常參數(shù)下二選期權(quán)的定價(jià)*

李藝卓，劉麗霞

(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)信息科學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050024)

在全球金融市場中，存在著大量的金融衍生產(chǎn)品，隨之產(chǎn)生的就是風(fēng)險(xiǎn).要有效地管控風(fēng)險(xiǎn)，就需要對衍生產(chǎn)品進(jìn)行合理地定價(jià).期權(quán)[1]是一種最常見的金融衍生品，期權(quán)定價(jià)問題是金融數(shù)學(xué)研究的核心問題之一，許多學(xué)者給出了不同期權(quán)的定價(jià)公式[2-7].隨著金融理論的發(fā)展，人們在標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出許多新型期權(quán)，二選期權(quán)就是其中的一種.二選期權(quán)分為二選較優(yōu)看漲期權(quán)和二選較差看漲期權(quán).利用二選較優(yōu)看漲期權(quán)，可以在某2種市場中獲得業(yè)績表現(xiàn)較優(yōu)者的風(fēng)險(xiǎn)收益，利用二選較差看漲期權(quán)，可以在同一市場上的某2種資產(chǎn)類型的對比中獲得業(yè)績較低者的風(fēng)險(xiǎn)收益.Zhang Peter G[8]研究了基于收益率對數(shù)二選期權(quán)定價(jià).筆者擬研究常參數(shù)下基于收益率對數(shù)的二選較優(yōu)看漲期權(quán)和二選較差看漲期權(quán)的定價(jià)問題，并將得到的解析定價(jià)公式與文獻(xiàn)[8]中的二選期權(quán)解析定價(jià)公式作比較.

1 預(yù)備知識

定義1[9]設(shè)(Ω,F,{Ft},P)是一個帶域流{Ft}的概率空間，布朗運(yùn)動Z(t)是滿足下列條件的高斯過程：(1)正態(tài)增量性.Z(t)-Z(s)～N(0,t-s)(t>s).(2)獨(dú)立增量性.Z(t)-Z(s)與{Z(u)| 0 ≤u≤s}相互獨(dú)立，t>s.(3)連續(xù)增量性.Z(t)(t≥0)是關(guān)于t的連續(xù)函數(shù).

引理1[9](Ito引理) 令X(t)對于0 ≤t≤s滿足dX(t)=μ(t)dt+σ(t)dZ(t)，若f(x)是關(guān)于x的二階連續(xù)可微函數(shù)，則函數(shù)Y(t)(Y(t)=f(X(t)))的隨機(jī)微分存在，且有

其積分形式為

基于Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，在風(fēng)險(xiǎn)測度P下，假設(shè)2種股票的價(jià)格分別為S1和S2，并且服從隨機(jī)微分方程

其中：Zi(t)(i=1,2)是風(fēng)險(xiǎn)測度P下具有相關(guān)系數(shù)ρ的標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動；μi和σi分別是股票價(jià)格的期望收益率和波動率.由引理1，

那么在P*下，Si(t)滿足隨機(jī)微分方程

由引理1，

(1)

其中Wi(τ)=Wi(T)-Wi(t).

定理1在文獻(xiàn)[8]中，使用無風(fēng)險(xiǎn)利率r折現(xiàn)，設(shè)x，y滿足(1)式，則在到期日為T、執(zhí)行收益率分別為K1，K2的常參數(shù)下，二選較優(yōu)看漲期權(quán)在當(dāng)前時刻t的價(jià)格為

(2)

其中：N(a,b,ρ)是二元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積函數(shù)；

定理2在文獻(xiàn)[8]中，使用無風(fēng)險(xiǎn)利率r折現(xiàn)，設(shè)x，y滿足(1)式，則在到期日為T、執(zhí)行收益率分別為K1，K2的常參數(shù)下，二選較差看漲期權(quán)在當(dāng)前時刻t的價(jià)格為

(3)

其中：N(a,b,ρ)是二元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積函數(shù)；

2 常參數(shù)下基于收益率對數(shù)的二選期權(quán)的定價(jià)

定理3若(X,Y)是服從N(0,0,1,1,ρ)分布的二維正態(tài)隨機(jī)變量，a，b為任意實(shí)數(shù)，則

其中f(·)和N(·)分別是一元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)和累積函數(shù).

因此

即

(4)

證畢.

定理4設(shè)x,y滿足(1)式，則在得到期日為T、執(zhí)行收益率分別為K1，K2的常數(shù)參數(shù)下，二選較優(yōu)看漲期權(quán)在當(dāng)前時刻t的價(jià)格為

c(S1(t),S2(t),t)=exp(-rτ)((μx-k1)N(dk12,dk1,ρ1)+(μy-k2)·

(5)

其中：N(a,b,ρ)是二元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積函數(shù);

Q1=f(dk1)N(agm11)-ρ1f(dk12)N(agm12)；

Q2=f(dk2)N(agm21)-ρ2f(dk12)N(agm22)；

證明由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，

c(S1(t),S2(t),t)=exp(-rτ)EP*(c(S1(T),S2(T),T))=exp(-rτ)EP*((x-k1)1{x-k1>y-k2,x-k1>0}+

(y-k2)1{y-k2>x-k1,y-k2>0})=exp(-rτ)(EP*(x1{x-k1>y-k2,x-k1>0})-

EP*(k11{x-k1>y-k2,x-k1>0})+EP*(y1{y-k2>x-k1,y-k2>0})-

EP*(k21{y-k2>x-k1,y-k2>0}))=I1-I2+I3-I4，

(6)

其中

I2=k1EP*(1{x-k1>y-k2,x-k1>0})=k1EP*(1{μx+σ1W1(τ)-k1>μy+σ2W2(τ)-k2,μx+σ1W1(τ)-k1>0})=

k1EP*(1{σ2W2(τ)-σ1W1(τ)<μx-μy+k2-k1,σ1W1(τ)>k1-μx})=

k1N(dk12,dk1,ρ1).

(7)

同理

I4=k2N(-dk12,dk2,ρ2)，

(8)

I1=EP*((μx+σ1W1(τ))1{x-k1>y-k2,x-k1>0})=EP*(μx1{x-k1>y-k2,x-k1>0})+

EP*(σ1W1(τ)1{x-k1>y-k2,x-k1>0})=μxN(dk12,dk1,ρ1)+

EP*(σ1W1(τ)1{x-k1>y-k2,x-k1>0}),

其中

EP*(σ1W1(τ)1{x-k1>y-k2,x-k1>0})=EP*(σ1W1(τ)1{μx+σ1W1(τ)-k1>μy+σ2W2(τ)-k2,μx+σ1W1(τ)-k1>0})=

(9)

(10)

由(6)—(10)式可知，定理4得證.

定理5與定理4的條件相同，常參數(shù)下二選較差看漲期權(quán)在當(dāng)前時刻t的價(jià)格為

c(S1(t),S2(t),t)=exp(-rτ)((μx-k1)N(d-k12,-dk1,-ρ1)+(μy-k2)·

(11)

其中：N(a,b,ρ)是二元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積函數(shù)；

證明過程與定理4類似.

注1比較定理1和定理4可知(2)，(5)式不同，比較定理2和定理5可知(3)，(11)式不同，而文獻(xiàn)[8]中二選期權(quán)的定價(jià)公式?jīng)]有推導(dǎo)過程，通過筆者的詳細(xì)推導(dǎo)可知，定理4和定理5是正確的.

3 結(jié)語

基于收益率對數(shù)，標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動的情況下，利用測度變換和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理研究二選較優(yōu)看漲期權(quán)和二選較差看漲期權(quán)的定價(jià)，得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[8]的結(jié)果不同.對于二選期權(quán)，還有許多值得進(jìn)一步研究的問題.例如在對數(shù)跳擴(kuò)散模型下，研究利率服從擴(kuò)展的Vasicek模型時二選期權(quán)的定價(jià)；在混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下，研究資產(chǎn)價(jià)格服從跳擴(kuò)散模型時二選期權(quán)的定價(jià)等.

參考文獻(xiàn)：

[1] HULL JOHN C.Option Futures and Other Derivatives[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2011：1-34；80-96；234-266；299-308.

[2] BLACK FISCHER,SCHOLES MYRON.The Pricing of Option and Corporate Liabilities[J].The Journal of Political Economy,1973,81(3):637-654.

[3] 劉國買,鄒捷中.雙邊敲出障礙期權(quán)定價(jià)模型[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2003,20(4):31-37.

[4] 李小愛.障礙平方期權(quán)的定價(jià)[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2005,25(2):61-64.

[5] 單 嫻.美式期權(quán)定價(jià)問題研究[D].北京:中國石油大學(xué),2007：1-23.

[6] 羅慶紅,楊向群.幾何型亞式期權(quán)的定價(jià)研究[J].湖南文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,19(1):5-7;17.

[7] 孫江潔.幾種奇異期權(quán)定價(jià)問題的研究[D].合肥:合肥工業(yè)大學(xué),2009：1-3；6-9；10-16.

[8] ZHANG PETER G.Exotic Options:A Guide to Second Generation Options[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2014：354-360.

[9] KLEBANER FIMA C.Introduction to Stochastic Calculus with Applications[M].London:Imperial College Press,1998：55-88；91-120.