路部分的電阻為r，現(xiàn)給金屬桿一個(gè)水平向右的初速度v0，那么，當(dāng)金屬桿運(yùn)動(dòng)距離為s時(shí)的速度是多少？

解析 本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，常規(guī)思路會(huì)選擇公式2as=v2-v 進(jìn)行求解。但仔細(xì)一想就會(huì)發(fā)現(xiàn)，金屬桿受到的安培力在隨速度的變化而連續(xù)變化，導(dǎo)致加速度也在連續(xù)變化，故無(wú)法運(yùn)用公式2as=v2-v 進(jìn)行求解，此時(shí)可考慮用微元法。

將整個(gè)過(guò)程分割為無(wú)限多小段，每一小段的加速度可認(rèn)為不變，故對(duì)于任意一小段Δv=a·Δt均可用，故

（例1中涉及的微元法模型在2006年江蘇高考第19題和2008年江蘇高考第15題中均有體現(xiàn)）

例2：位移的方向在連續(xù)變化

如圖2所示，用一個(gè)大小為F的水平恒力將一個(gè)質(zhì)量為m的小滑塊沿著水平跨度為x的山坡一直推到山頂，求水平恒力F對(duì)滑塊做的功？

解析 對(duì)于做功問(wèn)題的常規(guī)想法是運(yùn)用公式W=Fxcosθ進(jìn)行求解，但觀察這道題會(huì)發(fā)現(xiàn)滑塊的位移方向在連續(xù)變化，所以可考慮用微元法。將整個(gè)過(guò)程分割為無(wú)限個(gè)小段，每一個(gè)小段可認(rèn)為是直線，故對(duì)于每一小段ΔW=FΔscosθ均可用，由于功是標(biāo)量，故可將每一小段做的功進(jìn)行直接相加，即

ΔW= FΔscosθ=F Δx

故W=Fx

例3：電流的大小在連續(xù)變化

如圖3所示，兩根平行的光滑金屬導(dǎo)軌與水平面成θ角傾斜放置，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，在導(dǎo)軌的上端連接一電容為C的電容器，在導(dǎo)軌上由靜止放置一質(zhì)量為m的金屬桿，金屬桿在下滑過(guò)程中始終與導(dǎo)軌保持垂直，求經(jīng)歷t時(shí)間后金屬桿的速度及電容器所帶的電量是多少？

解析 在電路問(wèn)題中，對(duì)于電荷量的常規(guī)解法應(yīng)是運(yùn)用公式q=I·t進(jìn)行求解。但仔細(xì)一分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)，感應(yīng)電流在隨著速度的變化而變化，故可考慮用微元法。將整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分割為無(wú)限個(gè)小段，每一小段的電流可認(rèn)為是不變的，故對(duì)于每一小段公式Δq=I·Δt均可用，故

I= = =CBL =CBLa

又a= =

即a=

故a=

可見(jiàn)a是恒定不變的，故

v=at=

q=CU=CBLv=

（例3中涉及的微元法模型來(lái)自于2013年全國(guó)新課標(biāo)卷I第25題）

例4：質(zhì)量的大小在連續(xù)變化

一艘宇宙飛船在外太空勻速飛行，某時(shí)刻進(jìn)入一片塵埃聚集區(qū)，塵埃均勻分布且單位體積內(nèi)塵埃的個(gè)數(shù)是n，每粒塵埃的質(zhì)量為m0，飛船的橫截面積為S，若要使飛船仍能以恒定的速度v運(yùn)動(dòng)，則發(fā)動(dòng)機(jī)需要對(duì)飛船額外提供多大的動(dòng)力？

解析 中學(xué)階段研究的大多是質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題，即研究對(duì)象的質(zhì)量不會(huì)發(fā)生變化，而本題中研究對(duì)象的質(zhì)量在隨著飛船與塵埃碰撞的過(guò)程中連續(xù)變化，故可考慮用微元法。由于在任意一小段時(shí)間內(nèi)的碰撞情況完全一樣，故對(duì)任意一小段時(shí)間內(nèi)運(yùn)用動(dòng)量定理得：

F·Δt=Nm0v=nvSΔtm0v

即F=nSm0v2

（例4中涉及的微元法模型來(lái)自于2016年全國(guó)新課標(biāo)卷I第35題）

例5：非點(diǎn)電荷問(wèn)題（電荷連續(xù)可變）

如圖4所示，一個(gè)電荷均勻分布的帶電圓環(huán)，半徑為R，帶電量為Q，求在圓環(huán)的中心軸線上距離圓環(huán)圓心O點(diǎn)x處的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小？

解析 在中學(xué)階段學(xué)習(xí)的大多是點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度問(wèn)題，對(duì)于帶電圓環(huán)等非點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度的求解問(wèn)題，可考慮用微元法。將帶電圓環(huán)分割為無(wú)限個(gè)小段，每一小段可看作點(diǎn)電荷，則點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度公式E= 對(duì)于每一小段電荷Δq均可用，故Ei=

Exi=Ei·cosθ= · =

E= E = = Δq= =

例6：非質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題（質(zhì)量連續(xù)可變）

如圖5所示，一個(gè)半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點(diǎn)，B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為ρ，試求鐵鏈A端受的拉力T。

解析 在中學(xué)階段學(xué)習(xí)的大多是質(zhì)點(diǎn)的受力問(wèn)題，而本題是非質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題且質(zhì)量連續(xù)可變，故可考慮用微元法處理。取一小段微元ΔL，對(duì)其進(jìn)行受力分析，如圖6所示，有T+ΔT=ΔG·cosθ+T

通過(guò)以上常見(jiàn)案例可以看出，當(dāng)研究對(duì)象不是質(zhì)點(diǎn)但連續(xù)可變，或研究過(guò)程所涉及的核心物理量在連續(xù)變化，而這個(gè)變化使得我們無(wú)法用中學(xué)階段的常規(guī)公式或規(guī)律求解時(shí)，可考慮用微元法。

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（欄目編輯 羅琬華）