在模型驗證中積累探究的活動經(jīng)驗
——《交換律和結(jié)合律》教學賞析

○李海東

幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是課程標準的要求。學生立足于對已有問題的探究，并在問題解決過程中所形成的數(shù)學活動經(jīng)驗就是探究的活動經(jīng)驗。這種探究活動既有外顯行為的操作活動，也有思維層面的操作活動。學生自學能力強，很多內(nèi)容往往在教師新授之前就會了。學生如果一上課就能把運算定律或計算公式等模型類的數(shù)學知識直接說出來，教師該如何引導他們探究呢？又該如何幫助他們在數(shù)學學習過程中積累探究的活動經(jīng)驗呢？讓我們一起來欣賞著名特級教師劉松的教學藝術(shù)吧。

一、初次驗證中形成經(jīng)驗

師：什么是乘法交換律？用字母如何表示？

生：交換兩個因數(shù)的位置，積不變。用字母表示是a×b=b×a。

師：你怎么向別人解釋？

生：我給大家舉例，如2×3=3×2。

師：兩個因數(shù)的位置有沒有交換？（交換了）積有沒有變？（沒變）還有其他例子嗎？

生：5×3=3×5。

師：舉例可以證明乘法交換律。數(shù)學上證明一個結(jié)論的正確，至少要通過兩種不同途徑。除了舉例，還有什么方法解釋嗎？

圖1　

圖2

師：用乘法計算每幅圖中的車輛時，計算結(jié)果唯一嗎？計算方法呢？

圖3

生：圖2可以列式為2×5或5×2，都是求一共有多少輛車。

生：圖3可以列式為3×5或5×3，都是求一共有多少輛車。

生：圖1可以列式為1×5或5×1，都是求一共有多少輛車。

師：計算結(jié)果的唯一性與計算方法的多樣性，決定了乘法交換律作為一個數(shù)學事實的存在。解釋和說明乘法交換律，不僅可以舉例，也可以用平面圖形直觀地表達。

學生學習的過程是一種“再創(chuàng)造”的過程。自學獲得的乘法交換律對他們而言只是猜測。只有經(jīng)過驗證，猜測才能真正成為模型。學生在舉例驗證中通過不完全歸納初步發(fā)現(xiàn)猜測是正確的。但這樣缺乏本質(zhì)的教學，學生理解往往不夠深刻。因此，劉老師出示三幅圖，引導學生分別計算每幅圖中的車輛，使他們發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果的唯一性與計算方法的多樣性也能驗證猜測。這樣，學生不僅通過簡單的舉例驗證，而且借助圖形用幾何直觀的方法確認了數(shù)學事實的存在，從而有效驗證了乘法交換律模型。在第一次模型驗證過程中，學生初步形成了探究的活動經(jīng)驗——自學獲得的數(shù)學模型需要驗證，除了舉例，還可以借助幾何直觀的方法驗證。借助幾何直觀用平面圖形表達，復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象。

二、再次驗證中強化經(jīng)驗

師：什么是乘法結(jié)合律？用字母如何表示？

生：先乘前兩個數(shù)，或者先乘后兩個數(shù)，積不變，這叫做乘法結(jié)合律。用字母表示是（a×b）×c=a×（b×c）。

師：怎樣證明這個數(shù)學事實呢？

生：舉例說明，如（2×3）×5＝2×（3×5）。

生：（25×5）×2＝25×（5×2）。

生：（1×2）×3＝1×（2×3）。

師：三個數(shù)相乘，先算前兩個，或先算后兩個，積有沒有改變？

生：運算順序變了，乘積沒變。

師：除了舉例證明，還能用圖形解釋乘法結(jié)合律嗎？

師（出示圖4）：立體車庫中共停多少輛車？怎么算？

圖4

生：先算上面一層，再乘3，也就是5×4×3（如圖5）。

圖5　

圖6

生：先算最右邊的一層是4×3，再乘豎著的5層，就知道一共有多少輛車（如圖6）。

師：兩種不同算法，計算結(jié)果都表示什么？

生：車庫一共停放多少輛車。

師：兩種不同方法，即使不計算，我們也能確定結(jié)果如何？（相等）觀察算式左右兩邊，先乘前兩個數(shù)，或先乘后兩個數(shù)，積有沒有改變？（沒有）這能解釋乘法結(jié)合律的存在嗎？

生：能。

師：多樣的方法指向同一個結(jié)果，這就決定了乘法結(jié)合律作為一個數(shù)學事實的存在。乘法結(jié)合律在三維空間內(nèi)得到了完美解釋。

自學獲得的乘法結(jié)合律同樣是猜測，需要驗證。學生舉例驗證后，剛形成的數(shù)學活動經(jīng)驗使他們明白自己還可以用幾何直觀的方法進行驗證。劉老師出示了一幅圖，讓學生用不同方法計算車庫中的汽車數(shù)量進行驗證。這樣，學生先后用舉例和幾何直觀的方法驗證了乘法結(jié)合律模型。在第二次模型驗證過程中，學生強化了探究的活動經(jīng)驗——用不同方法驗證，如果殊途同歸，就能確認模型。用幾何直觀的方法進行驗證，不僅使乘法結(jié)合律模型在三維空間內(nèi)得到完美解釋，而且能幫助學生進一步密切數(shù)學與生活的聯(lián)系。

三、三次驗證中遷移經(jīng)驗

師（邊說邊板書）：（5×4）×3=5×（4×3）=5×（3×4）=（5×3）×4。我們用交換律和結(jié)合律可以得到（5×3）×4，說明計算車庫一共可以停放多少輛車還有第三種方法。想一想，這種方法先算了哪一層？

生：前面一層。

師：棒極了?。ń處煶鍪緢D7，驗證學生猜想）

圖7

師：乘法有交換律和結(jié)合律。乘法是特殊加法，加法有沒有交換律和結(jié)合律呢？（有）如果有，加法交換律和結(jié)合律怎樣用字母表示？

生：加法交換律是a+b=b+a。

生：加法結(jié)合律是（a+b）+c=a+（b+c）。

師：這些結(jié)論是否正確，該如何解釋？請用今天的學習方法課后去驗證！

為了幫助學生有效積累數(shù)學探究的活動經(jīng)驗，劉老師先根據(jù)乘法交換律和結(jié)合律推導出（5×4）×3=（5×3）×4，獲得猜想后，再出示車庫圖，引導學生借助幾何直觀進行驗證，一方面幫助學生遷移應用探究活動經(jīng)驗，另一方面引導學生發(fā)現(xiàn)舉例驗證模型的局限性。在此基礎(chǔ)上，劉老師引導學生猜想加法交換律和結(jié)合律。學生嘗試用字母表示的同時，就提出了新的數(shù)學猜想。由于課堂時間的限制，學生無法立即驗證，只能到課后完成。學生所形成的探究的活動經(jīng)驗有助于自己順利完成模型驗證任務。這樣教學，不僅充分培養(yǎng)了學生的模型驗證能力，而且能有效幫助學生積累探究的活動經(jīng)驗，并且給人一種言猶未盡、余味無窮的感覺。