趙 建，張友鵬，趙 斌

ZHAO Jian,ZHANG Youpeng,ZHAO Bin

蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院，蘭州 730070

School ofAutomation and Electrical Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China

1 引言

鐵路鋼軌是軌道交通運輸系統(tǒng)中的重要組成部件。鐵路運營線路上如果出現(xiàn)鋼軌斷裂就有可能造成列車脫軌、傾覆等重大行車事故[1-3]。因此，為了預防鋼軌斷裂事故的發(fā)生，前期的檢測方法和檢測系統(tǒng)的研發(fā)備受關(guān)注[4]。目前，我國主要采用鋼軌探傷小車、大型鋼軌探傷車定期在軌道上檢查以及軌道電路進行斷軌檢測[5]。隨著高速鐵路的發(fā)展，探傷小車和大型鋼軌探傷車對鋼軌斷裂的檢測已經(jīng)無法滿足新形勢下對檢測速度和斷軌檢出率的要求[1]。從已公開的專利、文獻來看，基于軌道電路原理的實時斷軌檢測方法得到了普遍重視[6]。而在我國普遍應用的ZPW-2000A軌道電路依靠斷軌時接收器處的軌道繼電器因信號電流消失而釋放，使區(qū)間軌道電路顯示“紅光帶”提示斷軌，但軌道電路受本身道床參數(shù)情況影響大，在道床電阻較小時經(jīng)常發(fā)生軌間短路和“紅光帶”誤報等故障[5]，而使其軌檢測功能受到影響。因此，改進鋼軌斷裂檢測的方法是十分必要和迫切的工作。

本文依據(jù)軌道電路斷裂態(tài)的特性，結(jié)合ZPW-2000A無絕緣軌道電路的結(jié)構(gòu)特點，首先建立了基于均勻傳輸線理論的列車分路條件下軌道電路斷裂態(tài)的四端網(wǎng)模型，并通過該模型求得分路電流幅值函數(shù)。然后對分路電流幅值包絡(luò)進行多分辨奇異值分解，確定了幅值包絡(luò)中的突變點，進而通過換算關(guān)系得到鋼軌斷裂點的準確位置。本文提出的檢測方法驗證了利用機車感應電壓信號進行鋼軌斷裂檢測的可行性，彌補了ZPW-2000A軌道電路在鋼軌斷裂檢測方面的不足，從而為運營安全和效率提供保障。

圖1 鋼軌斷裂時列車分路結(jié)構(gòu)示意圖

2 鋼軌斷裂對機車分路電流的影響

鋼軌發(fā)生斷裂時，軌條并未完全斷裂且仍存在電氣連接，故可將鋼軌斷裂點等效為阻抗Zb，其值大小與鋼軌特性阻抗ZB相關(guān)[7]，本文模型中設(shè)Zb與ZB間為線性映射。分析可知當Zb=0時，軌道電路工作在調(diào)整態(tài)；當Zb=∞時，軌道電路處于斷軌態(tài)。而當Zb∈(0,∞)時，軌道電路工作在斷裂態(tài)，即鋼軌在距離接收端xb處出現(xiàn)裂紋。

理想情況下，可將軌道電路等效成均勻分布的傳輸線，用四端網(wǎng)絡(luò)來描述其信號的傳輸特性[8]。如圖1所示，主軌道被n個等值的補償電容分為n+1段，且兩補償電容間的距離為Δ，軌道電路兩端與補償電容的距離為本文以接收端調(diào)諧區(qū)始端為坐標原點，列車分路點的坐標為x，將補償電容分割的軌道區(qū)段分為調(diào)整狀態(tài)單元NTi(i=1,2,…,n+1)、分路狀態(tài)單元NF(x)和斷裂狀態(tài)單元NB。若分路點與斷裂點在一個單元內(nèi)，用四端網(wǎng)NBF(x)描述其傳輸特性。

由上述分析可得如圖2所示的無絕緣軌道電路分路狀態(tài)等效模型。Us(t)、Is(t)為發(fā)送端輸出電壓、電流，Uf(t,x)、If(t,x)為分路點前接收到的電壓、電流，且有Uf(t,x)=If(t,x)×Rf，其中 Rf為分路電阻。 NFS為發(fā)送端設(shè)備傳輸四端網(wǎng)（發(fā)送端設(shè)備包括傳輸電纜和匹配變壓器），Nb為發(fā)送端調(diào)諧區(qū)四端網(wǎng)，NT(x)為發(fā)送端調(diào)諧區(qū)末端到分路點之間主軌道的傳輸四端網(wǎng)。

圖2 無絕緣軌道電路分路狀態(tài)等效模型

分路點到發(fā)送端調(diào)諧區(qū)末端之間的軌道四端網(wǎng)NT(x)可由式（1）表示。式中NF(x)為分路點x至分路點靠近發(fā)送端一側(cè)的補償電容Ck(k=1,2,…,n)間的軌道四端網(wǎng)。

列車進入斷裂點單元時分路點x至Ck間的軌道四端網(wǎng)用NBF(x)表示，此時NT(x)如式（2）所示：

調(diào)整狀態(tài)單元NTi和分路狀態(tài)單元NF(x)四端網(wǎng)系數(shù)表達式可由均勻傳輸線理論求得。斷裂狀態(tài)單元NB和斷裂且分路單元NBF(x)的四端網(wǎng)系數(shù)本文采用分布參數(shù)法求得。如式（3）所示為軌道電路的鋼軌四端網(wǎng)系數(shù)的基本方程式[10]。、表示鋼軌線路上任意點的對地電壓（V）、、表示兩根鋼軌上流過的電流（A）；A1、A2、A3和 A4均為積分常數(shù)，其值為待定參數(shù)，由軌道電路的邊界條件確定。

ZB1為對稱鋼軌線路的鋼軌與大地間的特性阻抗，，E為大地常數(shù)，P為鋼軌的表面電導系數(shù)；ZB2為對稱鋼軌的相線電路的特性阻抗，ZB2=ZB/2；ZB為對稱鋼軌線路的特性阻抗；γ1為鋼軌線路的地線傳播常數(shù)為鋼軌線路的相線傳播常數(shù)，γ2=γ；γ為鋼軌線路傳播常數(shù)。Zg為鋼軌阻抗，Rd為道砟電阻，Zg和Rd稱為軌道電路的一次參數(shù)[7，11]。

圖3 斷裂態(tài)單元等效電路

將鋼軌斷裂點設(shè)為坐標原點，斷裂點到始端距離為l1（m），斷裂點到終端距離為l2（m），整個斷裂單元的長度為 l（m），即 l=l1+l2。 A1、A2、A3和 A4為斷裂點與始端之間的軌道電路積分常數(shù)；B1、B2、B3和B4表示斷裂點與終端之間的積分常數(shù)。若鋼軌線路在距離接收端xb處的第m個單元內(nèi)斷裂，則有下式成立：

其中，[?]為取整函數(shù)，則l1=Δ?m-Δ/2-xb，l2=xb-Δ?m+3Δ/2。

積分常數(shù) A1、A2、A3、A4、B1、B2、B3和 B4由以下邊界條件確定[12]。

條件1當x=0時，有：

條件2當x=l1時，有：

條件3當x=-l2時，有：

將式（3）代入這三個邊界條件中，經(jīng)計算化簡得以下方程：

根據(jù)式（6）可求得 A1～A4和 B1～B4，且此時有下式成立：

將A3和A4代入式（7）化簡可求得此軌道電路單元的軌道四端網(wǎng)系數(shù)A～D，即：

其中，n=ctγ1l2+ctγ1l1。

當列車分路點在鋼軌斷裂點所在單元，且未越過斷裂點時的等效電路如圖4所示。圖中以斷裂點和分路點為界將整個軌道電路單元分為三個部分，因本文只考慮分路點前電壓、電流的變化情況，所以只需計算分路點之前的軌道四端網(wǎng)系數(shù)。

圖4 分路且斷裂狀態(tài)單元四端網(wǎng)模型

設(shè)置A1～A4、B1～B4八個積分常數(shù)即可求解出分路點之前的軌道四端網(wǎng)系數(shù)，l1為該軌道電路單元始端到斷裂點的距離（m），l2表示斷裂點到分路點的距離（m），l表示分路點到該單元始端的距離（m）。此時可以計算得出l1=Δ?m-Δ/2-xb，l2=xb-x，l=l1+l2。經(jīng)計算在此條件下軌道四端網(wǎng)NBF(x)的系數(shù)表達式與斷裂單元NB的軌道四端網(wǎng)系數(shù)表達式相同，均為l1、l2和l的函數(shù)。因此將此狀態(tài)下的三個變量代入NB的四端網(wǎng)系數(shù)表達式中即可求得NBF(x)的四端網(wǎng)系數(shù)。

當列車越過斷裂點以后，此時接收到的分路電流和電壓不再受斷裂點等效阻抗的影響，此時，軌道電路進入正常分路狀態(tài)。此時NBF(x)四端網(wǎng)的系數(shù)表達式與NF(x)的四端網(wǎng)系數(shù)表達式相同，在此不再贅述。

由以上分析求解出上述兩種狀態(tài)下軌道四端網(wǎng)NT(x)的系數(shù)表達式（3）或（4）。

則發(fā)送端到分路點間總的傳輸四端網(wǎng)F為：

則由文獻[13]可知，分路電流幅值函數(shù)| |If(t,x)可表示為：

根據(jù)ZPW-2000A無絕緣軌道電路的基本電氣參數(shù)[9]，本文將仿真條件設(shè)置為：軌道電路長度1 600 m；補償間距Δ為100 m；信號載頻分路電阻 Rf=0.15 Ω；補償電容16個，容值均為40 μF。與軌道電路有關(guān)的參數(shù)取值[7，10]：Zg=14.75∠82.3°Ω/km，Rd=1.0 Ω·km，E=1，P=9。

本文建立的模型中將鋼軌斷裂點等效成阻抗Zb，Zb的大小將會影響分路電流幅值包絡(luò)曲線的變化情況。如圖5所示是其他參數(shù)確定時，不同Zb取值下分路電流幅值包絡(luò)曲線的仿真結(jié)果。

圖5 不同斷裂點等效阻抗值下仿真結(jié)果

由圖5可知，在正常情況下，分路電流幅值包絡(luò)在補償電容的補償作用下從接收端到發(fā)送端呈現(xiàn)“波浪”式遞增，每個極小值點都和補償電容的位置相對應，且在兩補償電容間的曲線并無突變點；兩補償電容間鋼軌出現(xiàn)斷裂后，對斷裂點前的分路電流幅值包絡(luò)曲線影響較大，主要表現(xiàn)為幅值下降且“波峰”和“波谷”變化不明顯，這主要是因為鋼軌的斷裂影響了補償電容的補償效果；對斷裂點之后的曲線影響較小，曲線的輪廓和正常狀態(tài)相同但幅值略有增大，這是由斷裂點后的電壓突變引起的。同時等效阻抗Zb越大，斷裂點前的分路電流幅值包絡(luò)曲線衰減越大，而斷裂點后的曲線會略有增大。因此Zb越大，斷裂點前后的幅值包絡(luò)曲線的變化越明顯。

3 鋼軌斷裂故障檢測方法

機車感應電壓幅值包絡(luò)Vg(t,x)與鋼軌分路電流If(t,x)之間存在如下關(guān)系[13]：

其中，Bf為機車接受線圈的感應電壓轉(zhuǎn)換系數(shù)，當信號頻率一定時，可近似認為是常數(shù)。在列車行駛過程中，Vg(t,x)的數(shù)據(jù)會被列車車載軌道電路讀取器（Track Circuit Reader，TCR）所記錄，將其作為鋼軌斷裂檢測的數(shù)據(jù)來源不僅不需要增加其他輔助設(shè)備，也能兼顧檢測數(shù)據(jù)及時有效，這將為鋼軌維護和鐵路運營管理提供新的依據(jù)。但目前在實際中，這一數(shù)據(jù)僅被用來診斷補償電容故障，尚未被用來進行鋼軌斷裂檢測。

如圖5所示，對于Zb較大（如Zb=2ZB）時的分路電流幅值包絡(luò)容易分辨出突變點的位置，而當Zb較?。ㄈ鏩b=0.1ZB）時，鋼軌的斷裂對分路電流幅值包絡(luò)的影響很小，是否發(fā)生突變以及突變點的位置情況很難辨識，因此必須采用信號處理的方法來判斷分路電流幅值包絡(luò)曲線是否發(fā)生突變，以及突變點的準確位置。在信號處理的過程中，信號的奇異值點可以反映由故障引起的撞擊、震蕩，及結(jié)構(gòu)的變形和斷裂[14]，因此找出鋼軌斷裂后分路電流幅值包絡(luò)的奇異值點，通過奇異值點和鋼軌斷裂點的對應位置關(guān)系確定鋼軌斷裂點的位置。通過對比，選擇不會使檢測結(jié)果發(fā)生偏移的MRSVD分解方法進行信號奇異性的檢測[15]，利用分解后細節(jié)信號的零交叉點判斷出信號奇異值點的位置，即是鋼軌斷裂點的位置。

由于信號的奇異性檢測會受到噪聲信號的干擾[15]，因此需要注意的是在實際檢測過程中，需要選擇合適的信號降噪方法，對輸入的機車感應電壓信號進行降噪處理，減小噪聲對斷裂點位置判斷的影響，使其達到最佳的檢測效果。

4 MRSVD方法

奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是對于任意實數(shù)矩陣通過對其左、右分別乘一個正交矩陣，將原矩陣轉(zhuǎn)化為一個對角陣的一種正交變換，此過程中得到的奇異值個數(shù)能反映原矩陣中獨立行（列）矢量的個數(shù)[15-16]。多分辨奇異值分解（Multi-Resolution Singular Value Decomposition，MRSVD）是借鑒小波分析的思想利用SVD方法獲得信號在不同層次空間、具有不同分辨率的結(jié)果從而實現(xiàn)類似于小波分析那樣的可將信號分解到一系列不同層次子空間的多分辨率分解方法[14]，可準確判別信號的奇異值點，因此本文可以采用此方法進行鋼軌斷裂檢測。

4.1 MRSVD算法的基本理論

SVD的定義為：對于一個矩陣H∈Rm×n，無論行列是否相關(guān)，必定存在正交矩陣U=(u1,u2,…,um)∈Rm×m和正交矩陣V=(v1,v2,…,vm)∈Rm×m使得式（12）成立：

利用SVD進行信號處理時，首先必須構(gòu)造出Hankel矩陣H。設(shè)有離散數(shù)字信號x=(x1,x2,…,xN)，利用此矩陣構(gòu)造的Hankel矩陣如下：

式中，1＜n＜N 。令m=N-n+1，則 H∈Rm×n。

MRSVD是對離散信號構(gòu)造行數(shù)為2的Hankel矩陣，即：

矩陣H經(jīng)過SVD處理后得到兩個奇異值σaj和σdj，且σaj＞σdj。從這兩個奇異值分別可以得到兩個信號分量信號Aj和 Dj，Aj稱為SVD近似信號，它反映了原始信號的主要成分，Dj稱為SVD細節(jié)信號，它反映了此次分解從原信號中獲取的細枝末節(jié)。然后利用Aj信號繼續(xù)構(gòu)造行數(shù)為2的H矩陣進行下一層SVD分解。如此反復，就可將原信號分解為一系列SVD近似信號和細節(jié)信號，分解過程如圖6所示。

圖6 信號MRSVD分解過程

4.2 MRSVD分解算法

設(shè)分解 j-1次后得到 j-1次SVD近似信號Aj-1，記為Aj-1=(aj-1,1,aj-1,2,…,aj-1,N)，式中N為信號長度，構(gòu)造Hankel矩陣 Hj為：

對Hj進行SVD分解得到：

式中Uj=(uj1,uj2)，Uj∈R2×2稱為第 j次的左正交矩陣，稱為第 j次的右正交矩陣。而式中的σaj和σdj稱為第 j次獲得的近似和細節(jié)信號奇異值。

將式（13）改寫為列矢量Uji、Vji的表示形式如式（14）所示：

設(shè)Aj和Dj分別為第 j次近似信號和細節(jié)信號，它們由Haj和Hdj重構(gòu)而成。以Aj為例，如圖7所示，Haj的兩個行矢量為σajUj1,1Vj1T和σajUj1,2Vj1T，其中Uj1,1、Uj1,2為Uj1的兩個坐標。設(shè)La1和La2是這兩個行矢量的子矢量，La1和 La2均代表 Aj的數(shù)據(jù)aj,2,aj,3,…,aj,N-1，但 La1和 La2并不相等。例如aj,2在 La1中為σajUj1,1Vj1,2，而 La2中 aj,2的值為 σajUj1,2Vj1,1。將 Haj中代表Aj中同一數(shù)據(jù)的所有元素求平均作為Aj中的相應數(shù)據(jù)，可將Aj寫成如下矢量形式：

圖7 近似矩陣Haj中的矢量

用同樣的方法可構(gòu)造出細節(jié)信號Dj，Aj和Dj便是第 j次的分解結(jié)果。再利用Aj構(gòu)造出Hankel矩陣Hj+1，進行同樣的處理，如此反復就可得到一系列的SVD近似和細節(jié)信號。

5 仿真分析

如圖8所示，當Zb=0.1ZB時的分路電流幅值包絡(luò)曲線與正常時近似重合，此時很難準確判斷是否發(fā)生鋼軌斷裂以及斷裂點的位置，需要采用信號處理的方法進行判斷。

經(jīng)多次實驗，本文取三次MRSVD分解后的細節(jié)信號能夠表征分路電流信號的全部特征。圖9為正常情況下三次MRSVD的分解的細節(jié)信號結(jié)果，如圖中所示，在正常狀態(tài)下經(jīng)過MRSVD分解的分路電流幅值包絡(luò)曲線的細節(jié)信號出現(xiàn)了16個向下的峰值點，它們分別對應幅值包絡(luò)曲線中的16個極小值點，同時也對應著軌道線路中的16個補償電容的位置。而從分解效果上來看，第三次分解的效果最為理想。圖10為Zb=0.1ZB時對分路電流幅值包絡(luò)曲線經(jīng)過三次MRSVD分解后的細節(jié)信號圖像，圖中除了和補償電容位置相對應的16個峰值點外，還出現(xiàn)了一個奇異值點，經(jīng)計算得出奇異值點的位置對應鋼軌的斷裂點坐標。而從分解的細節(jié)信號來看，第三次分解時的細節(jié)信號能完整反映出原信號的全部細節(jié)特征，包括全部的補償電容位置和鋼軌斷裂點的位置。

圖8 Zb=0.1ZB分路電流幅值包絡(luò)曲線

圖9 正常情況下三次MRSVD細節(jié)信號

圖10 Zb=0.1ZB時三次MRSVD細節(jié)信號

為了驗證MRSVD分解方法的有效性，將斷裂點等效阻抗取為Zb=0.01ZB進行試驗。如圖11（a）所示是Zb=0.01ZB的分路電流幅值包絡(luò)曲線，從圖中可以看出，此時兩條曲線已經(jīng)完全重合，無法分辨出是否發(fā)生了鋼軌斷裂，更無法判斷斷裂點的準確位置。圖（b）為Zb=0.01ZB的三次MRSVD分解后的細節(jié)信號圖像，圖中16個峰值點的位置對應補償電容的位置，且經(jīng)換算圖中的奇異值點的位置對應鋼軌斷裂點的位置。因此利用MRSVD方法分解分路電流幅值包絡(luò)曲線，利用分解后的細節(jié)信號的奇異性特征，可以判斷鋼軌線路是否發(fā)生了斷裂，而利用奇異值點坐標可以對鋼軌上的斷裂點準確定位。

圖11 Zb=0.01ZB時的仿真結(jié)果

圖12 C8斷線和C8處鋼軌斷裂時的仿真結(jié)果

另外，補償電容的斷線故障同樣也會影響分路電流幅值包絡(luò)曲線的形狀。通過實驗，本文方法可以有效區(qū)分補償電容斷線和補償電容處鋼軌斷裂這兩種不同類型的故障。如圖12（a）所示是補償電容C8斷線和C8（750 m）處鋼軌斷裂的分路電流幅值包絡(luò)曲線圖，這兩種故障都主要影響接收端到C8處的分路電流幅值包絡(luò)曲線。但C8斷線后補償效果消失，使包絡(luò)曲線一直遞增至C8處；C8處鋼軌斷裂后，包絡(luò)曲線先增后減，到C8處時直接“跳躍”至與正常值范圍內(nèi)。圖12（b）和圖12（c）是這兩種故障曲線進行MRSVD分解后的細節(jié)信號曲線，由圖12（a）可知，C8斷線后的三次MRSVD分解后的細節(jié)信號在C8處峰值點均消失了，說明C8的補償效果消失了。圖12（c）中，在C8處出現(xiàn)了奇異值點，根據(jù)上文的分析

為了驗證本文模型的正確性，將本文斷裂態(tài)單元分別替換成文獻[7]中軌道電路分路態(tài)與斷軌態(tài)四端網(wǎng)系數(shù)，建立仿真模型進行對比試驗。將本文模型取Zb=0、Zb=∞與文獻[7]中正常狀態(tài)和斷軌狀態(tài)為基礎(chǔ)建立的模型進行仿真對比，仿真結(jié)果如圖13所示。由圖13可知，本文模型在Zb=0時和以文獻[7]中正常狀態(tài)為基礎(chǔ)建立模型的仿真結(jié)果相同，Zb=∞時與以文獻[7]中斷軌狀態(tài)為基礎(chǔ)建立的模型的仿真結(jié)果相同。同時，當軌道電路處于正常狀態(tài)時，即Zb=0時，分路電流幅值包絡(luò)將不受影響；而當軌道電路處于斷軌狀態(tài)時，即Zb=∞時，發(fā)送電流仍可通過地與兩條鋼軌構(gòu)成回路，此時仍能接收到微弱的電流信號[7]。由此，可以驗證本文模型的正確性。

圖13 Zb=0和Zb=∞時的仿真結(jié)果

6 結(jié)束語

本文利用多分辨奇異值分解法對鋼軌斷裂后的短路電流幅值包絡(luò)曲線進行分解，根據(jù)分解后細節(jié)信號的奇異值點與鋼軌斷裂點的對應位置關(guān)系實現(xiàn)對鋼軌斷裂的檢測，仿真分析表明：

（1）鋼軌斷裂將主要影響斷裂點之前的分路電流幅值包絡(luò)曲線，同時等效阻抗Zb越大，斷裂點前的曲線衰減越大，但無論Zb如何變化，曲線在斷裂點位置處總存在突變點。

（2）利用多分辨奇異值分解法對鋼軌斷裂后的分路電流幅值包絡(luò)曲線進行分解，根據(jù)分解后細節(jié)信號的奇異值點與鋼軌斷裂點的對應位置關(guān)系實現(xiàn)對鋼軌斷裂的檢測。該方法能夠準確檢測出鋼軌是否發(fā)生了斷裂，以及鋼軌斷裂點的具體位置。同時可以有效地區(qū)分補償電容斷線和補償電容處鋼軌斷裂這兩種不同的故障。

（3）本文所采用方法的實際數(shù)據(jù)可以從機車記錄數(shù)據(jù)中獲得，使該方法具有成本低、實時性好和檢測斷裂點位置準確等優(yōu)點。

參考文獻：

[1]李浩，段翔宇，白彪.基于超聲導波的無縫線路斷軌檢測系統(tǒng)[J].電子設(shè)計工程，2015，23（16）：126-129.

[2]Domingo L M，Giner B B，Martin C Z，et al.Experimental modal analysis of transverse-cracked rails-influence of the cracks on the real track behavior[J].Structural Engineering and Mechanics，2014，52（5）：1019-1032.

[3]Veskovic S，Tepic J，Ivic M，et al.Model for predicting the frequency of broken rails[J].Metalurgija，2012，51（2）：221-224.

[4]Kostryzhev A G，Davis C L，Roberts C.Detection of crack growth in rail steel using acoustic emission[J].Ironmaking and Steelmaking，2013，40（2）：98-102.

[5]史宏章，任遠，張友鵬，等.國內(nèi)外斷軌檢測技術(shù)發(fā)展的現(xiàn)狀與研究[J].鐵道運營技術(shù)，2010，16（4）：1-3.

[6]田銘興，趙斌，閔永智.基于軌道電路原理的新型實時斷軌檢測方法[J].蘭州交通大學學報，2013，32（1）：58-62.

[7]阿·米·布列也夫.軌道電路分析與綜合[M].孫名甫，譯.北京：中國鐵道出版社，1981：90-100.

[8]趙會兵，章宇舟，汪希時.電容補償式軌道電路若干問題的研究[J].鐵道學報，1998，20（4）：1-5.

[9]董昱.區(qū)間信號與列車運行控制系統(tǒng)[M].北京：中國鐵道出版社，2008：90-125.

[10]張友鵬，劉鹍鵬，趙斌，等.ZPW-2000A軌道電路斷軌態(tài)分析[J].控制工程，2014，21（5）：695-699.

[11]劉鹍鵬，張友鵬，趙斌，等.實時斷軌檢測技術(shù)發(fā)送系統(tǒng)設(shè)計[J].鐵道科學與工程學報，2013，10（1）：123-128.

[12]趙斌.基于軌道電路行波的鋼軌斷裂檢測理論與仿真[D].蘭州：蘭州交通大學，2016.

[13]趙林海，蔡伯根，邱寬民，等.基于HHT_DBWT的無絕緣軌道電路補償電容故障診斷[J].鐵道學報，2011，3（33）：49-54.

[14]趙學智，葉邦彥，陳統(tǒng)堅.多分辨奇異值分解理論及其在信號處理和故障診斷中的應用[J].機械工程學報，2010，46（20）：64-75.

[15]Hernández A，Espinosa-Juárez E，de Castro R M，et al.SVD applied to voltage sag state estimation[J].IEEE Transactions on Power Delivery，2013，28（2）：866-873.

[16]McGivney D F，Pierre E，Ma D，et al.SVD Compression for magnetic resonance fingerprinting in the time domain[J].IEEE Transactions on Medical Imaging，2014，33（12）：2311-2322.

[17]鄭安總.奇異值分解在微弱信號檢測中的應用[D].天津：天津大學，2013.