史寧中

?

高中數(shù)學課程標準修訂中的關鍵問題

史寧中

（東北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 長春 130024）

高中數(shù)學課程標準修訂中的關鍵問題有：凝練數(shù)學核心素養(yǎng)；數(shù)學核心素養(yǎng)與傳統(tǒng)數(shù)學教育；課程結(jié)構(gòu)與課程標準表述；基于核心素養(yǎng)的教學和評價．

數(shù)學核心素養(yǎng)；課程結(jié)構(gòu)；課程標準表述；基于核心素養(yǎng)的教學；基于核心素養(yǎng)的評價

雖然按照慣例，課程標準實施10年以后就要進行修訂，但是，這次高中數(shù)學課程標準的修訂卻有兩個重要的背景．一個背景，教育部在2012年就組織了以華東師范大學為主體的專家組，對2003年形成的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）》的使用情況進行了廣泛調(diào)查，形成了詳實的調(diào)查報告，其中的經(jīng)驗和問題都是修訂的重要依據(jù)．另一個背景、也是更重要的背景，為了落實“十八大”提出的教育“立德樹人”的根本任務，教育部2014年發(fā)布《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》的文件，提出核心素養(yǎng)、以及學科核心素養(yǎng)，并且明確要求“研究制定學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學業(yè)質(zhì)量標準”，這個要求成為修訂的重要原則．

關于數(shù)學核心素養(yǎng)．為了落實上述重要原則，高中數(shù)學課程標準修訂組不僅要研制出高中階段數(shù)學學科的核心素養(yǎng)是什么，還要在數(shù)學內(nèi)容的闡述中突出核心素養(yǎng)，基于學科核心素養(yǎng)提出教學建議、評價建議、制定學業(yè)質(zhì)量標準．為了做好這個工作，教育部成立了由北京師范大學專家牽頭的小組，專門研究核心素養(yǎng)，于2016年9月13日公布了研究結(jié)果，將核心素養(yǎng)定義為“學生應具備的、能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力”．并且，基于社會參與、自主發(fā)展、文化修養(yǎng)3個方面，提出6個條目18個具體指標．為此，課程標準把數(shù)學核心素養(yǎng)定義為“學生應具備的、能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的、與數(shù)學有關的思維品質(zhì)和關鍵能力”．

為了具體表述高中數(shù)學核心素養(yǎng)，首先需要描述，通過高中階段的數(shù)學教育，培養(yǎng)出來的人是什么樣的．數(shù)學學科是基礎教育階段最為重要的學科之一，通過基礎教育階段的數(shù)學教育，不管接受教育的人將來從事的工作是否與數(shù)學有關，終極培養(yǎng)目標都可以描述為：會用數(shù)學的眼光觀察世界；會用數(shù)學的思維思考世界；會用數(shù)學的語言表達世界．因此，在本質(zhì)上，這“三會”就是高中階段的數(shù)學核心素養(yǎng)，是超越具體數(shù)學內(nèi)容的教學目標．

為了廣大的數(shù)學教育工作者能夠在教材的編寫、數(shù)學教育研究、數(shù)學教育過程中有機地融入數(shù)學核心素養(yǎng)，課程標準需要把“三會”具體化，賦予內(nèi)涵．

數(shù)學的眼光是什么呢？就是數(shù)學抽象．因為①：數(shù)學的研究源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過抽象得到了數(shù)學的研究對象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等數(shù)學方法，理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關系和規(guī)律．正因為有了數(shù)學抽象，就形成了數(shù)學的第一個基本特征，這就是數(shù)學的一般性，使得數(shù)學能夠揭示普遍規(guī)律．與數(shù)學抽象關系密切的是直觀想象，直觀想象是實現(xiàn)數(shù)學抽象的思維基礎，是人在思維的過程中逐漸形成的思想方法和思考能力，因此在高中數(shù)學階段，也把直觀想象作為數(shù)學核心素養(yǎng)的一個要素提出．

數(shù)學的思維是什么呢？就是邏輯推理．數(shù)學的發(fā)展依賴的是邏輯推理，通過邏輯推理得到數(shù)學的結(jié)論，也就是數(shù)學命題．所謂推理是指從命題判斷到命題判斷的思維過程，其中的命題是指可供判斷正確或者錯誤的陳述句；所謂邏輯推理，就是從一些前提或者事實出發(fā)，依據(jù)一定的規(guī)則得到或者驗證命題的思維過程，這里所說的規(guī)則是指推理過程具有傳遞性[1]．正因為有了邏輯推理，就形成了數(shù)學的第二個基本特征，這就是數(shù)學的嚴謹性．雖然數(shù)學運算是邏輯推理的一種特殊的形式，但在高中階段，數(shù)學運算非常重要，因此在高中數(shù)學階段，也把數(shù)學運算作為數(shù)學核心素養(yǎng)的一個要素提出．

數(shù)學的語言是什么呢？就是數(shù)學模型．數(shù)學模型使得數(shù)學回歸于外部世界，構(gòu)建了數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁．在現(xiàn)代社會，幾乎所有的學科在科學化的過程中都要使用數(shù)學的語言，除卻數(shù)學符號的表達之外，主要是通過建立數(shù)學模型刻畫研究對象的性質(zhì)、關系和規(guī)律．正是因為有了數(shù)學建模，就形成了數(shù)學的第三個基本特征，這就是數(shù)學應用的廣泛性．因為在大數(shù)據(jù)時代，數(shù)據(jù)分析變得越來越重要，逐漸形成了一種新的數(shù)學語言，因此在高中數(shù)學階段，也把數(shù)據(jù)分析作為數(shù)學核心素養(yǎng)的一個要素提出．

這樣，課程標準就確定了高中數(shù)學核心素養(yǎng)的6個要素：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析．為了便于理解，課程標準對每一個要素，都分別從概念內(nèi)涵、學科價值、學生表現(xiàn)3個層次進行了述說．因為上面提到的數(shù)學3個基本特征，即一般性、嚴謹性和應用的廣泛性，是全世界數(shù)學家的共識，而數(shù)學核心素養(yǎng)的6個要素是實現(xiàn)這3個基本特征的思維基礎，是高中數(shù)學內(nèi)容體現(xiàn)出來的思維品質(zhì)和基本能力，因此，課程標準把數(shù)學核心素養(yǎng)的這6個要素寫進課程目標，希望能夠貫穿在高中數(shù)學教育的全過程．

數(shù)學核心素養(yǎng)與傳統(tǒng)數(shù)學教育．中國數(shù)學基礎教育的傳統(tǒng)和特色是“雙基”，是指基礎知識和基本技能，傳統(tǒng)數(shù)學教育的目標就是要求：基礎知識扎實、基本技能熟練．在中國，從2001年開始的課程改革的核心，就是變一維目標到三維目標，也就是，把知識技能這個一維目標，變?yōu)橹R技能、過程方法、情感態(tài)度價值觀這樣的三維目標．

三維目標中所說的情感態(tài)度價值觀屬于核心素養(yǎng)所說的必備品格，重要性不言而喻．但是，三維目標中所說的“過程方法”在課程標準中并沒有成為目標，這是因為在描述“過程方法”時使用的行為動詞是“經(jīng)歷”、“體驗”、“探索”，并沒有說明通過這些“過程”讓學生獲得什么．為此，在修訂義務教育數(shù)學課程標準時，把“過程”目標表述為：通過學生參與其中的數(shù)學教學活動過程，讓學生感悟數(shù)學的基本思想，積累數(shù)學思維和實踐的基本經(jīng)驗．這就把傳統(tǒng)數(shù)學教育的“雙基”發(fā)展為“四基”，并且在《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）解讀》中特別強調(diào)“‘四基’的提出是在傳統(tǒng)‘雙基’的前提上，又加上了基本思想和基本活動經(jīng)驗，目的是通過數(shù)學的學習，學生不僅把數(shù)學作為一種技術(shù)和手段，更要讓學生學會思考，逐步具有抽象的能力和邏輯推理能力．”與此同時，義教數(shù)學課程標準又在“分析問題的能力和解決問題的能力”的基礎上，增加了“發(fā)現(xiàn)問題的能力和提出問題的能力”，這就把“兩能”擴展為“四能”．無論是把“雙基”擴展為“四基”、還是把“兩能”擴展為“四能”，都是為了社會和個人發(fā)展的需要，是為了培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的需要．

為了清晰什么是數(shù)學的基本思想，曾經(jīng)建立了兩個判斷標準，這就是：數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展必須依賴的思想；學習過數(shù)學的人應當具備的基本思維品質(zhì)．基于這兩個判斷標準，數(shù)學基本思想包括3個要素：抽象、推理和模型．由此可以看到，現(xiàn)在所說的數(shù)學核心素養(yǎng)與傳統(tǒng)數(shù)學教育、與“四基”是一脈相承的，只不過，現(xiàn)在把數(shù)學核心素養(yǎng)放在了一個更加突出的位置[2]．

課程結(jié)構(gòu)與課程標準表述．基于上面所說的兩個背景、為了適應未來數(shù)學高考“文理不分科”的要求，課程標準設計了3類課程：必修課程、選擇性必修課程和選修課程．

必修課程設計8學分，必修課程的內(nèi)容是對高中畢業(yè)的要求；選擇性必修課程設立6學分，必修課程內(nèi)容加上選擇性必修課程內(nèi)容是高考的要求，這兩個課程一共14學分，與原來文科學分一致；選修課程設立6學分，供學校自主設定、學生自主選修，內(nèi)容設計基于4個原則：為學生確定發(fā)展方向提供引導，為學生展示數(shù)學才能提供平臺，為學生發(fā)展數(shù)學興趣提供選擇，為大學自主招生提供參考．

為了便于初中數(shù)學與高中數(shù)學的銜接，課程標準設計了“預備知識”主題；因為數(shù)學核心素養(yǎng)蘊含于數(shù)學內(nèi)容的邏輯體系之中，課程標準舍棄了模塊結(jié)構(gòu)，設計了3條內(nèi)容主線：函數(shù)、幾何與代數(shù)、統(tǒng)計與概率，這3條內(nèi)容主線貫穿必修課程和選擇性必修課程；此外，課程標準還設計了“數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動”主題，貫穿必修課程和選擇性必修課程．

課程標準在《課程內(nèi)容》的表述中增加了“教學提示”和“學業(yè)要求”的欄目，分別從學習內(nèi)容和學業(yè)質(zhì)量的角度提出要求，希望教科書的編寫和教師的教學，能夠把數(shù)學內(nèi)容與相應的數(shù)學核心素養(yǎng)有機結(jié)合．并且，在《課程內(nèi)容》之后專門設立《學業(yè)質(zhì)量標準》一章，把數(shù)學內(nèi)容與相應的數(shù)學核心素養(yǎng)合為一體、劃分出3個水平，分別對應于必修課程、選擇性必修課程和選修課程；每一個水平的表述都涉及“情境與問題”、“知識與技能”、“思維與表達”、“交流與反思”4個方面，并且對每一個方面都定義了相應的內(nèi)涵．希望教材編寫者和教師能夠把握學業(yè)質(zhì)量標準的整體性和階段性，統(tǒng)籌設計有利于學生達成學業(yè)目標的教學過程；能夠深入研究學業(yè)質(zhì)量標準，在關注學生知識技能掌握的同時，關注學生相應數(shù)學核心素養(yǎng)的達成．

在《實施建議》一章中，包括教學與評價建議、學業(yè)水平考試與高考命題建議、教材編寫建議、地方與學校實施課程標準建議，這些都是課程標準能夠得以實施的關鍵環(huán)節(jié)．

最后，課程標準設置了兩個附錄：《附錄A》從數(shù)學核心素養(yǎng)6個要素的角度，對學業(yè)質(zhì)量標準的3個水平進行了整理；《附錄B》給出大約40個案例，是為了更好地理解課程標準的述說，包括內(nèi)容的理解、教學的實施；特別是通過案例解釋在考試評價過程中，如何把數(shù)學核心素養(yǎng)融入數(shù)學內(nèi)容，如何設計開放題、以及在閱卷過程中使用“滿意原則”和“加分原則”．

基于核心素養(yǎng)的教學．既然數(shù)學核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展，那么“四基”就是學生形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的有效載體．強調(diào)“四基”就要把握數(shù)學知識的本質(zhì)，在數(shù)學教學活動中，讓學生在掌握知識技能的同時理解知識的本質(zhì)，感悟知識所蘊含的數(shù)學基本思想，積累數(shù)學思維和實踐的經(jīng)驗，在這個基礎上促進學生形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)．

學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，是在教師的啟發(fā)和引導下，學生通過自己的獨立思考、或者與他人交流，最終是自己“悟”出來的，是一種逐漸養(yǎng)成的思維習慣和思想方法，因此在教學活動中，把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)、精心設計合適的教學方案就非常重要．

比如，關于函數(shù)概念的教學．高中階段的數(shù)學，函數(shù)是非常重要的內(nèi)容，因此課程標準把函數(shù)作為高中數(shù)學內(nèi)容3個主線之一．函數(shù)教學首先遇到的問題是，學生在初中階段已經(jīng)學過函數(shù)的概念，是用變量關系講授的，高中階段又要通過對應關系重新定義函數(shù)，這是為什么呢？重新定義有必要嗎？在過去的教學中，教科書沒有論及這個問題，教學過程中也不涉及這個問題，于是給學生留下這樣的知識：函數(shù)有兩個定義，這兩個定義是有區(qū)別的、是應當記憶的．顯然，這樣的教學無法讓學生理解函數(shù)概念表述方式改變所蘊含的數(shù)學思想，也無法感悟數(shù)學抽象的層次性．事實上，為了闡述函數(shù)概念表述方式改變的必要性，可以舉例說明．

進一步，在函數(shù)對應的定義中，為什么要求“實數(shù)集合到實數(shù)集合”的對應呢？過去高中數(shù)學教學也不論及這個問題，但是，這個問題是非常本質(zhì)的．還是可以通過舉例讓學生明白其中的道理，比如，自變量是角度時，如果仍然定義sin是函數(shù)，那么可以提出這樣的問題：+sin是不是函數(shù)？如果是函數(shù)，那么會出現(xiàn)函數(shù)值是個實數(shù)、但自變量角度不是十進制實數(shù)情況，怎么相加呢？如果不是函數(shù)，那么會出現(xiàn)自變量與函數(shù)值不可以相加的情況，這就無法建立一般意義上的初等函數(shù)．究其原因可以知道，函數(shù)必須是實數(shù)到實數(shù)的對應．這也從另一個角度說明建立弧度制的必要性．

無論是數(shù)學概念的述說、還是計算方法的使用，高中數(shù)學與初中數(shù)學都有一個顯著的變化，這就是更加抽象．正是因為有了這樣的抽象，才使得數(shù)學的表達具有了一般性，就像前面論述的那樣．因此在函數(shù)概念的教學中，應當讓學生感知這樣的變化、啟發(fā)學生思考，進而引導學生理解數(shù)學的本質(zhì)、感悟數(shù)學的思想、形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)．

無論是教材的編寫、還是教學的設計，都可以考慮改變傳統(tǒng)的設計思路，不是每一節(jié)課或每一個知識點進行設計，而是把一些具有邏輯聯(lián)系的知識點放在一起進行整體設計．碎片化的數(shù)學內(nèi)容，無法把數(shù)學的本質(zhì)表述清楚，更無法體現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)．可以把這樣的整體稱為單元或者主題，把這些內(nèi)容前后照應進行教學設計，就可以在關注知識技能的同時，思考知識技能所蘊含的數(shù)學本質(zhì)、體現(xiàn)的數(shù)學思想，最終實現(xiàn)學生形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的目標．

基于核心素養(yǎng)的教學，要特別重視情境的創(chuàng)設和問題的提出．核心素養(yǎng)是在特定情境中表現(xiàn)出來的知識、能力和態(tài)度，只有通過合適的情境才有利于學生感悟和形成．設計情境和提出問題的目的是啟發(fā)學生思考，設計情境和提出問題的根基是數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)．

情境與問題是多樣的、多層次的．情境可以包括：現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境；每種情境可以分為：熟悉的情境、關聯(lián)的情境、綜合的情境．問題是指情境中的問題，從學生認識的角度可以分為：簡單的問題、較為復雜的問題、復雜的問題；從學生思維的角度可以分為：模仿的問題、聯(lián)系的問題、創(chuàng)造的問題．情境與問題是聯(lián)系在一起的，一個情境是否合適并不僅僅取決于情境本身，而在于所提出的問題是否能夠揭示數(shù)學的本質(zhì)．

綜上所述，理想的數(shù)學教學過程，應當注意幾個環(huán)節(jié)：把握數(shù)學知識本質(zhì)，把握學生認知過程；創(chuàng)設合適教學情境，提出合適數(shù)學問題；啟發(fā)學生獨立思考，鼓勵學生相互交流；掌握知識技能，理解數(shù)學本質(zhì)；感悟數(shù)學基本思想，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)．

上面說的環(huán)節(jié)不是教學模式，也不要求在每一堂課都實現(xiàn)，是整體教學設計時應當考慮的，是在整體教學實施時應當實踐的．因為數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是學生日積月累的結(jié)果，因此需要整體設計、分步實施．教學過程要注意到這個問題，教材編寫也要注意到這個問題．

基于核心素養(yǎng)的考試評價．無論學業(yè)質(zhì)量考試還是高考，都涉及到兩個方面的問題，一個方面是評價的方式，另一個方面是命題的形式．

要改變單純依賴一張試卷的評價方式．對于日常評價，除了期末考試的成績以外，還可以參考其他內(nèi)容進行評價，比如，期中考試的成績、日常作業(yè)完成的情況、日常教學活動中的表現(xiàn)；特別是“數(shù)學建模活動和數(shù)學探究活動”這個主題，要求學生通過研究報告或者小論文的形式完成，也可以作為日常評價的依據(jù)．高等院校招生評價、特別是自主招生評價，除了高考的成績外，還要參考學生其他信息，比如，放在學生學習檔案中的相關材料：學生參加社會活動的評價、學生完成的研究報告或者小論文、選修課程中各類課程的成績、高中奧數(shù)的成績，等等．不言而喻，實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)變的前提是學生的學習檔案中要有豐富的材料，可供高等院校錄取時參考．

關于命題的形式，知識技能的考核還是重要的，但不能過分強調(diào)解題的速度，這是為了避免高中學習階段過分的大強度訓練．因此，在不增加題量的前提下，可以考慮適當延長考試的時間．

關于命題的設計，可以考慮兩個轉(zhuǎn)變，一個轉(zhuǎn)變是關注學生數(shù)學核心素養(yǎng)的達成；一個轉(zhuǎn)變是考察學生的思維能力．關于第一個轉(zhuǎn)變，命題設計不僅要關注知識點，還要關注數(shù)學核心素養(yǎng)的達成．可以從數(shù)學知識出發(fā)考慮所蘊含的數(shù)學核心素養(yǎng)，或者反過來，可以從數(shù)學核心素養(yǎng)出發(fā)考慮相應的數(shù)學知識，在題目中把數(shù)學知識與數(shù)學核心素養(yǎng)有機結(jié)合、融為一體．關于第二個轉(zhuǎn)變，可以通過開放題的形式實現(xiàn)，問題的答案不是在題目中給定的，需要學生自己想象，因此在解答的過程中，還需要學生回答想象的理由是什么．課程標準在“學業(yè)水平考試與高考命題建議”提出“滿意原則”和“加分原則”，并且在《附錄B》中給出一定數(shù)量的案例，供命題設計時參考．

課程標準的修訂經(jīng)歷了兩年多的時間，在這個過程中，得到許多教育家、數(shù)學家、數(shù)學教育家、高中教材編寫專家、以及廣大的教研員和高中數(shù)學教師的關心和支持，他們提出了許多寶貴的意見和建議，使得修訂工作能夠順利進行，在此深表感謝．

[1] 史寧中．試論數(shù)學推理過程中的邏輯：兼論什么是有邏輯的推理[J]．數(shù)學教育學報，2016，25（4）：1-16．

[2] 朱雁，鮑建生．從“雙基”到“四基”：中國數(shù)學教育傳統(tǒng)的繼承與超越[J]．課程·教材·教法，2017，37（1）：62-68．

Key Problems in the Revision of High School Mathematics Curriculum Standards

SHI Ning-zhong

(School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jinlin Changchun 130024, China)

Key problems in the revision of high school mathematics curriculum standards are condensing the core literacy of Mathematics, the core literacy of mathematics and the traditional mathematics education, structure and expression of curriculum standard, teaching and evaluation based on core literacy.

the core literacy of mathematics; structure of curriculum; expression of curriculum standard; teaching based on core literacy; evaluation based on core literacy

[責任編校：周學智]

① 下面一段論述也是課程標準對數(shù)學的理解，這樣的理解不僅強調(diào)了數(shù)學的工具性，也強調(diào)了數(shù)學的思想性和文化性，因此突出了形成數(shù)學素養(yǎng)的基礎．

2018–01–23

史寧中（1950—），男，江蘇南京人，教授，博士生導師，中國教育學會學術(shù)委員會主任、教育部課程教材專家委員會副主任、高中數(shù)學課程標準修訂組組長、東北師范大學前校長、CAP數(shù)學專家委員會主任，主要從事數(shù)理統(tǒng)計與數(shù)學教育研究．

G632

A

1004–9894（2018）01–0008–03

史寧中．高中數(shù)學課程標準修訂中的關鍵問題[J]．數(shù)學教育學報，2018，27（1）：8-10．