閆起源，溫風(fēng)波

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

渦輪葉型與其端壁空間結(jié)構(gòu)是渦輪對外做功的基本單元，其結(jié)構(gòu)形狀的構(gòu)造直接對其氣動性能、傳熱冷卻等產(chǎn)生影響。由于耐高溫材料的開發(fā)和葉片冷卻技術(shù)的改進使透平進口溫度不斷提高，燃?xì)廨啓C壓比不斷提升，及焓降和葉片負(fù)荷不斷提高[1]，給渦輪性能提出了更高的要求，如功率增加、熱效率提高和熱耗率下降等。然而，在壓比和進口溫度提高的同時，透平尺寸和級數(shù)并沒有大幅度變化，這就意味著單級壓比與載荷增大，導(dǎo)致二次流損失增大，而葉型形狀對其能量損失的大小關(guān)系更顯著。所以，渦輪的造型直接關(guān)系到葉輪機械總體性能的好壞[2]。

目前葉型曲面多采用三維復(fù)雜的彎扭掠設(shè)計[3]，難以用解析式表達，采用NURBS技術(shù)研究葉型以及端壁[4]曲面的成型方法，能使設(shè)計過程更加直觀簡化，并可以通過移動NURBS曲面控制點來進行葉型及流道曲面指定部位的局部修型。

2 NURBS曲面建模

2.1 NURBS曲面建模

基于NURBS曲面成型方法建立包括上下端壁和葉身的一體化三維流道模型。研究基于三維NURBS曲面成型方法的渦輪葉片生成、局部修型以及對已有三維流道曲面的參數(shù)化擬合，并利用Matlab編制相關(guān)程序，編制的NURBS函數(shù)工具箱有曲線曲面生成、節(jié)點插入、節(jié)點消去、求n階偏導(dǎo)、控制點法向移動等功能。程序應(yīng)用的內(nèi)容有：局部大擴張（收縮）端壁、葉片彎扭掠、非軸對稱端壁，以及吸力面擴壓區(qū)反曲率[5]等典型改善葉柵流動技術(shù)的幾何建模，并通過參數(shù)化控制點自由調(diào)整局部幾何形狀。

NURBS曲面建模的重要步驟予以程序化，編制NURBS曲面建模程序，此程序利用選取的源葉型離散點（型值點）進行全局曲面插值，以使得到的NURBS曲面通過源葉型離散點，程序求得NURBS曲面的要素，控制點以及節(jié)點矢量來確定唯一確定的NURBS曲面，并利用NURBS的定義公式計算NURBS曲面上的點，求得NURBS曲面離散點，其流程，如圖1所示。

圖1 NURBS曲面建模流程Fig.1 Mdeling Process by NURBS

2.2 NURBS曲線參數(shù)計算

由上已知NURBS曲線三要素，首先，需確定曲面節(jié)點矢量數(shù)組U。弦長參數(shù)化法是對NURBS節(jié)點矢量生成的有效方法。采用弦長參數(shù)化法和通過對參數(shù)取平均值求得節(jié)點矢量的方法如下：

式中：d—總弦長；Q—型值點三位坐標(biāo)；uˉ—均勻參數(shù)化的節(jié)點矢量；k—型值點編號；n—型值點個數(shù)。則

其中：k=0，1，…，n-1

此時，弦長參數(shù)化已接近曲線的均勻參數(shù)化，但要更好反應(yīng)uˉk的分布情況，再對以上參數(shù)取平均值：u0=…=up=0，um-p=…=um=1其中：m=n+p+1

綜上，節(jié)點矢量數(shù)組U確定，其中u為U中的各個元素。

2.3 NURBS曲線型值點反算控制點

由已得節(jié)點矢量值，可以給出n個控制點為未知量的由n個矢量方程組組成的線性方程組，其中N為B樣條基函數(shù)：

n個控制點Pi是未知量，Qk與Pi均為三個坐標(biāo)分量，程序表達為元胞數(shù)組。對于每一個坐標(biāo)分量，方程組均有一系數(shù)矩陣，此方程組封閉可解。

2.4 NURBS曲面構(gòu)造

由以上兩步插值[10]得到的控制點為m列中離散點的某一列其n個離散點的NURBS曲線，基于這一基本算法，可進行NURBS曲面的構(gòu)造。

已知型值點的此時，插值得到的控制點為m列中離散點的某一列其n個離散點的NURBS曲線，基于這一基本算法n×m個數(shù)據(jù)點為 QK，1，k=1，2，…，n，l=1，2，…，m 構(gòu)造一個非有理（p，q）次B樣條曲面使其插值于這些點，即：

接著，計算出合理的值以及節(jié)點矢量U和V，計算方法為對于每個l，按照曲線插值的方法，計算參數(shù)然后通過對所有的取平均值得到，即：

其中，對每個固定的根據(jù)以上參數(shù)化方法計算。

一旦計算出節(jié)點矢量U和V可以通過以上參數(shù)化方法得到。

現(xiàn)在考慮控制點的計算，顯然式給出了n×m個線性方程組，Pi，j是未知的，但因為是張量積曲面，Pi，j可以通過一系列曲線插值得到，對固定的l，有：

上式恰好是對數(shù)據(jù)點 QK，1（k=0，1，…，n）進行曲線插值的方程，Ri，j是固定時曲面S（u，v）的等參數(shù)曲線的控制點，現(xiàn)在固定 i讓 l變化，上式就是對數(shù)據(jù)點 Ri，1，…，Ri，m進行曲線插值的方程，而 Ri，1，…，Ri，m就是我們要計算的控制點。因此求所有的控制點 Ri，j的過程為：（1）用節(jié)點矢量 U 和參數(shù)uˉk，做 m 次曲線插值：對于 l=0，1，…，m，分別構(gòu)造插值于點 Q1，1，…，Qn，1的曲線，由此得到；（2）用節(jié)點矢量V和參數(shù)vˉ1，做n次曲線插值：對于i=0，1，…，n，分別構(gòu)造插值于點 Ri，1，…，Ri，m的曲線，由此得到曲面的控制點 Ri，j。

2.5 NURBS曲面的生成

由上述過程，曲面的控制點Pi，j以及節(jié)點矢量U、V均已求得，NURBS曲面唯一確定，即可NURBS曲面的定義公式求得曲面的離散點，從而進行作圖。

NURBS曲面定義公式如下：

式中：R—非有理B樣條基函數(shù)。

3 NURBS曲面擬合方法的應(yīng)用

對編制的NURBS曲面構(gòu)型函數(shù)庫做渦輪葉型的仿真與構(gòu)型應(yīng)用示例，如圖2所示。取某高壓渦輪葉型為例，此葉型源型值點有9個橫截面，將各截面的離散點劃分為壓力面與吸力面型值點，分別構(gòu)造9個截面的壓力面與吸力面NURBS曲面，最終將壓力面與吸力面整合以得完整葉型（計算及分析均采用此葉型為例）。

本例U方向NURBS曲線與V方向NURBS曲線次數(shù)p和q均為三次，調(diào)用全局曲面插值函數(shù)。輸出構(gòu)造NURBS曲面的控制點及U、V方向節(jié)點矢量。

圖2 全葉型NURBS曲面控制點Fig.2 Control Points of Whole Blade In

由NURBS曲面控制點以及U、V方向節(jié)點矢量，根據(jù)NURBS曲面定義式（9）可計算出NURBS曲面上的點的坐標(biāo)（本例設(shè)置的坐標(biāo)點個數(shù)為10×10），由NURBS曲面坐標(biāo)點畫出葉型圖，如圖3所示。

為簡化局部流道的幾何形狀，首先假設(shè)葉片的上下端壁為兩支圓面環(huán)，此圓面環(huán)的型值點形成為兩條折線繞主軸旋轉(zhuǎn)所致。應(yīng)用NURBS曲面擬合方法得到的上下壁面控制點如下，圖4中紅色點為下壁面控制點，藍(lán)色點為上壁面控制點。圖5為生成的NURBS曲面三維坐標(biāo)點（坐標(biāo)點個數(shù)仍使用10×10）做出的圖像，如圖4、圖5所示。

圖3 全葉型NURBS曲面Fig.3 Full Profile NURBS Surface

圖4 端壁葉型控制點示意圖Fig.4 Side Wall Profile Control Points

圖5 生成端壁NURBS曲面Fig.5 Generate Side Wall of the NURBS Surface

4 結(jié)論

（1）將NURBS曲面建模的重要步驟予以程序化，編制NURBS曲面建模程序，此程序利用選取的源葉型離散點（型值點）進行全局曲面插值，得到的NURBS曲面通過源葉型離散點，求得NURBS曲面的控制點以及節(jié)點矢量來確定唯一的NURBS曲面，并利用NURBS的定義公式計算NURBS曲面上的點，可求得NURBS曲面離散點；（2）吸力面與壓力面的生成為分別擬合進行，在兩面交界處雖然達到了封閉，也可以通過對邊緣點的節(jié)點細(xì)化（增加邊緣型值點列數(shù)）使兩曲面片在數(shù)據(jù)上無限接近曲率一致，但是理論上未達到前緣尾緣二次光滑（二階可導(dǎo)）的目的；（3）對葉型值點的擬合采用插值的方法，一插值點對應(yīng)一線性方程，所以求得的控制點數(shù)量同型值點數(shù)量較多，修型效率下降。

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