羅懿宸

摘 要 維多利亞時期的英國數(shù)學(xué)日新月異，新舊數(shù)學(xué)思想不斷沖撞交鋒，本文通過分析我們熟悉的數(shù)學(xué)家道奇森（卡羅爾）的數(shù)學(xué)工作和小說作品中的數(shù)學(xué)思想，以其作為一面鏡子，反映出維多利亞時期數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識的歷史發(fā)展。

關(guān)鍵詞 維多利亞時期 數(shù)學(xué)史 道奇森 愛麗絲漫游奇境記

一 引言

若在英國歷史中穿行，人們無法不被維多利亞時期（1837—1901）吸引，并駐足凝望這段如維多利亞女王王冠上的明珠一般璀璨和輝煌的時代?；厮?7、18世紀(jì)的英格蘭，注意那些在未來將會燎原的思想星點，以及不斷積累的社會、宗教制度的變革，這些充足的養(yǎng)分終于促使維多利亞時期的英國陡然綻放了最絢麗的花朵：政治上，繼承了1688年光榮革命的遺產(chǎn)并進(jìn)一步完善君主立憲制，國內(nèi)穩(wěn)定安寧；經(jīng)濟(jì)上，發(fā)展了18世紀(jì)工業(yè)革命以來的技術(shù)成果進(jìn)入蒸汽時代，資本主義經(jīng)濟(jì)蓬勃發(fā)展，成為世界工業(yè)大國，舉辦萬國博覽會，海上貿(mào)易繁榮昌盛；軍事上，軍工發(fā)達(dá)，海軍艦隊強大，并對外殖民擴(kuò)張，擁有世界1/4的土地，占有豐富的資源，被稱為日不落帝國?？梢哉f維多利亞時期的英國是當(dāng)時的超級大國，一切都在向頂點攀登。作為時代縮影的科學(xué)也不例外，從17、18世紀(jì)以來科學(xué)越來越受到重視，社會地位越來越高，并形成了皇家學(xué)會（1663）、王家研究院（1799）等科學(xué)組織和機構(gòu)，并且科學(xué)技術(shù)和應(yīng)用緊密結(jié)合?？茖W(xué)以驚人的速度發(fā)展并不斷超越自身，以至于開爾文勛爵（Lord Kelvin，1824—1907）在19世紀(jì)的“最后一天”宣稱“物理學(xué)大廈”已經(jīng)建成，余下的只是裝飾的工作；1900年，在巴黎第二次國際會議上，龐加萊（J. H. Poincaré，1854—1912）夸耀數(shù)學(xué)中“絕對的嚴(yán)密性”已經(jīng)達(dá)到（[1]，頁97—98）。

新的世界圖景展現(xiàn)在19世紀(jì)人們的面前。新舊世界、新舊知識觀的沖突開始顯現(xiàn)。充滿大機器和蒸汽的機器時代和過去人力手工勞作的對比，將具體的人和事物抽象化；大航海和擴(kuò)張的時代將傳統(tǒng)直覺上平直的時空連通起來，彎曲成了曲面。這兩點在維多利亞時期的英國數(shù)學(xué)的發(fā)展中顯得尤其突出。18世紀(jì)末和19世紀(jì)早期，當(dāng)英國人還沉浸在牛頓數(shù)學(xué)物理學(xué)和對歐幾里得（Euclidean）平直時空的信仰中時，德國、法國以及歐洲的一些分析數(shù)學(xué)家和代數(shù)學(xué)家開始注意到抽象的代數(shù)形式，如伽羅瓦（Evariste Galois，1811—1832）；并開始注意到歐幾里得幾何學(xué)的“平行公設(shè)”以及證明中存在太多感官經(jīng)驗和純直覺的知識（[1]，頁75），因此定義了全新的非歐（non-Euclidean）幾何學(xué)，如高斯（C. F. Gauss，1777—1855）和波爾約（Janos Bolyai，1802—1860）等對歐幾里得幾何“平行公設(shè)”的質(zhì)疑和對非歐幾何的一致性的研究。在這樣的時代背景中，一群年輕的英國數(shù)學(xué)家，如皮考克（George Peacock，1791—1858）和巴貝奇（Charles Babbage，1792—1871）等，建立了劍橋分析學(xué)會，并挑戰(zhàn)英國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想，將抽象代數(shù)、形式邏輯和非歐幾何發(fā)展成為了維多利亞時期英國數(shù)學(xué)的主題。

當(dāng)然，并不是英國當(dāng)時所有的數(shù)學(xué)家都是全然接受這些抽象和非直覺的數(shù)學(xué)潮流的，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家還在傳統(tǒng)和現(xiàn)代之間搖擺。為了更好地研究維多利亞時期的英國數(shù)學(xué)的發(fā)展和沖突，我們希望找一個自身包含這些沖突的數(shù)學(xué)家來研究。事實上，一位大眾很熟悉的數(shù)學(xué)家恰好提供了這樣的線索，他就是道奇森（Charles L. Dodgson，1832—1898）——那位用筆名劉易斯·卡洛爾（Lewis Carroll）寫下了《愛麗絲漫游奇境記》（Alices Adventures in Wonderland）的數(shù)學(xué)家。梅拉尼·貝利（Melanie Bayley）[2， 3]將道奇森分析為一位傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)家，對18世紀(jì)線性方程的解法和行列式，以及歐幾里得幾何學(xué)感興趣，但是對維多利亞時期抽象的數(shù)學(xué)潮流感到反感，并且她認(rèn)為《愛麗絲漫游奇境記》就是一部對當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展的諷喻之作。

因此，我們將以道奇森為線索，作為一面鏡子，縮略反映維多利亞時期數(shù)學(xué)的發(fā)展和潮流，描繪出一副這個時期的數(shù)學(xué)背景和進(jìn)程的知識地圖。下面分別將從道奇森的生平、《愛麗絲漫游奇境記》中的數(shù)學(xué)知識和當(dāng)時的數(shù)學(xué)發(fā)展、以及道奇森的一些具體工作貢獻(xiàn)出發(fā)，逐步實現(xiàn)這一目標(biāo)。

二 道奇森的生平

查爾斯·路德維奇·道奇森1832年生于一個傳統(tǒng)的英國家庭中，父親查爾斯·道奇森（Charles Dodgson，1800—1868）是一名傳統(tǒng)牧師，獲得牛津大學(xué)基督教會學(xué)院古典學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)位，1825年娶了自己的表妹弗蘭妮·路德維奇（Franny Lutwidge），生下了11個孩子。道奇森（下文道奇森都指C. L.道奇森）就是他們最大的兒子，前面有三個姐姐。道奇森從小接受父親嚴(yán)格的數(shù)學(xué)教育，以及母親對他在文學(xué)和宗教方面的熏陶，一直到他11歲離開家去里士滿念書。道奇森14歲升入著名的拉格比公學(xué)，漸漸在數(shù)學(xué)方面表現(xiàn)出了很強的能力。1851年道奇森進(jìn)入牛津大學(xué)基督教會學(xué)院學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，1855年獲得了碩士學(xué)位，并獲得了基督教會學(xué)院的數(shù)學(xué)講師職位。需要注意的是，同年，亨利·利德爾（Henry Liddell，1811—1898）被任命為基督教會學(xué)院的院長，他便是愛麗絲（Alice Liddell，1852—1934）的父親。1856年，道奇森和利德爾家的三姐妹相識了。

在任教期間，道奇森教授歐幾里得幾何學(xué)，由于意識到其中的不準(zhǔn)確和不一致的地方，他于1860年寫出了對于歐幾里得幾何學(xué)前兩本書的筆記，用以彌補這些不足。道奇森對代數(shù)，尤其是解方程，即行列式有專門的研究，1867年出版了《行列式初論》（An Elementary Treatise on Determinants），討論了增廣矩陣和方程組是否相容（即有解）的關(guān)系，提出并證明了道奇森定理①。1870年出版了《代數(shù)公式和規(guī)則》（Algebraic Formulae and Rules）以及《算術(shù)公式和規(guī)則》（Arithmetical Formulae and Rules），同時繼續(xù)研究歐幾里得幾何學(xué)，1879年寫出小冊子《歐幾里得和他的現(xiàn)代對手》（Euclid and His Modern Rivals），討論了第五公設(shè)不能從其他公設(shè)中推出的問題。雖然道奇森意識到了1830年間就萌芽的非歐幾何學(xué)，但是他拒絕接受，并認(rèn)為它們是和我們生活的幾何世界無關(guān)的，1888年還是發(fā)展了關(guān)于平行的新理論（[5]，p. 107），用一條新公設(shè)取代第五公設(shè)（圖1）。除此之外，道奇森對于數(shù)學(xué)和推理基礎(chǔ)的邏輯學(xué)也深有研究，1887年出版了《邏輯游戲》（The Game of Logic），并于1896年匯集其對于邏輯學(xué)的思考，寫出《符號邏輯，第一部：基礎(chǔ)》（Symbolic Logic，Part I： Elementary），但其第二、三部直到他去世后才被出版。在邏輯學(xué)上，他發(fā)展了下角數(shù)碼標(biāo)記法，也像維恩（John Venn，1834—1923）一樣發(fā)明了可視化的邏輯圖式，并用于分析三段論和復(fù)合三段論。

學(xué)術(shù)活動外，從1855年開始道奇森對攝影技術(shù)和攝影活動開始產(chǎn)生濃厚的興趣，1856年買了自己第一臺相機，并從此開始了其作為攝影師的一生。他為許多詩人名流拍攝人像，如羅塞蒂（Dante G. Rossetti，1828—1882），丁尼生（Lord A. Tennyson，1809—1892）等人。他對年輕的小女孩和內(nèi)衣尤其感興趣，這也在他的攝影作品中體現(xiàn)出來（[6]，p. 2）。利德爾家的三姐妹經(jīng)常成為他拍攝的模特（圖2）。正如傳記家所述：“如果道奇森沒有寫下愛麗絲系列書，他可能會作為一個杰出的攝影師被銘記，如果他也沒有成為一個攝影師，他也可會作為一個數(shù)學(xué)家被銘記。”（[6]，p. 6）值得一提的是，1862年7月4日，道奇森和其朋友魯賓遜·達(dá)克沃茲（Robinson Duckworth，1834—1911），以及包括愛麗絲在內(nèi)的利德爾家三姐妹乘船去伊希斯河旅行，這次旅行為其以愛麗絲為原型寫的小說《愛麗絲漫游奇境記》提供了靈感和大綱。傳記家對道奇森與愛麗絲的關(guān)系有許多不同的猜測，但無論如何，道奇森和利德爾家的關(guān)系出現(xiàn)了裂痕，后來利德爾夫人拒絕了道奇森想要繼續(xù)和三姐妹的旅行的請求，道奇森和愛麗絲姐妹的親密關(guān)系破滅。

三 《愛麗絲漫游奇境記》中的數(shù)學(xué)和邏輯思想

正如前文我們強調(diào)的，道奇森是一個傳統(tǒng)的、偏好歐幾里得幾何和傳統(tǒng)代數(shù)的一位數(shù)學(xué)家，對如火如荼發(fā)展的抽象代數(shù)和非歐幾何持批評和懷疑的態(tài)度。有研究維多利亞時期文學(xué)的學(xué)者[2， 3]將道奇森的數(shù)學(xué)思想和其文學(xué)作品聯(lián)系起來，用文學(xué)分析方式分析道奇森寫作的動機和意圖，將道奇森描述為一個保守的數(shù)學(xué)家，其作品多體現(xiàn)為對其當(dāng)代數(shù)學(xué)發(fā)展的一種諷刺；斯坦福大學(xué)人類科學(xué)技術(shù)中心的數(shù)學(xué)家基思·德夫林（Keith Devlin，1947—）也同意這種張力在道奇森文學(xué)作品中的體現(xiàn)。在這一部分，我們將對《愛麗絲漫游奇境記》中體現(xiàn)道奇森數(shù)學(xué)思想的片段進(jìn)行分析，并結(jié)合當(dāng)時的數(shù)學(xué)發(fā)展和重要人物的思想進(jìn)行比較，也盡力嘗試揭示道奇森作為維多利亞時期數(shù)學(xué)發(fā)展的一面鏡子，其反映出來的新舊數(shù)學(xué)發(fā)展和沖突的歷史面貌。

在《愛麗絲漫游奇境記》中，愛麗絲因為追趕一只揣著懷表穿著背心的兔子掉進(jìn)了兔子洞，因此進(jìn)入了和陸上世界不同的光怪陸離的地下世界，遇見了許多奇怪的事物，如抽著水煙（hookah）的毛毛蟲、變成小豬的孩子、微笑的柴郡貓、三月兔和瘋帽匠等，經(jīng)歷了似乎不合邏輯、瘋狂的歷險。書中愛麗絲的身體在一天內(nèi)從3英寸變到9英尺變來變?nèi)?，甚至在吃了毛毛蟲身下的蘑菇后，身體還會進(jìn)行不等比例的變化：

“多么奇怪的感覺呀！”愛麗絲說，“我準(zhǔn)是變成望遠(yuǎn)鏡里的小人啦?！薄殖云饋恚芸炀桶涯菈K蛋糕吃光了。“真奇怪啊，太奇怪了！”愛麗絲喊起來，她驚訝得一時簡直連話也說不上來了。“現(xiàn)在我有方法了，就像最大的望遠(yuǎn)鏡看到的人一樣啦！再見吧，我的雙腳！”（[7]，頁8—11）

過了一會兒，她才想起手里還拿著那兩塊蘑菇呢，于是就開始小心地在這塊上咬一點兒，在那塊上啃一點兒，有時候長得高些，有時候縮得矮些，最后，她終于把身體調(diào)整到自己本來的大小了。（[7]，頁40）

而且在不斷變化的過程中，愛麗絲多次在質(zhì)疑“自己到底變成了誰”這個自我同一性的問題，在吃了蘑菇脖子變得很長時，樹上的鴿子也對愛麗絲說道：

鴿子提高聲音，簡直像是在喊，“……哎呀！該死的蛇” ！

“可我告訴你，我不是蛇！”愛麗絲說，“我是一個……我是一個……”

“說呀，你是一個什么？”鴿子問道，“看得出你要編造個故事” 。

“我…我是個小姑娘?！睈埯惤z說。想起這一天經(jīng)歷過的種種變化，她自己也滿心狐疑。（[7]，頁40）

這一段體現(xiàn)了對歐幾里得幾何堅守的道奇森和非歐幾何學(xué)發(fā)展之間的張力，歐幾里得幾何強調(diào)比例變化，相似、全等等幾何關(guān)系，愛麗絲吃下蛋糕的時候從3英寸到9英尺的變化就是這樣的等比例變化，不過此時愛麗絲并沒有全然質(zhì)疑自己的同一性，還通過回憶日常世界的知識來確認(rèn)自己；但是在吃蘑菇變化的時候，她的身體并不是進(jìn)行等比例變化，而是任意部分進(jìn)行任意的變化，這提醒人注意19世紀(jì)非歐幾何、射影幾何的發(fā)展，以及早期拓?fù)渌枷氲钠鹪础?/p>

由于18世紀(jì)分析學(xué)家的努力，分析數(shù)學(xué)在19世紀(jì)被大量應(yīng)用于幾何學(xué)的研究中，高斯就利用微積分的技巧建立了曲面和曲面三角形角度之和的關(guān)系，從而使得人們可以大膽放棄早已被質(zhì)疑的平行公設(shè)，因為平行公設(shè)將推出平面三角形內(nèi)角之和等于兩直角之和的結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，到了19世紀(jì)20年代，羅巴切夫斯基（Nikolas I. Lobachevsky，1792—1856）和波爾約建立了非歐幾何學(xué)，使得幾何學(xué)更加推廣和抽象。對非歐幾何的分析離不開19世紀(jì)抽象代數(shù)的發(fā)展，在彎曲的曲面上如何定義測量，傳統(tǒng)直覺的定義已經(jīng)行不通，因此需要借助射影幾何的思想。射影幾何研究在投影下幾何圖形的不變的性質(zhì)，這些發(fā)展就促使了拓?fù)鋵W(xué)思想的發(fā)生。按照克萊因（Felix C. Klein，1849—1925）所說：“拓?fù)渌芯康氖菐缀螆D形的那樣一些性質(zhì)，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意變形下保持不變，只要在變形過程中既不使原來不同的點融化為同一個點，又不使新點產(chǎn)生。”（[1]，頁260）這一點在早期射影幾何學(xué)家彭賽列（Jean-Victor Poncelet，1788—1867）的“連續(xù)性原理”（principle of continuity）中就有體現(xiàn)，彭賽列將此原理表述為：“讓一個圖形經(jīng)歷一系列連續(xù)變化，只要這些變化被限制使得這個圖形的某些普遍的性質(zhì)保持為真，那么這些性質(zhì)也將會被每一個變化過程中的那些圖形所共享?！盵2]

于是我們看在愛麗絲吃下蘑菇后，其脖子不斷變長，被道奇森描述得像蛇一樣，失去了作為“小姑娘”的特征，這正是表現(xiàn)了他對當(dāng)時射影幾何和非歐幾何發(fā)展的諷刺，體現(xiàn)其荒謬的邏輯結(jié)果。傳達(dá)同樣思想的線索片段我們還可以在公爵夫人家逐漸連續(xù)變化為小豬的小娃娃中看到：

那孩子又哼了一聲，愛麗絲不安地朝他望了一眼，看看出了什么事。只見他的鼻子向上翻的厲害，根本不像是個孩子的鼻子，完全是個豬鼻子，他的眼睛也變得越來越小……突然這東西又哼了一聲，聲音那么響亮，她吃了一驚，連忙扭頭望去。這一次她沒有看錯：它實實在在是頭小豬。她覺得，要是再抱著它走，可就太荒唐了。她把它放在地上，看著它平靜地跑進(jìn)樹林，心里感到十分輕松。愛麗絲自言自語說：“它要是個孩子，長大準(zhǔn)丑的要命，可它是只相當(dāng)漂亮的豬?！保╗7]，頁46—47）

道奇森對公爵家的喧鬧和潛伏戾氣場景的描述，顯得這一切荒謬可笑，他通過這樣的方式表達(dá)對新近的幾何學(xué)發(fā)展的不滿。另一處比較清晰看出射影幾何在作品中的例子就是讀者熟悉的柴郡貓的微笑：

“好吧”，貓兒說。這一次，它消失得挺緩慢，先從尾巴開始，最后是嘴巴上的微笑，那個微笑在它的身體消失后很久才消失掉。（[7]，頁49）

在貓消失的過程中，直到整個身子都消失不見，其微笑的嘴一直保持在原地不變，這幅場景很好地還原了彭賽列的連續(xù)性原理的過程。但在道奇森的描述下顯得荒謬和奇異。

除了在幾何學(xué)發(fā)展中的張力，愛麗絲的歷險還影射出了道奇森與所處時代中抽象數(shù)學(xué)——尤其是抽象代數(shù)的發(fā)展之間的張力。如果說在非歐幾何方面維多利亞時期的英國數(shù)學(xué)家受到法國、德國數(shù)學(xué)家的影響更大的話——當(dāng)然英國還有赫赫有名的克利福德（William K. Clifford，1845—1879）——那么在抽象代數(shù)和邏輯基礎(chǔ)的研究上，英國的數(shù)學(xué)家可以說是引領(lǐng)了世界的潮流：皮考克、德摩根（De Morgan，1806—1871）、布爾（George Boole，1815—1864）、維恩、哈密頓（William R. Hamilton，1805—1865）等著名的邏輯學(xué)家和代數(shù)學(xué)家都活躍在此時期。19世紀(jì)前代數(shù)學(xué)家的工作主要是解方程，而到了19世紀(jì)，尤其是19世紀(jì)的英國，以符號運算以及它與數(shù)學(xué)事實之間關(guān)系的新興趣為特征（[5]，頁876）。皮考克是這個代數(shù)變革運動的倡導(dǎo)者，他在1830年的《代數(shù)學(xué)》（Treatise on Algebra）中定義符號代數(shù)為“通過定義任意法則的方法研究任意標(biāo)志和符號的組合的科學(xué)”。皮考克的思想直接影響了德摩根，后者深刻意識到代數(shù)的基礎(chǔ)和代數(shù)法則不必基于算術(shù)法則，相信代數(shù)系統(tǒng)可以通過任意選擇一些符號和建立這些符號的一套運算法則來建立，而不用參考算術(shù)法則，只要其后能解釋這些法則之間的相互作用就行了（[5]，頁879）。例如，假設(shè)符號M、N，+，以及M+N=N+M作為唯一的組合關(guān)系。在這里我們?nèi)绾瓮ㄟ^這個符號建立一個有意義的代數(shù)呢？有幾種方式：1）M和N可以是一些量，+表示第二個量加到第一個量的符號。2）M和N可以是數(shù)，+表示第一個數(shù)被第二個數(shù)乘……4）M和N可以是人，+表示前一個人是后一個人的兄弟……（[8]，pp. 92—93）于是符號代數(shù)，或者說抽象代數(shù)，不再僅僅將代數(shù)運算建立在普通的算術(shù)法則上，也不再將運算基于實數(shù)或者復(fù)數(shù)上，而是更一般的抽象的符號代數(shù)，引進(jìn)更抽象的結(jié)構(gòu)用以統(tǒng)一表面上千差萬別的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。對比在第二部分介紹的道奇森的著作和工作我們可以知道他在代數(shù)領(lǐng)域主要感興趣的還是傳統(tǒng)的代數(shù)學(xué)，方程的解法，行列式的快速運算等。在《愛麗絲漫游奇境記》中，確實有多處我們也可以看出他對在英國蓬勃發(fā)展的抽象的符號代數(shù)的諷刺。首先，在愛麗絲剛掉進(jìn)兔子洞里，因為吃了蛋糕變得巨大，為了確認(rèn)自己還是以前那個愛麗絲，她開始背起的“奇怪”的九九乘法表：

我來試試看，以前知道的東西現(xiàn)在是不是還知道。我想想：四乘以五等于十二，四乘以六等于十三，四乘以七等于……啊，天哪！照這么背下去，永遠(yuǎn)也到不了二十啦?。╗7]，頁13）

這確實是一張奇怪的乘法表，但是聰明的讀者能很快發(fā)現(xiàn)道奇森在和我們玩變換進(jìn)制的代數(shù)游戲。4×5的結(jié)果若是用18進(jìn)制而不是10進(jìn)制表示的時候結(jié)果確實是12；同理，4×6的結(jié)果用21進(jìn)制而不是10進(jìn)制表示的時候結(jié)果是13，而不是24；4×7用23進(jìn)制表示而不是10進(jìn)制時結(jié)果是14……依此類推，也可以計算證明，在這個序列之后要使結(jié)果等于20的情況并不可能存在。道奇森通過這一種反直覺的方式呈現(xiàn)了出來。在另一處，道奇森通過寫愛麗絲和瘋帽子的對話，來體現(xiàn)他對不可交換的阿貝爾群的抽象代數(shù)的諷喻：

“我當(dāng)然要說”，愛麗絲連忙回答道，“至少……至少我說的就是我心里想的……反正是一碼事，你知道了吧”?！案揪筒皇且淮a事！”帽子匠說道：“你還不如說，‘我看見我吃的東西跟‘我吃我看見的東西也是一碼事呢！”（[7]，頁51—52）

在另一處，愛麗絲和仿龜?shù)膶υ挘榔嫔ㄟ^故意拼錯和改寫加減乘除的單詞詞組，也體現(xiàn)了他對抽象代數(shù)定義的任意的符號運算規(guī)則的質(zhì)疑和諷刺：

“我沒有能力學(xué)它”，仿龜嘆了口氣說，“我只學(xué)普通課程”。“那是些什么課？”愛麗絲問道?！爱?dāng)然開始是堵（讀）和泄（寫）啦”，仿龜回答道，“還有不同的算術(shù)運算——假發(fā)（Ambition），剪發(fā)（Distraction），丑法（Uglification）和鋤法（Derision）”。（[7]，頁74）

不過最令人覺得驚奇，且在《愛麗絲漫游奇境記》中最為膾炙人口的片段就是那場和三月兔、瘋帽子和睡鼠舉辦的瘋狂的茶會。這個茶會上只有三個“人”：瘋帽子、三月兔和睡鼠，而且“桌子很大，可他們?nèi)齻€都擠在桌子的一角”。在愛麗絲和他們的對話中，茶會的有趣性質(zhì)也顯現(xiàn)了出來：

“從那以后”，帽子匠用悲傷的聲調(diào)接著說，“我要時間干什么它都不干了。它總是指著六點鐘”。愛麗絲腦子里突然一亮，問道：“這就是這兒擺了這么多茶具的緣故吧？”“是啊”，帽子匠嘆了口氣說道，“時間總是停留在午茶時間，我們喝完茶，連洗這些茶具的時間都沒有，只好沒完沒了地接著喝。”“我猜，你們就這么連續(xù)不斷地圍繞著桌子轉(zhuǎn)？”，愛麗絲問道?！皩O啦”，帽子匠說，“茶具用臟了，我們就往下挪”。（[7]，頁55）

時間、旋轉(zhuǎn)和數(shù)字3，這些元素讓人很明確地想起19世紀(jì)中葉維多利亞時期愛爾蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家哈密頓，以及他發(fā)明的四元數(shù)（Quaternions）。我們知道，對一個二維點，在復(fù)數(shù)坐標(biāo)上很容易對其進(jìn)行表示和操作，如“向量”A=a+bi，其中運算法則為i2=-1，若將其畫在復(fù)平面上，對這個A乘以i就會得到逆時針旋轉(zhuǎn)90度的點A'，若是想要旋轉(zhuǎn)45度，則對這個坐標(biāo)乘以（1/√2，i/√2）即可。于是我們看出對一個二維“向量”，將其旋轉(zhuǎn)只需要一個二元數(shù)組即可。那么對于三維的“向量”該如何旋轉(zhuǎn)的問題，哈密頓一開始一直苦苦尋求通過三元數(shù)組（從二維推廣而來的，表示空間的三個坐標(biāo)）給出三維旋轉(zhuǎn)的辦法，但是最后均失敗了。不過最后，他給出了正確的計算方法，發(fā)現(xiàn)其需要的不是三元數(shù)組，而是四元數(shù)組，被稱為四元數(shù)。其形式為h=a+bi+cj+dk，其中運算法則為i2=j2=k2=ijk=-1。在三維中旋轉(zhuǎn)給定一個旋轉(zhuǎn)軸V=（vx， vy， vz），給定旋轉(zhuǎn)的角度后，就可以利用四元數(shù)進(jìn)行計算一個點p=（px，py，pz）在這個條件下旋轉(zhuǎn)后的像了：首先，找到對應(yīng)的四元數(shù)h=（cos（θ/2），sin（θ/2）*vx，sin（θ/2）*vy，sin（θ/2）*vz），并且定義純四元數(shù)qp=（0，px，py，pz），接下來計算p'=h*qp*h-1，計算得到的p'一定也是純四元數(shù)，其三個坐標(biāo)p'x，p'y，p'z表示的就是旋轉(zhuǎn)后的三維空間坐標(biāo)。哈密頓在發(fā)現(xiàn)三元數(shù)不能解釋三位旋轉(zhuǎn)而加入一個額外旋轉(zhuǎn)項（extra-spatial term）之后實現(xiàn)了三維旋轉(zhuǎn)，因此他對這一項的解釋為：“像絕大多數(shù)維多利亞時期數(shù)學(xué)家，他認(rèn)為這一項得代表著什么意義，因此在他1853年的著作《四元數(shù)講義》中加了一條腳注，‘將這一項同時間概念聯(lián)系起來在我看來是自然的?！盵2， 3]不過，在每次旋轉(zhuǎn)后我們得到的總是純四元數(shù)，即這項時間項總是為0的，因此在道奇森的小說中，這個茶會總是被困在六點鐘，茶會上的人不斷在停止的時間之中繞著茶桌進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。從現(xiàn)代群論的角度看，四元數(shù)所在群為S3群，四元數(shù)代表的三維旋轉(zhuǎn)就是SO（3）。四元數(shù)集合形成了實數(shù)上的非交換的除法代數(shù)。哈密頓的代數(shù)是第一個不遵守皮考克和德摩根提出的規(guī)律的符號系統(tǒng)，它的建立消除了考慮不滿足這些規(guī)律體系的存在問題，使皮考克所主張的自由構(gòu)造成為現(xiàn)實（[5]，頁884）。道奇森生動地將四元數(shù)的數(shù)學(xué)思想和過程描述在了愛麗絲經(jīng)歷的歷險之中，顯得荒誕和奇異。

至此，我們將道奇森《愛麗絲漫游奇境記》中體現(xiàn)維多利亞時期數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識發(fā)展的張力結(jié)合歷史做了簡要分析，表現(xiàn)了在非歐幾何學(xué)和抽象代數(shù)的發(fā)展中帶來的新奇有趣的思想。

四 道奇森的邏輯學(xué)

維多利亞時期英國的數(shù)學(xué)家對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的邏輯學(xué)，尤其是符號邏輯的發(fā)展給予了極大的關(guān)注，德摩根、布爾和維恩都在形式邏輯領(lǐng)域做出了先驅(qū)的貢獻(xiàn)。布爾于1854年出版的《思維規(guī)律研究》使得邏輯學(xué)脫離了亞里士多德傳統(tǒng)的形而上學(xué)分析，進(jìn)入了數(shù)學(xué)領(lǐng)域，通過定義邏輯推理運算的符號和語言，建立邏輯學(xué)并構(gòu)造其方法。在此書中，布爾構(gòu)造了布爾代數(shù)，這種取值為0，1的邏輯運算如今在計算機領(lǐng)域被廣泛使用，是計算機基本理論之一。

道奇森在邏輯學(xué)上也有所建樹，他同維恩一般建立了可視化的邏輯方法，并用這個方法分析傳統(tǒng)邏輯中的三段論推理和復(fù)合三段論。在其死后出版的《符號邏輯第二卷》中，還發(fā)展了了現(xiàn)在所稱為“邏輯樹”的一種分析符合命題有效性的圖示方法，這種思想和方法在現(xiàn)在邏輯學(xué)自動證明中也有重要應(yīng)用。

在道奇森的邏輯學(xué)系統(tǒng)中，他強調(diào)七種基本概念：命題（Proposition）、屬性（Attribute）、詞項（Term）、對象（Subject）、謂詞（Predicate）、特稱命題（Particular）和全稱命題（Universal）。這些概念和現(xiàn)代邏輯學(xué)的概念幾近相似，就不在此贅述。道奇森設(shè)計了用來表達(dá)命題的邏輯圖（圖3）[9]，例如對于兩個屬性x和y，可以利用兩條線將組合性質(zhì)xy、xy'（not y）、x'y（not x）、x'y'劃分成四個區(qū)域（如果是三個屬性x、y、m則分為8個區(qū)域（圖3左），屬性m為x、y圍成的方框內(nèi)，m'即為方框外的區(qū)域）。在某個區(qū)域內(nèi)用標(biāo)記I表示“一個或更多”，用0表示“沒有”。

如圖3右中標(biāo)記的I，就代表命題“一些x-（對象）是y-（對象）”或者命題“一些y-（對象）是x-（對象）”。若考慮如圖3右邊的意義，則表示“一些x是y，且沒有x是y'”，其等價于“所有x都是y”。這個模式表示了一個全稱命題。將其簡單地推廣到三屬性的情況，如圖3左，這個圖式表示“所有x都是y?！?/p>

這個簡單的邏輯圖式表示方法也可以用來分析三段論：道奇森將其分為三個步驟，第一，將含有屬性x、y、z的全稱命題分解為多個特稱命題，至少挑選兩個作為前提；第二，在前提中重復(fù)出現(xiàn)兩次的屬性被稱為中間項（Middle term），在結(jié)論中被消去，即結(jié)論是關(guān)于另兩個屬性的命題。舉例而言，若我們有兩個前提為：（1）沒有x是m，（2）一些m是y'，那么首先我們在上述的邏輯圖式中畫出已知條件（圖4左）。

那么因為結(jié)論消去了中間項m，于是我們得到右圖關(guān)于x-y的劃分圖式，那么根據(jù)圖式，結(jié)論就為“一些x'是y'?！?/p>

利用這些圖式分析傳統(tǒng)三段論以及各種變格具有很好的效果。值得提醒的是，這種圖式并不是道奇森第一次提出的，稍早于道奇森，維恩就提出了鼎鼎有名的文氏圖（圖5）。通過對比，在二維的情況，道奇森的圖可以說是文氏圖的一種修正，因為文氏圖沒有包含所有的情況，而道奇森的圖能夠涵蓋所有的情況。四維以上的對比，見圖6（[5]，pp. 203—204）。

五 總結(jié)

英國維多利時期呈現(xiàn)出了繁榮的盛世景象，作為其縮影的科學(xué)，尤其是其中的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，維多利亞時期英國數(shù)學(xué)在抽象代數(shù)和邏輯等領(lǐng)域領(lǐng)先于世界，作出了開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。然而，高速發(fā)展的抽象數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)之間產(chǎn)生了不可避免的矛盾，分析這種矛盾，可以更好地了解該時期的數(shù)學(xué)思想發(fā)展和進(jìn)程。道奇森（卡洛爾）正是這樣一位自身內(nèi)部充滿矛盾張力的數(shù)學(xué)家，其本身就像一面鏡子，反映出維多利亞時代數(shù)學(xué)思想的變化和進(jìn)展。

通過分析維多利亞時期歐洲非歐幾何和英國抽象代數(shù)以及形式邏輯的數(shù)學(xué)史背景，以此為依據(jù)對道奇森的著名作品《愛麗絲漫游奇境記》進(jìn)行分析，分析道奇森作為一個傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)家對高速發(fā)展的數(shù)學(xué)新圖景的看法，并對他本人的貢獻(xiàn)進(jìn)行了細(xì)節(jié)介紹，還原了維多利亞時期英國數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的歷史面貌。

參考文獻(xiàn)

[1]克萊因. 古今數(shù)學(xué)思想（第四冊）[M]. 鄧東皋， 張恭慶譯. 上海： 上海科學(xué)技術(shù)出版社， 2002.

[2] Bayley， M.. Alice's Adventures in Algebra： Wonderland Solved[N]. New Scientist， 2009-12-16.

[3] Bayley， M.. Algebra in Wonderland[N]. New York Times， 2010-03-07.

[4] 卡茲. 簡明數(shù)學(xué)史： 第四卷近代數(shù)學(xué)[M]. 董曉波等譯. 北京： 機械工業(yè)出版社， 2016.

[5] Wilson， R.. Lewis Carroll in Numberland： His Fantastical Mathematical Logical Life[M]. New York & London： W. W. Norton & Company， 2008.

[6] Carroll， L.， Walker， B.. Alices Adventures in Wonderland[M]. Indianapolis & Cleveland & New York： Hungry Minds， 2001.

[7]卡洛爾. 愛麗絲漫游奇境記[M]. 賈文浩， 賈文淵譯. 北京： 北京燕山出版社， 2010.

[8] De Morgan， A.. Trigonometry and Double Algebra[M]. London： Taylor， 1849.

[9] Carroll， L.. The Game of Logic[M]. London & New York： Macmillan， 1886.