于巖君， 葉慶衛(wèi)， 陸志華， 周 宇

(寧波大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，浙江 寧波 315211)

HHT(Hilbert-Huang Transform)技術(shù)是由Huang等[1-2]提出的處理非線性、非平穩(wěn)信號的新方法，這是繼傳統(tǒng)傅里葉時頻分析和小波分析方法后的具有重大突破性的應(yīng)用數(shù)學(xué)方法。HHT需要經(jīng)過經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)和Hilbert變換兩大步驟實現(xiàn)，其中EMD分解是其核心步驟。如今，EMD算法已在機械故障診斷、信號處理與分析、經(jīng)濟金融工程等領(lǐng)域[3-5]得到了廣泛的應(yīng)用，而包絡(luò)線的提取好壞直接影響EMD分解的結(jié)果，因此越來越多的學(xué)者對此問題做了大量的研究。鐘佑明[6]在經(jīng)典三次樣條插值理論下提出Akima插值算法和分段冪函數(shù)法，通過三者之間的對比實驗，從擬合曲線的“光滑性”和“柔性”方面做了改進，但是仍無法消除端點飛翼和“過沖”、“欠沖”問題。廣義檢波濾波是除三次樣條插值法外的提取包絡(luò)的另一經(jīng)典方法，此方法容易產(chǎn)生解調(diào)混頻效應(yīng)，張帆等[7]提出采用合適的采樣頻率或提高采樣頻率可使廣義檢波解調(diào)分析中的混頻效應(yīng)忽略不計，但是這種方法對于處理復(fù)雜信號效果不佳。張郁山等[8]提出了基于自回歸模型的延拓結(jié)構(gòu),采用“邊篩分邊延拓”方法將延拓得到的極值點和信號本身的極值點聯(lián)合起來構(gòu)成包絡(luò)，最后篩分出IMF分量，但是自回歸模型需為預(yù)測的數(shù)據(jù)點個數(shù)設(shè)置一個較大的數(shù)值,影響篩選過程的精度,通用性比較差。

文獻[9]提出了基于稀疏復(fù)原的包絡(luò)線提取算法。稀疏復(fù)原本質(zhì)是求解一個范數(shù)最小模型問題，它可以利用較少的觀測值精確地恢復(fù)出原始信號，某些信號的小波變換、離散余弦變換等都具有一定的稀疏性[10]，所以稀疏重構(gòu)具有普遍適用性。雖然文獻[9]的稀疏復(fù)原方法在一定程度上抑制了端點效應(yīng)，但是抗噪性能有待提高，而且在尋優(yōu)改變DCT基頻帶寬度的變化因子m時，一方面需要人為挑選，降低了包絡(luò)線提取精度；另一方面尋找到的m只具有局部最優(yōu)的性質(zhì)，不具有全局性，所以尋優(yōu)結(jié)果存在一定的片面性。

針對以上問題，本文結(jié)合粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)的獨特優(yōu)勢[11]進一步對基于稀疏復(fù)原提取信號包絡(luò)線的算法做了改進。在文獻[9]的基礎(chǔ)上引入混合變異粒子群優(yōu)化算法對變化因子m進行全局尋優(yōu)，從而自適應(yīng)地提取出最優(yōu)的包絡(luò)線；并且將包絡(luò)線稀疏重構(gòu)優(yōu)化模型中的凹二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為凸二次規(guī)劃問題，利用內(nèi)點法求得該模型中的稀疏解，其中，采用混合變異粒子群有效地避免了變化因子m陷入局部最優(yōu)。實驗仿真與實際提取的斜拉索振動信號測試表明，基于PSO的信號包絡(luò)線稀疏重構(gòu)最優(yōu)化算法同樣可以克服端點飛翼問題，同時PSO的引入，可以自適應(yīng)的找出最適合包絡(luò)線平穩(wěn)特性的DCT基，克服了人為主觀確定的缺點，提高了包絡(luò)線的提取精度與抗噪性能。

1 稀疏復(fù)原擬合包絡(luò)線基本原理

包絡(luò)線的提取貫穿于整個EMD分解過程，后續(xù)也會影響到瞬時頻率的計算結(jié)果。但是至今在包絡(luò)線提取算法上還沒有系統(tǒng)的理論支撐，目前最常用的經(jīng)驗算法有三次樣條插值、分段冪函數(shù)和廣義檢波濾波等。文獻[9]已經(jīng)對三次樣條插值和包絡(luò)檢波原理做了詳細介紹，在此不再贅述。

文獻[9]基于壓縮感知理論，提出了利用稀疏重構(gòu)的思想提取包絡(luò)線，下面以上包絡(luò)線為例，詳細說明此方法的基本原理。

用向量x(t)=[x1(t),x2(t),…,xN(t)]T表示所要求解的上包絡(luò)線信號，其中N表示采樣點的個數(shù)，用yd(t)=[xd1,xd2,…,xdk]表示從原始信號x(t)中提取的所有極大值點所構(gòu)成的信號，其中K表示極大值點的個數(shù)。由于x(t)不是嚴(yán)格的K-稀疏，所以要將其投影在構(gòu)造的基矩陣上進行稀疏表示，即：

x(t)=Ψs

(1)

s為稀疏基Ψ下的K稀疏信號，Ψ為N×N的余弦變換矩陣。稀疏基的構(gòu)建是整個稀疏復(fù)原過程中的關(guān)鍵技術(shù)之一，根據(jù)包絡(luò)線的低頻特性和離散余弦變換的“能量集中”特性，經(jīng)過離散余弦變換后信號的能量將集中在低頻部分，所以選擇了結(jié)構(gòu)簡單的離散余弦變換基(DCT基)。為了提高包絡(luò)線的重構(gòu)精度與效率，文獻[9]定義變化因子m，主要用于改變稀疏基的頻帶寬度，減小重構(gòu)信號的頻率之差。其表達式如下

k=1,2,…,Nn=0,1,…,N-1

(2)

由于包絡(luò)線信號x(t)都經(jīng)過其極值點，所以將極大值點所組成的信號yd(t)作為信號x(t)壓縮采樣后得到的M維觀測信號，其過程可描述為

yd(t)=Φ·x(t)

(3)

矩陣ΦM×N稱為觀測矩陣(又稱測量矩陣)，其中M在數(shù)值上與極大值點的個數(shù)K是相等的。由于所求稀疏解s稀疏度越高恢復(fù)出的x(t)效果越好，所以由式(1)、(3)可得包絡(luò)信號x(t)重構(gòu)模型為

.t.yd(t)=Φ·Ψ(m)·s

(4)

基于信號包絡(luò)線的低頻特性，應(yīng)該使恢復(fù)出的包絡(luò)線足夠光滑，從而根據(jù)頻域特征提取更精確的信息，基于此設(shè)計了一階微分矩陣D(N-1)，定義信號的平穩(wěn)度函數(shù)E(t)來體現(xiàn)信號包絡(luò)的變化程度。其中：

(xN-1-xN)2

(5)

因此提取的最佳信號包絡(luò)線是滿足E(t)最小的稀疏重構(gòu)獲得的曲線，綜上所述，基于稀疏復(fù)原的信號包絡(luò)線提取的數(shù)學(xué)模型為

(6)

2 基于粒子群的包絡(luò)線稀疏復(fù)原算法

2.1 稀疏復(fù)原擬合包絡(luò)線的改進模型

針對以上問題，本文對此做了兩點改進。首先將式(6)中的非凸模型轉(zhuǎn)化為凸二次規(guī)劃問題，從而利用內(nèi)點法求得稀疏解；其次為了得到全局最優(yōu)m值，本文將DCT基中的m放在分子上，范圍取[0,1]之間，利用混合變異粒子群算法對m自主尋優(yōu)，避免了m陷入局部最優(yōu)的問題。同時在尋優(yōu)過程中，通過改變粒子群算法中的適應(yīng)度函數(shù)，直接提取出誤差最小的包絡(luò)線信號。

針對式(6)中的l0范數(shù)最小化問題，匹配追蹤類算法是目前比較成熟的求解算法，包括MP、OMP、ROMP等。Donoho在文獻[12]提出滿足RIP條件下可將l0模型轉(zhuǎn)化為最小化l1模型，針對l1模型一般用凸松弛算法求解，包括BP、內(nèi)點法等。因此式(6)中優(yōu)化模型可改為

(7)

式(7)中的λ稱為正則化參數(shù)，此模型所求解一般是稀疏的(其證明詳見文獻[14])，由此符合稀疏復(fù)原的要求。由于上述l1-正則化模型是不可微的，所以受文獻[13]的啟示，通過引入線性不等式約束將稀疏重構(gòu)模型轉(zhuǎn)化為一個凸二次規(guī)劃問題，這樣便可以用內(nèi)點法求解此凸二次問題，重構(gòu)模型修正為

(8)

若采用內(nèi)點法求解上述模型中的稀疏解s，首先要構(gòu)造懲罰函數(shù)，由此將不等式約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束優(yōu)化問題，其中懲罰函數(shù)構(gòu)造形式如下

(9)

然后利用懲罰函數(shù)構(gòu)造增廣目標(biāo)函數(shù)，即無約束優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)

(10)

對于求解式(10)無約束優(yōu)化問題本文選擇了具有超線性收斂速度且結(jié)構(gòu)簡單的共軛梯度法，在每次迭代過程中根據(jù)凸二次函數(shù)f(s,u)的Hesse陣G產(chǎn)生的共軛方向以及由精確線搜索方法所確定的搜索步長來求解正定二次目標(biāo)函數(shù)極小點，此極小點即為模型中的稀疏解s。

2.2 粒子群尋優(yōu)變化因子m

本文利用粒子群算法對上述模型中的Ψ(m)進行尋優(yōu)，將式(8)中的目標(biāo)函數(shù)作為粒子群算法中的適應(yīng)度函數(shù)，同時PSO的引入可以靈活改變稀疏復(fù)原方法，本文選擇了內(nèi)點法求得稀疏解s， 最后將尋找到的最優(yōu)稀疏基Ψ(m)和與之對應(yīng)的稀疏解s代入x(t)=Ψ(m)·s中即可求得誤差最小的包絡(luò)信號。

用混合變異粒子群算法尋優(yōu)變化因子m，能使搜索算法很快地收斂到全局最優(yōu)值。由于只對m尋優(yōu)，則搜索空間大小為1×1，且m的維數(shù)為一維信號。設(shè)種群粒子數(shù)為N,第i(i=1,2,…,N)個粒子的位置為xi，飛行速度為vi，第i個粒子目前為止搜索到的最優(yōu)位置記為pbesti(簡記pbi)，整個種群中目前搜索到的最優(yōu)位置記為gbesti(簡記gbi)，每個粒子根據(jù)以下公式更新自己的飛行速度和位置

vi(t+1)=w·vi(t)+c1·r1·(pbi(t)-xi(t))+

c2·r2·(gbi(t)-xi(t))

(11)

xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1)

(12)

其中t為當(dāng)前進化代數(shù)，w為慣性因子(一般取0～1)，c1,c2為學(xué)習(xí)因子(本文取c1=1,c2=2)，r1,r2為區(qū)間[0,1]之間的均勻隨機數(shù)。具體尋優(yōu)步驟如下：

步驟1輸入所需要的參數(shù)，除了以上所提到的w,c1,c2,r1,r2,N還要輸入最大迭代次數(shù)maxD；

步驟2種群初始化，不同的粒子代表不同的變化因子m，且以隨機的方式求出每個粒子的初始位置與初始速度；

步驟3構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)，每一個m值對應(yīng)一個DCT基，調(diào)用內(nèi)點法(其求解過程在2.3節(jié)中詳細說明)子程序求出與DCT基對應(yīng)的稀疏解s，由式(1)即可求出與之對應(yīng)的包絡(luò)線x(t)，進而由式(5)得到不同的m所對應(yīng)的平穩(wěn)度值，用以下公式作為判斷每個粒子(即m)好壞的適應(yīng)度函數(shù)

(13)

步驟4更新粒子速度，根據(jù)上面式子(13)中的適應(yīng)度值找出局部最優(yōu)值pbesti與全局最優(yōu)值gbesti，然后根據(jù)式(11)、(12)更新每個粒子m的速度與位置；

步驟5按照文獻[14]進行粒子變異，得到變異后的粒子群；

步驟6檢驗終止條件，當(dāng)達到最大迭代次數(shù)或者全局最優(yōu)位置滿足最小界限時，則終止迭代；否則轉(zhuǎn)到步驟3。

2.3 基于粒子群的稀疏復(fù)原算法總體流程

利用混合變異粒子群算法在每次迭代過程中都需要由當(dāng)前m值所構(gòu)造的DCT基和觀測值yd(t)來重構(gòu)包絡(luò)信號x(t)，所以稀疏復(fù)原方法的選擇對整體的算法流程至關(guān)重要。本文選擇了內(nèi)點法，下面詳細介紹怎樣利用內(nèi)點法解決式(10)中的模型。

步驟1參數(shù)設(shè)置，輸入初始點s0,u0，懲罰因子τ0>0，衰減系數(shù)ρ∈(0,1)，終止誤差0≤ε≤1，迭代次數(shù)為k=1；

步驟2根據(jù)式(9)構(gòu)造懲罰函數(shù)P(s,u)，以sk-1為初始點利用共軛梯度法求解式(10)中的無約束子問題f(s,u)，求得極小值點sk；

步驟3判斷終止條件，若τk·p(s,u)≤ε，停算，輸出s*≈sk作為稀疏解；

步驟4令τk+1=ρ·τk，k=k+1，返回步驟1。

綜上所述，基于粒子群的包絡(luò)線稀疏重構(gòu)最優(yōu)化算法總體流程如圖1。

圖1 粒子群算法的總體流程圖

粒子群算法在每次迭代過程中通過調(diào)用上述內(nèi)點法子程序?qū)η蟮玫膍尋優(yōu)，直到迭代終止時找到最優(yōu)的變化因子m*,進而得到最適合包絡(luò)線變化特性的DCT(m*)基，最后利用內(nèi)點法復(fù)原出原始包絡(luò)信號。內(nèi)點法的引入提高了稀疏復(fù)原的速度，可用于復(fù)雜信號包絡(luò)的提取，同時利用粒子群算法解決了局部尋優(yōu)變化因子m的缺陷，較大程度上提高了包絡(luò)線提取精度。

3 實驗仿真

為了驗證稀疏復(fù)原方法提取包絡(luò)線的有效性，本文使用的仿真信號為

x(t)=1.8e-3tcos(2πf1t+1.3)+

0.6e-3tcos(2πf2t+0.7)+

0.1e-2tcos(2πf3t+0.7)

(14)

仿真信號中的模態(tài)頻率分別取f1=0.8 Hz、f2=3 Hz、f3=10 Hz，時間t的取值范圍為[0,3]s，信號采樣點數(shù)為500個。為了突出本文改進算法的優(yōu)越性，結(jié)合粒子群尋優(yōu)算法對式(14)中的信號采用內(nèi)點法復(fù)原包絡(luò)信號，與三次樣條插值算法和分段冪函數(shù)算法對比，其結(jié)果如圖2，同時與文獻[9]的結(jié)果(見圖3)相對比。

圖2 基于粒子群的內(nèi)點法復(fù)原方法提取信號上包絡(luò)

由實驗結(jié)果可知，基于粒子群的內(nèi)點法復(fù)原信號上包絡(luò)線明顯地抑制了端點效應(yīng)問題，通過與分段冪函數(shù)法結(jié)果對比，明顯的解決了端點處過沖與欠沖問題，而且自適應(yīng)地找到改變DCT基頻帶寬度的變化因子m，從而自適應(yīng)地尋找到一條符合包絡(luò)線緩慢變化特性的最佳曲線。與文獻[9]的結(jié)果相對比，本文提取包絡(luò)更加平滑，其中dd=0.02，而文獻[9]中dd=0.04，而且文獻[9]中通過m=m+1人為篩選取得m=18時得到最優(yōu)包絡(luò)，而本文利用混合變異粒子群算法自適應(yīng)地在[0,1]之間尋找全局最優(yōu)m值(m=4.707 426×10-2)取其倒數(shù)大概是m=23，不僅減小了人為確定所帶來的誤差，解決了局部尋優(yōu)的片面性，而且提高了提取精度。為了更好地觀察粒子群尋優(yōu)過程，圖4給出了每次迭代過程中適應(yīng)度函數(shù)所對應(yīng)的值。

圖3 基于稀疏復(fù)原方法(OMP)提取信號上包絡(luò)線

圖4 內(nèi)點法復(fù)原包絡(luò)時粒子群算法尋優(yōu)m過程

從圖4中可以看出，在0～10次迭代過程中，尋優(yōu)速度較快，在10～25次時，開始逐漸靠近最優(yōu)值，25～40次時，尋優(yōu)值基本上保持不變。所以，利用粒子群對變化因子m尋優(yōu)不僅可以精確地找到m值以提高包絡(luò)線的提取精度，而且可以快速地找到變化因子m以提高包絡(luò)線的提取速度。同時，從統(tǒng)計出的粒子群尋優(yōu)程序運行的平均時間(見表1)來分析本文算法的運算復(fù)雜度。本數(shù)據(jù)是通過大量的實驗仿真運行統(tǒng)計得到的，其運行環(huán)境如下：MATLAB 2014b，Intel Core i3處理器，3.3 GHz的CPU處理器，4 GB內(nèi)存。

從表格中可以看到，當(dāng)粒子數(shù)目一定時，隨著迭代次數(shù)的增加，程序運行的平均時間逐漸減少，從而說明達到一定的迭代次數(shù)時可以找到最優(yōu)的粒子，當(dāng)超過這個迭代次數(shù)時，粒子繼續(xù)保持最優(yōu)值。通過大量實驗，我們得到這個迭代次數(shù)大概為30，所以無需過多迭代次數(shù)即可得到全局最優(yōu)值；還可以看到，隨著粒子數(shù)目的增多，程序運行的平均時間逐漸增加，但是通過仿真數(shù)據(jù)觀察到，當(dāng)粒子數(shù)目達到一定數(shù)量時，提取的包絡(luò)誤差保持不變，從而說明并不是粒子數(shù)量越多越好，通過大量實驗得到最佳粒子數(shù)目為20，所以本文中的仿真取粒子數(shù)N=20。

表1 粒子群尋優(yōu)算法的時間統(tǒng)計

為了檢驗改進算法對信號處理的抗噪性能，仍然采用式(14)仿真信號x(t)，然后給x(t)添加不同信噪比的高斯白噪聲n(t),得到加噪信號x1(t)，然后對x1(t)用本文提出的基于粒子群的稀疏優(yōu)化算法提取包絡(luò)線。圖5中給出的是信噪比取15 dB時的提取結(jié)果,從圖中可以看出，本文方法可以自適應(yīng)地提取出最佳包絡(luò)線，消除了端點效應(yīng)問題，而且除端點外提取的結(jié)果幾乎和三次樣條插值、分段冪函數(shù)算法相吻合。與文獻[9]中取同樣信噪比的結(jié)果(見圖6)相比，本文提出的方法不僅具有一定的抗噪性，而且提高了包絡(luò)線的精度，明顯減小了提取誤差(dd=0.13)，同時對比圖6中的m=2,本文對m進行了全局尋優(yōu)。

圖5 信噪比15 dB時基于粒子群的內(nèi)點法復(fù)原上包絡(luò)

Fig.5 The interior-point methods based on PSO for extraction the upper envelope of the signal added noise when SNR is 15 dB

當(dāng)噪聲強度增強時，選取信噪比為10 dB的加噪信號再次進行仿真，由圖7、圖8可以看出，本文方法仍具有一定的抗噪性能，不僅可以解決端點效應(yīng)問題，而且誤差仍可以控制在一定的范圍之內(nèi)，其中dd=0.22，而文獻[9]中的dd=1.41。隨著信噪比的降低，本文提取信號包絡(luò)線的精度沒有明顯降低，相比文獻[9]有了更強的抗噪性能。

圖6 信噪比15 dB時基于稀疏復(fù)原(OMP)提取信號上包絡(luò)

Fig.6 The OMP based on sparse recovery for extraction the upper envelope of the signal added noise when SNR is 15 dB

圖7 信噪比10 dB時基于粒子群的內(nèi)點法復(fù)原上包絡(luò)

圖8 信噪比10 dB時基于稀疏復(fù)原(OMP)復(fù)原上包絡(luò)

4 實際斜拉索振動信號的應(yīng)用測試

在上述實驗仿真中，為驗證本文算法提取的包絡(luò)線的抗噪性能，人為添加了高斯白噪聲，但是自然界中噪聲模型很復(fù)雜，為了驗證包絡(luò)線提取在EMD算法中的應(yīng)用，對實際采樣信號進行了仿真與EMD分解。本文的實測信號采集于寧波市某一斜拉索大橋，此橋總長67 m，由102根直徑0.15 m拉索構(gòu)成支撐系統(tǒng)；采用WS-ZHT2振動設(shè)備和雙傳感器，并且將雙傳感器裝置在拉索和梁端的鉸支上[15-16]，如圖9所示。

圖9 傳感器安裝圖

為了驗證本文提出的改進后的基于稀疏復(fù)原提取包絡(luò)線方法的有效性，本實驗仿真中采樣頻率fs=100 Hz采樣512個點。圖10是采用本文改進算法對采集信號的包絡(luò)線提取結(jié)果，并且與三次樣條插值結(jié)果對比，由圖看出，基于粒子群的稀疏優(yōu)化方法仍可以精確地提取采集信號的包絡(luò)線，并且數(shù)值保持在允許誤差之內(nèi)，再次驗證了本文提出方法的可行性和實用性。

圖10 采用基于粒子群的稀疏優(yōu)化和三次樣條插值、分段冪 函數(shù)法對實際采集信號提取上包絡(luò)的比較

Fig.10 The comparison chart on extracted the envelope of actual acquisition signal based on sparse optimization and based on cubic spline interpolation method and subsection power function method

EMD分解將非平穩(wěn)、非線性信號分解為有限個本征模函數(shù)IMF，這是Hilbert Huang變換(HHT)的關(guān)鍵步驟。圖12是采用基于粒子群的稀疏優(yōu)化方法提取采集信號包絡(luò)線的EMD分解結(jié)果，其中IMFi表示本征模函數(shù)的階數(shù)，隨著階數(shù)的增加，頻率依次降低。與文獻[9]中的結(jié)果(見圖11)對比可以看出基于粒子群的稀疏復(fù)原方法經(jīng)EMD分解得到的IMF分量在端點處更加精確，圖形表現(xiàn)的更加平穩(wěn)，更接近于正弦函數(shù)，這一點在低頻分量上表現(xiàn)的更為明顯。

圖11 基于稀疏復(fù)原算法對實測信號EMD分解結(jié)果

圖12 基于粒子群的稀疏復(fù)原對實測信號EMD分解結(jié)果

5 結(jié) 論

EMD分解的關(guān)鍵步驟是信號上下包絡(luò)線的提取，本文將包絡(luò)提取模型中的凹問題轉(zhuǎn)換為凸二次規(guī)劃問題，利用內(nèi)點法求得模型中的稀疏解，并且將粒子群優(yōu)化算法與稀疏復(fù)原算法相結(jié)合，利用混合變異粒子群算法，將改變DCT基頻帶寬度的變化因子m作為粒子屬性，通過多次迭代獲得全局最優(yōu)m，最終自適應(yīng)地提取出最優(yōu)的包絡(luò)線信號。經(jīng)驗證該方法可以有效解決端點效應(yīng)問題，提高包絡(luò)線的提取精度與抗噪性能，粒子群自適應(yīng)尋優(yōu)方法的引入，減少了人為選擇所產(chǎn)生的提取誤差，從實際橋梁振動信號的模態(tài)分解過程中，證明了本文方法的有效性和實用性。

[1] HUANG N E, SHEN Z, LONG S R, et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis[J]. Proceedings of the Royal Society A Mathematical Physical & Engineering Sciences, 1998, 454(1971):903-995.

[2] DELECHELLE E, LEMOINE J, NIANG O. Empirical mode decomposition: An analytical approach for sifting process[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2005, 12(11):764-767.

[3] CHENG J, YU D, YU Y. The application of energy operator demodulation approach based on EMD in machinery fault diagnosis[J]. Mechanical Systems & Signal Processing, 2007, 21(2):668-677.

[4] FLEUREAU J, NUNES J C, KACHENOURA A, et al. Turning tangent empirical mode decomposition: a framework for mono-and multivariate signals[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(3):1309-1316.

[5] 楊云飛. 基于EMD分解技術(shù)的不同市場原油價格相關(guān)性分析及預(yù)測研究[D].武漢：華中科技大學(xué),2011.

[6] 鐘佑明. 希爾伯特-黃變換局瞬信號分析理論的研究[D]. 重慶：重慶大學(xué),2002..

[7] 張帆, 丁康. 廣義檢波解調(diào)分析的三種算法及其局限性研究[J]. 振動工程學(xué)報, 2002, 15(2):243-248.

ZHANG Fan，DING Kang.Research on the three algorithms and limitations of generalized detection-filtering demodulation analysis[J].Journal of Vibration Enginering，2002, 15(2):243-248.

[8] 張郁山,梁建文,胡聿賢. 應(yīng)用自回歸模型處理EMD方法中的邊界問題[J]. 自然科學(xué)進展, 2003,13(10):48-53.

ZHANG Yushan，LIANG Jianwen，HU Yuxian. The processing of end effects in EMD method by autoregressive model.[J]. Progresses in Nature Science，2003,13(10):48-53.

[9] 徐靜妹，葉慶衛(wèi)，王曉東，等. 斜拉索振動信號的包絡(luò)線稀疏復(fù)原算法[J]. 振動與沖擊，2015，34(23)：187-193.

XU Jingmei，YE Qingwei，WANG Xiaodong，et al. Envelope sparse recovery algorithm for stay cable vibration signals[J]. Journal of Vibration and Shock，2015，34(23)：187-193.

[10] CANDES E J, TAO T. Near-optimal signal recovery from random projections: universal encoding strategies?[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2007, 52(12):5406-5425.

[11] BOERINGER D W, WERNER D H. Particle swarm optimization versus genetic algorithms for phased array synthesis[J]. IEEE Transactions on Antennas & Propagation, 2004, 52(3):771-779.

[12] MALLAT S G, ZHANG Z. Matching pursuits with time-frequency dictionaries[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1993, 41(12):3397-3415.

[13] KIM S J, KOH K, LUSTIG M,et al. An interior-point method for large-scalel1—regularized least squares[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2007, 8(3):1519-1555.

[14] 陳君波, 葉慶衛(wèi), 周宇,等. 一種新的混合變異粒子群算法[J]. 計算機工程與應(yīng)用, 2007, 43(7):59-61.

CHEN Junbo，YE Qingwei，ZHOU Yu，et al. New multi-mutation particle swarm optimization algorithm[J]. Computer Engineering and Applications, 2007, 43(7): 59-61.

[15] YE Q, FENG Z, YUAN D. Nonlinear vibration signal tracking of large offshore bridge stayed cable based on particle filter[J]. Polish Maritime Research, 2016, 22(4):70-75.

[16] YE Q, FENG Z, ZHAN Q. Vibration signal fundamental frequency estimation of bridge stayed cable based on era algorithm.[J].Journal of the Balkan Tribological Association 2016, 22(2):1335-1343.