林偉華，李進金，吳宇寧

LIN Weihua1，2,LI Jinjin2,WU Yuning1，3

1.福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，福州 350108

2.閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建 漳州 363000

3.莆田學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，福建 莆田 351100

1.College of Mathematics and Computer Science,Fujian Normal University,Fuzhou 350108,China

2.College of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China

3.College of Basic Education,Putian University,Putian,Fujian 351100,China

1 引言

多屬性群決策是群體決策和多屬性決策的一個交叉研究方向，是現(xiàn)代決策理論的重要組成部分，由于具有客觀理性、集思廣益、可最大程度減少決策中不合理因素等特點，其理論與方法在科技、工程、政治、軍事、經(jīng)濟和管理等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1]。因此，多屬性群決策問題的相關(guān)研究具有重要的現(xiàn)實意義和一定的實用價值。近年來，經(jīng)過國內(nèi)外學(xué)者的不懈努力，多屬性群決策問題取得了一定的發(fā)展，目前主要用于解決有限方案中具有多個屬性（或評價指標）的排序和優(yōu)選問題[2-4]。粗糙集理論[5]最早于1982年由波蘭科學(xué)家Z.Pawlak提出，由于其無需借助任何先驗知識，能通過對現(xiàn)在數(shù)據(jù)的有效分析與推理，揭示數(shù)據(jù)的潛在規(guī)律，在知識發(fā)現(xiàn)、模式識別、機器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[6-8]。

由于多屬性群決策理論中的決策矩陣描述類同粗糙集中的信息系統(tǒng)描述相類似，故利用粗糙集理論來研究多屬性決策問題儼然成為當(dāng)今決策分析領(lǐng)域中一個新的研究方向。截止目前，基于粗糙集的多屬性決策[9-17]主要有排序決策和分級決策這兩類。其中，分級決策的主要方法是：在優(yōu)勢粗糙集模型中，提取信息系統(tǒng)中的分級決策規(guī)則、并在群決策環(huán)境中研究分級規(guī)則選擇及其融合問題。排序決策主要先利用熵方法與屬性重要度的計算求得屬性權(quán)重，再集結(jié)決策矩陣中的判斷得到整體方案的排序，這種方法主要用于群決策及多屬性決策中排序決策問題解決。通常，在基于粗糙集的多屬性群決策排序模型中，都直接集結(jié)專家給出的決策判斷矩陣得到排序結(jié)果，很少考慮其決策屬性。然而，在一些實際決策問題中，專家可能既給出每個對象的屬性評價值，又對其進行初步分級決策，在這種情況下，最終決策應(yīng)集結(jié)屬性評分信息和初步?jīng)Q策信息得出其排序。而這種集結(jié)排序的核心就是屬性權(quán)重的設(shè)定，因為在多屬性群決策問題中，不同的專家權(quán)重或?qū)傩詸?quán)重均會導(dǎo)致不一樣的評價結(jié)果。

優(yōu)勢關(guān)系是粗糙集中用于描述信息系統(tǒng)上優(yōu)劣關(guān)系的一種刻畫。在決策問題中，利用優(yōu)勢關(guān)系方法獲得的規(guī)則與利用粗糙集方法獲得的決策規(guī)則一致，而且用優(yōu)勢關(guān)系方法能對所有屬性的取值都給出決策結(jié)果[18]。在現(xiàn)有的多屬性群決策研究模型基礎(chǔ)上考慮專家的初步?jīng)Q策，給出一種新的基于優(yōu)勢關(guān)系的多屬性群決策的模型描述：在信息系統(tǒng)中，先通過計算條件屬性和決策屬性的優(yōu)勢粒結(jié)構(gòu)相似度，得到條件屬性在決策中的重要度，依此確定條件屬性在專家評價中所占的權(quán)重；再通過計算專家三支決策判斷的優(yōu)勢粒結(jié)構(gòu)之間的相似度，得到專家與專家群體之間的共識度（即認可度），選共識度最高的專家為群體評價的代表；最后由專家群體代表與其他專家之間的相似度來確定其他幾位專家的權(quán)重，具體計算方法在第2章中給出。

2 基于優(yōu)勢關(guān)系的多屬性群決策方法

為了便于理解，先作粗糙集理論的相關(guān)基本概念介紹。

定義1[18]設(shè)(K,≤)滿足以下性質(zhì)。

（1）自反性：x≤x(x∈K)；

（2）反對稱性：當(dāng) x≤y，y≤x時，x=y(x,y∈K)；

（3）傳遞性：當(dāng) x≤y，y≤z時，x≤z(x,y,z∈K)；稱(K,≤)為偏序集。若進一步有?x,y∈K，且 x≤y或x≤y，則(K,≤)是全序集。

定義2[18]設(shè)(U,A,F)是連續(xù)值信息系統(tǒng)，其中U={x1,x2,…,xn}為對象集，A={a1,a2,…,am}為屬性集，F(xiàn)={fl:U→Vl(l≤m)}為對象與屬性之間的關(guān)系集，Vl為屬性al的有限值域。對于任意屬性集B?A，記，稱為連續(xù)值信息系統(tǒng)(U,A,F)上的優(yōu)勢關(guān)系，(xi,xj)∈表示對象xj在屬性集B上優(yōu)于對象xi。

定義3[18]記，則表示在屬性集B條件下，優(yōu)于對象xi的所有對象集合，稱為xi的優(yōu)勢類。

2.1 優(yōu)勢粒結(jié)構(gòu)及其相似度

多屬性群決策問題的實質(zhì)是利用群體專家對評價屬性及決策屬性給出的評判信息，通過一定方法對待選的方案進行全面分析、合理排序、選擇最優(yōu)及綜合評價，以找到一種便捷的排序方法?；诖耍疚慕梃b粗糙集優(yōu)勢關(guān)系與屬性聯(lián)系度等有關(guān)知識，將優(yōu)勢關(guān)系引入多屬性群決策的對象排序問題，并提出了基于優(yōu)勢關(guān)系的多屬性群決策排序方法。

多屬性群決策問題中，為了對各屬性進行關(guān)系分析，先引入優(yōu)勢粒結(jié)構(gòu)的定義，并研究優(yōu)勢粒結(jié)構(gòu)相似度的定義及其相關(guān)性質(zhì)。

定義4設(shè)U={x1,x2,…,xn}為非空論域，≤B為U上的優(yōu)勢關(guān)系，定義為論域U在≤B下的優(yōu)勢粒結(jié)構(gòu)。

定義5設(shè)U={x1,x2,…,xn}為非空論域，B是U上所有優(yōu)勢關(guān)系構(gòu)成的集合，任意的≤B1,≤B2∈B，是其相應(yīng)的優(yōu)勢粒結(jié)構(gòu)。定義之間的相似度

式中⊕為集合的對稱差運算，為方便，將sim(U/≤B1,U/≤B2)簡記為 sim(≤B1,≤B2)。

性質(zhì)1 任意的≤B1,≤B2∈B，有0≤sim(≤B1,≤B2)≤1。特別的，若≤B1=≤B2，則 sim(≤B1,≤B2)=1。

證明（1）由于≤B1,≤B2具有自反性，所以對?xi∈U，，因此故

（2）特別的，?xi∈U ，因為。所以，則，所以

性質(zhì)2 設(shè)U={x1,x2,…,xn}(n≥2)，≤B1,≤B2∈B ，其中≤B1:x1≤B1x2≤B1…≤B1xn，≤B2是≤B1的逆關(guān)系，即≤B2:xn≤B2xn-1≤B2…≤B2x1，則 sim(≤B1,≤B2)=0。

性質(zhì)2表明，當(dāng)兩個優(yōu)勢關(guān)系完全相反時，它們的相似度達到最小值0。

性質(zhì)3設(shè)，U={x1,x2,…,xn}(n≥2)，I是U上的恒等關(guān)系，E是U上的全域關(guān)系，兩者均是偏序關(guān)系，則sim(I,E)=0。

從優(yōu)勢關(guān)系來看，全域關(guān)系隱含著U上任意兩個對象都是可比較關(guān)系，而恒等關(guān)系則表示任意兩個不同對象都是不可比較關(guān)系。由此可以判斷，這兩種關(guān)系的相似度達到最小值0。性質(zhì)3恰好驗證了這一點。

性質(zhì) 4 設(shè) U={x1,x2,…,xn}(n≥2)，≤B1:x1≤B1x2≤B1…≤B1xt≤B1xt+1≤B1…≤B1xn，將 xt與 xt+1的位置互換得到≤B2:x1≤B2x2≤B2…≤B2xt+1≤B2xt≤B2…≤B2xn,1 ≤t≤n-1，則sim(≤B1,≤B2)=1-2/n(n-1)(n≥2)。

證明由已知≤B1:x1≤B1x2≤B1…≤B1xt≤B1xt+1≤B1…≤B1xn，≤B2:x1≤B2x2≤B2…≤B2xt+1≤B2xt≤B2…≤B2xn，易得通過計算，得到。而當(dāng)i≠t,t+1時因此有時。故有

從性質(zhì)4可以看出，當(dāng)n值較小，例如當(dāng)n=2時，交換相鄰兩個對象位置后，得到這兩個優(yōu)勢粒結(jié)構(gòu)的相似度取到最小值0；當(dāng)n取值較大時，交換相鄰對象位置后得到的優(yōu)勢粒結(jié)構(gòu)的相似度比較大。

2.2 權(quán)重的確定

2.2.1 屬性權(quán)重的確定

作為影響決策結(jié)果準確性的核心—屬性的權(quán)重系數(shù)反映了屬性間的相對重要性，因此屬性權(quán)重系數(shù)的確定成了國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點，目前研究方法主要有層次分析法、模糊綜合評價法和德爾菲法等。在多屬性決策問題里，對象在各屬性的取值均為有序的，對于數(shù)值型的屬性取值，取值上的不小于就是一個預(yù)序；對于語言值的屬性取值，規(guī)定的不劣于關(guān)系亦是一個優(yōu)勢關(guān)系；對于區(qū)間型或集值型的屬性取值，也可以通過合理定義得到相對應(yīng)的優(yōu)勢關(guān)系[19-20]。

在多屬性群決策模型中，設(shè)Sk=(U,A?j5i0abt0b,fk)為專家ek(k=1,2,…,T)的決策系統(tǒng)，記，對于屬性集 A={a1,a2,…,am}，任意的aj∈A，則aj在決策系統(tǒng)S中確定的不劣于關(guān)系定義為≤aj={(xi1,xi2)|f(bi1,aj)不劣于 f(bi2,aj)}，d在決策系統(tǒng)S中確定的不劣于關(guān)系定義為≤d={(ai1,ai2)|di1≥di2}。如果≤aj同≤d優(yōu)勢粒結(jié)構(gòu)的相似度較小，則屬性aj在決策系統(tǒng)中的權(quán)重較小，反之則較大。

本文由優(yōu)勢關(guān)系誘導(dǎo)出優(yōu)勢粒結(jié)構(gòu)，通過屬性之間優(yōu)勢粒結(jié)構(gòu)相似度的大小，得到?jīng)Q策系統(tǒng)中屬性權(quán)重大小的關(guān)系分析，進而得到以下加權(quán)方法。

定義6屬性aj∈A在系統(tǒng)S中的權(quán)重ωj

2.2.2 專家權(quán)重的確定

目前對專家權(quán)重的設(shè)定大多根據(jù)專家的專業(yè)背景、對決策問題的熟悉程度、知名度、能力水平等因素來確定，或是根據(jù)專家間的相互評價結(jié)果來確定。在實際問題中，專家決策的可信度除了考慮這些因素外，還應(yīng)考慮專家個人評價結(jié)果與其他專家評價結(jié)果的相互關(guān)系，這種由專家評價結(jié)果的相互關(guān)系決定產(chǎn)生的權(quán)重是一種客觀權(quán)重，在實際應(yīng)用中可單獨使用，也可和主觀權(quán)重結(jié)合使用。

考慮專家在決策屬性下給出的評判結(jié)果，根據(jù)拒絕評判決策、延遲評判決策和接受評判決策對象集定義專家評價的相似度，分析專家之間評判結(jié)果的關(guān)系。

定義7設(shè)E={e1,e2,…,eT}為專家群體，根據(jù)各個專家給出的決策系統(tǒng)Sk=(U,C?j5i0abt0b,fk)，定義專家ek1和ek2評價的相似度為：

定義8[19]設(shè)E={e1,e2,…,eT}為專家群體，定義專家ek在群體中的共識程度為：

定義9[19]設(shè)E={e1,e2,…,eT}為專家群體，若con(e*)=，則稱e*為專家群體中的代表專家。

通過專家間的評價相似度定義各專家在群體中的共識程度，規(guī)定群體共識程度最高的專家為代表專家（記為e*），各專家在群體評價中的共識程度用其與專家e*的相似度近似計算，依此定義各專家的權(quán)重向量。

定義10專家ek和專家群體評價的共識程度用sim(ek,e*)來近似計算，專家ek的權(quán)重ωk[13]設(shè)定為：

3 基于優(yōu)勢關(guān)系的多屬性群決策方法的應(yīng)用

3.1 實例背景介紹

參照文獻[21]表9.4，將專家初評結(jié)果整理得到表1，設(shè)3位面試專家為ej(j=1,2,3)，10名應(yīng)聘人員為xi(i=1,2,…,10)，應(yīng)聘者工作能力3個評價指標（屬性）分別為專業(yè)能力a1，語言表達能力a2，團隊協(xié)作能力a3，決策屬性d作出粗粒度的三支決策“通過”（記作“2”）、“不通過”（記作“0”）、“延遲決定”（記作“1”）的判斷。為簡單起見，在計算時分別用{2，1，0}來代替應(yīng)聘者工作能力3個評價屬性a1，a2，a3的語言值{好，中，差}。

表1 某企業(yè)招聘面試專家初評結(jié)果表

3.2 評價步驟及計算結(jié)果

3.2.1 計算屬性的權(quán)重

同理計算可得：

得到：

由ρd的計算結(jié)果可得，綜合3位專家的評判結(jié)果，3個評價指標（屬性）的重要程度依次為專業(yè)知識、團隊協(xié)作能力、語言表達能力。

3.2.2 計算專家的權(quán)重

由式（2）計算可得：

因為 con(e1)＞con(e2)，con(e1)＞con(e3)，故選擇 e1為3位專家中的代表專家。各專家的權(quán)重計算如下：

同理，計算得到：

3.2.3 集結(jié)群決策的結(jié)果

為方便計算，用{0，1，2}的數(shù)值標度，分別代表評價結(jié)果{差，中，好}的語言值，先考慮對屬性權(quán)重進行集結(jié)得到表2。

表2 各專家綜合評價結(jié)果

結(jié)合各專家的權(quán)重進一步集結(jié)，得到：

于是，由最后計算結(jié)果得到10名面試人員的綜合能力排名為：

式（3）的計算結(jié)果與文獻[21]中的結(jié)論x4＞x8＞x10＞x7＞x6＞x9＞x2＞x3＞x5＞x1基本一致。

4 結(jié)論

在現(xiàn)有的多屬性群決策模型研究基礎(chǔ)上，文章同時考慮評價專家做出的初步?jīng)Q策信息，提出基于粗糙集優(yōu)勢關(guān)系的多屬性群決策模型，該模型考慮了專家對研究對象做出的粗粒度評價信息，具體表現(xiàn)在：先利用優(yōu)勢關(guān)系法描述了專家初步分級決策的信息結(jié)構(gòu)，接著定義了專家初步分級評價的相似度，并依據(jù)給出的決策表客觀確定了各專家評價的權(quán)重；同時，該模型也定義了優(yōu)勢粒結(jié)構(gòu)相似度并研究其相關(guān)性質(zhì)，這種基于優(yōu)勢粒結(jié)構(gòu)相似度的計算方法能夠直觀性地解釋屬性的客觀權(quán)重。最后，通過實例對帶有三支決策的專家評價方案進行數(shù)據(jù)處理，分別得到面試者工作能力各個評價指標（屬性）和面試專家的權(quán)重分配，對其進行集結(jié)得到的最終評價結(jié)果與文獻[21]的結(jié)論基本一致，這也說明了該方法的可行性與有效性。與文獻[21]中基于粗糙集的細粒度決策模型相比較，文章建立的基于優(yōu)勢關(guān)系的粗粒度多屬性群決策方法起到異曲同工之效，但其在計算過程上相對簡潔，這為今后建立多粒度決策模型粒度粗細的選擇提供了一定的參考價值。由于篇幅有限，在后續(xù)研究中，將進一步考慮該方法在一些真實數(shù)據(jù)上的實驗操作，并對實驗結(jié)果做出詳細的分析。

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