基于模型預測控制的電動輪車輛橫擺控制

嚴運兵，葉 剛，許小偉，張振宇

(武漢科技大學汽車與交通工程學院，湖北 武漢，430065)

為了提高汽車的操作穩(wěn)定性，車輛穩(wěn)定控制(Vehicle Stability Control, VSC)及電子穩(wěn)定程序(Electronic Stability Program, ESP)等主動安全控制系統(tǒng)得到廣泛運用。ESP與VSC將車輛的橫擺角速度作為穩(wěn)定性控制變量，通過電子控制單元控制前后、左右車輪的制動力，產生附加橫擺力矩，確保車輛行駛的橫擺及側向穩(wěn)定性。單純控制橫擺角速度在附著良好的路面條件下能夠取得較好的控制效果，但在附著系數(shù)較低的路面上無法保證操作穩(wěn)定性[1]。質心側偏角作為車輛穩(wěn)定性控制中的另一個控制變量，反映了車輛偏離期望軌跡的程度。在附著系數(shù)較低的路面上，車輪可利用的側向力很小，車身整體沿側向滑動的趨勢要強于橫擺運動[2]，所以在車輛穩(wěn)定性控制中，對質心側偏角進行控制能夠避免車輛失去側向力而偏出期望軌跡。根據(jù)輪胎的附著特性，不同路面的側向力飽和值相差很大，故質心側偏角安全邊界值也有所差異[3]。利用橫擺角速度和質心側偏角之間的耦合關系設計控制器，在附著性不同的路面上既能使橫擺角速度跟蹤駕駛員的期望，實現(xiàn)順利轉向，又能將質心側偏角限定在安全范圍內，提高主動安全控制系統(tǒng)的工作性能。

本文針對四驅電動輪汽車，結合其四輪獨立驅動/制動的特點，建立了8自由度整車模型，基于魯棒性強、在線實時性好的模型預測控制(Model Predictive Control，MPC)方法[4]設計控制方案，以根據(jù)路面附著系數(shù)不同而變化的質心側偏角動態(tài)穩(wěn)定邊界作為輸出約束、以電機飽和輸出力矩作為控制輸入約束，在保證質心側偏角穩(wěn)定的前提下，使實際橫擺角速度較好地跟蹤其理想值，以期車輛在附著性不同的路面上均能實現(xiàn)比較理想的控制效果。

1 整車及輪胎模型

1.1 8自由度整車模型

針對電動輪車輛各驅動力可單獨控制的特點，并結合載荷轉移引起的輪胎力變化對車輛操縱性及穩(wěn)定性的影響，建立一個包括縱向、側向、橫擺、側傾及4個車輪轉動的車輛模型，為控制策略的制定提供依據(jù)。控制對象的8自由度模型如圖1所示，圖中，F(xiàn)si、Fti(i=1,2,3,4)為輪胎側向力和縱向力，β為質心側偏角，γ為橫擺角速度，δ為汽車前輪轉角，vx、vy為車輛行駛速度。車輛及輪轂電機參數(shù)值如表1所示。

整車縱向、橫擺、側向、側傾以及車輪轉動的運動方程為：

(1)

(2)

圖1 8自由度車輛模型

參數(shù)數(shù)值整車質量m/kg1240質心到前后軸的距離(a,b)/m1.157,1.453整車繞z軸的轉動慣量Iz/kg·m21622懸掛質量ms/kg970整車繞側傾軸線轉動慣量Ix/kg·m2302車身側傾阻尼系數(shù)Cq/N·m·rad-12600前后軸距l(xiāng)/m2.61懸掛質量質心到側傾軸線的距離hs/m0.485前、后輪縱向剛度Ks/N·rad-153081,54526前、后輪側向剛度Kα/N·rad-141710,26681電動輪轉動慣量J/kg·m22.5車輪半徑R/m0.3075汽車輪距D/m1.463輪轂電機類型永磁直流無刷額定功率P/kW3.0最大輸出功率Pmax/kW7.2額定轉速n/r·min-1750額定電壓U/V72額定電流I/A95

(3)

(4)

(5)

1.2 Dugoff輪胎模型

仿真中采用 Dugoff 非線性輪胎模型，該模型考慮了載荷、滑移率、側偏角和路面附著系數(shù)對輪胎力的影響，能較好地描述輪胎的非線性特性，其表達式如下：

(6)

2 模型預測控制

2.1 模型預測控制基本原理

本文基于MPC設計采用直接橫擺力矩控制的上層運動跟蹤控制器，在滿足跟隨車輛理想響應及質心側偏角安全約束的條件下，確定下層控制器的控制輸入，即附加橫擺力矩。

圖2 模型預測控制原理示意圖

2.2 預測模型

預測控制是一種基于模型的控制算法，其預測模型具有展示系統(tǒng)未來動態(tài)行為的功能，可以根據(jù)歷史信息和假設的未來輸入預測出車輛的未來狀態(tài)或輸出，傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程都可以作為預測模型[5-6]。本文在設計預測模型時，車輛被簡化成以狀態(tài)空間形式表述的2自由度模型，該模型能夠預測出有附加橫擺力矩輸入時車輛的未來運動狀態(tài)。鑒于質心側偏角β和橫擺角速度γ與車輛穩(wěn)定性的關系最為密切，如果把β和γ作為狀態(tài)變量、汽車的前輪轉角δ作為輸入，則暫不考慮附加橫擺力矩輸入的汽車線性2自由度操縱模型可以用下列狀態(tài)方程描述：

(7)

在預測算法中，產生的附加橫擺力矩記為Ma，并將其作為控制輸入，則式(7)可改寫成

(8)

(9)

3 模型預測控制器設計

3.1 控制輸入和輸出約束

在車輛轉向過程中，當路面附著系數(shù)較低或縱向力需求較大時，輪胎的側向力趨于飽和，提供的反力無法克服車輛在轉向過程中的離心力，車輛可能前軸側滑，偏離期望軌跡，或是后軸側滑急轉甩尾，甚至還會導致側翻等不可控的局面。本文采用質心側偏角控制策略，通過限制質心側偏角的大小，使輪胎側向力不超過飽和邊界范圍，避免失穩(wěn)狀態(tài)發(fā)生[7]。

由于不同的路面上車輪的側向力飽和值以及質心側偏角的安全區(qū)間相差很大,因此本文采用動態(tài)質心控制準則設計模型預測控制器，在滿足|β|≤arctan(0.02μg)[1]的控制輸出約束的同時，使車輛的橫擺角速度跟蹤理想值，增強控制器對不同路面的適應能力。

2自由度汽車動力學模型能很好地反映汽車的運動狀態(tài)，常以穩(wěn)態(tài)下前輪轉向車輛的橫擺角速度作為理想值，其計算公式為[8]：

(10)

電機最大輸出力矩不是定值，取決于電機的供電電壓及轉速，由于控制器作用時間內電壓的變化很小，可認為電機的最大輸出力矩只與轉速相關。通過查詢電機的外特性曲線圖，可知當前時刻驅動電機的最大輸出力矩[9]，記為Tmax。結合車輛相關參數(shù)及一定的力矩分配方法，可得出當前時刻驅動系統(tǒng)能提供的最大附加橫擺力矩：

(11)

式中：f為車輛行駛中的各類阻力之和。因此系統(tǒng)的控制輸入約束為：

u(k+i)≤umax(k+i)=Ma,max(k+i),

i=1,…,M

(12)

3.2 控制流程

在車輛行駛過程中，由于路面因素或車輛自身原因導致其運動狀態(tài)與期望狀態(tài)有所差別時，通過控制驅動電機的輸出力矩來獲得相應的橫擺力矩進而調整汽車的運行狀態(tài)，使車輛按照期望的軌跡行駛，其控制流程如圖3所示。2自由度模型通過采集前輪轉角、車速等信息，計算出理想橫擺角速度γd作為控制器的參考輸入，將安全的質心側偏角作為輸出約束，結合電機模型實時計算出理想的附加橫擺力矩，橫擺力矩分配模塊計算出每個車輪需要施加的驅動力或制動力。

將式(9)以采樣周期Δt為步長進行離散化：

圖3 控制流程

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

y(k)=Cx(k)

(13)

由模型預測控制理論可知，假設從k時刻起，附加的橫擺力矩Ma發(fā)生M步變化，然后保持不變，根據(jù)式(13)可以預測出，在Ma(k+1)、Ma(k+2)、…、Ma(k+M)作用下，P(P≥M)個時刻的系統(tǒng)輸出為

y(k)=Fyx(k)+Gyu(k)

(14)

3.3 滾動優(yōu)化

因為車輛直接橫擺力矩的作用是使實際橫擺力矩在未來P個時刻的預測值y(k+i)盡可能地接近給定的期望值w(k+i)，i=1,…,P，同時使控制輸入盡可能小，因此可以用二次型寫出性能指標的向量形式：

(15)

式中：w(k)=[w(k+1),…,w(k+P)]T是期望的橫擺角速度輸出值的向量表達形式；Qy、Ry是適當維數(shù)的輸出加權矩陣和控制加權矩陣，其中，Qy=diag(q1,q2,…,qP)，Ry=diag(r1,r2,…,rM)，q和r均為正數(shù)。

輸出加權矩陣越大，系統(tǒng)的輸出即理想橫擺角速度和實際橫擺角速度的偏差越接近0；控制加權矩陣越大，對控制輸入的抑制作用越明顯。

通過MATLAB MPC工具箱調整輸出加權矩陣控制質心側偏角在安全范圍內，使橫擺角速度能較快地跟蹤理想值。由上述分析并結合式(12)和式(13)，直接橫擺力矩控制問題可表述為：

(16)

式中：e=[1,0]；d=arctan(0.02μg)。

在有約束的情況下，預測控制需要在控制時域的每一個時刻求解形如式(16)的具有二次型性能指標且?guī)Р坏仁郊s束的優(yōu)化問題，這是一個二次規(guī)劃問題。對于這樣一個在線優(yōu)化問題，將優(yōu)化指標中的y(k)用預測模型代入，則J(k)可改寫成：

J(k)=[w(k)-Fyx0(k)]TQy[w(k)Fyx0(k)]-

2[w(k)-Fyx0(k)]TQyGyu(k)+

(17)

(18)

由于式(18)中J(k0)為k時刻的已知項，與優(yōu)化無關，可從性能指標中除去，則上式可以化成標準二次規(guī)劃問題：

(19)

根據(jù)其定義可知矩陣H≥0。如果H是半正定的，則該問題是一個凸二次規(guī)劃問題，有一個全局最小值；如果H是正定的，則其為嚴格的凸二次規(guī)劃問題，全局最小值就是唯一的。

對如式(16)所示的不等式約束二次規(guī)劃，常采用有效集(Active Set)方法求解[10]。此時的解記U(k)=x=[u(k+1),u(k+2),…,u(k+M)]，根據(jù)模型預測控制的基本原理，將這一系列解的第一個元素u(k+1)應用到車輛控制中。

3.4 直接橫擺力矩的實現(xiàn)方法

為了以較小的驅動力矩變化來獲得較理想的直接橫擺力矩，同時保證總的縱向驅動力恒定，本文采取的控制方法是：將一側前后車輪的驅動力減小一定值，另一側的前后輪則增加相同大小的驅動力。當縱向驅動力沒有較大變化時，可以認為在預測時域內縱向車速是恒定不變的。每個驅動輪增加或減小的驅動力矩計算公式為：

(20)

4 仿真與結果分析

為驗證本文所提方法的控制效果，設置兩種仿真工況：①良好路面(附著系數(shù)為0.85)，車輛高速(110 km/h)行駛；②濕滑路面(附著系數(shù)為0.3)，車輛中低速(40 km/h)行駛。采用Simulink搭建8-DOF汽車模型，對前輪分別施加階躍輸入和正弦輸入，仿真得出車輛質心側偏角、橫擺角速度的時間響應曲線以及車輛的行駛軌跡圖。

4.1 良好路面仿真分析

汽車在良好路面上以110 km/h的速度勻速行駛，在第10 s時分別對前輪施加5.73°階躍輸入和幅值為10°、周期為4 s的正弦輸入，仿真結果見圖4?？梢钥闯?，在良好路面上高速行駛并且進行緊急大轉角避讓障礙物或是緊急換道操作時，無論是否對橫擺力矩進行控制，車輛都能夠完成相應的操作。對前輪施加階躍輸入時，兩種車輛的橫擺角速度的超調量均較大，但有MPC控制車輛的橫擺角速度很快趨于穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)偏差較小，且質心側偏角得到了很好的抑制，沒有超出安全范圍，從車輛行駛軌跡中可知此時其轉彎半徑有所增大；對前輪施加正弦輸入時，有MPC控制車輛的橫擺角速度能較好地跟蹤理想值，質心側偏角波動較小，沒有超出安全范圍，能夠按照期望的路徑完成變道操作，轉向更為穩(wěn)定、迅速，車體側向擺動及側向偏移量小，而未控制車輛的質心側偏角明顯超過安全閾值。

(a)階躍輸入

(b)正弦輸入

圖4良好路面上的仿真結果

Fig.4Simulationresultsontheroadwithhighadhesioncoefficient

4.2 濕滑路面仿真分析

汽車在濕滑路面(附著系數(shù)為0.3)上以40 km/h勻速行駛，在第10 s時分別對前輪施加11.4°階躍輸入和幅值為10°、周期為4 s的正弦輸入，仿真結果見圖5?？梢钥闯?，在濕滑路面上，由于路面附著系數(shù)較小，輪胎側向力已趨于飽和，在兩種輸入情況下，未控制車輛的質心側偏角都出現(xiàn)了較大波動并超過其安全閾值，表現(xiàn)為車輛的側向不可控位移急劇增大，車輛的橫擺角速度劇烈波動，無法跟蹤理想值，車輛可操縱性很差。而MPC控制器能夠減小車輛質心側偏角，使其較快趨于穩(wěn)定，基本處于安全范圍內，而且車輛橫擺角速度也能很好地跟蹤理想值。從車輛行駛軌跡來看，有MPC控制的車輛在前輪階躍輸入時能夠減小車輛的轉彎半徑，在前輪正弦輸入時能夠減小側向滑移，保證車輛行駛軌跡基本符合預期。

(a)階躍輸入

(b)正弦輸入

圖5濕滑路面上的仿真結果

Fig.5Simulationresultsontheroadwithlowadhesioncoefficient

5 結語

四輪轂獨立驅動車輛為直接橫擺力矩控制的實現(xiàn)提供了比集中式驅動更加多樣而直接的控制方式。本文采用模型預測控制算法，以根據(jù)輪轂電機的最大輸出力矩計算得到的附加橫擺力矩作為控制輸入約束，以根據(jù)不同路面性質得到的質心側偏角安全閾值作為輸出約束，在此前提下保證車輛的橫擺角速度跟蹤理想值，然后將在線計算得到的附加橫擺力矩通過特定方式分配給驅動電機。這種控制策略能夠兼顧多種工況下車輛的穩(wěn)定性和可操縱性，使其轉向平穩(wěn)、迅速，車輛循跡能力得到提高。

由于本文主要研究電動輪車輛在轉向工況下的橫擺穩(wěn)定性，并不涉及舒適性和車輛緊急制動、加速的情況，因此沒有考慮車輛懸架的垂直方向動態(tài)特性，并忽略了車身的俯仰運動。所采用的Dugoff輪胎模型及8自由度整車模型反映了橫擺穩(wěn)定性控制中輪胎及車身的主要動力學和運動學特征，將其作為控制對象，在保證仿真精度的同時，能夠提高運算速度。

鑒于本文控制算法涉及大量的矩陣運算，計算量較大在一定程度上會影響控制系統(tǒng)的實時性，而且附加橫擺力矩采用的是兩側力矩大小相同、方向相反的原則進行分配的，該方法比較直接，計算方便，但不足之處是沒有考慮不同車輪之

間的差異性，沒有得到附加橫擺力矩的最佳分配方案。對有約束的MPC控制算法以及橫擺力矩的分配方式進行優(yōu)化，這有待于后續(xù)研究中解決。

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