王慶亮,孔祥智,吳晨

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一類具有領(lǐng)導(dǎo)者的群集運(yùn)動(dòng)分析

王慶亮,孔祥智,吳晨

江南大學(xué)理學(xué)院, 江蘇 無(wú)錫 214122

本文主要研究了多智能體系統(tǒng)中具有領(lǐng)導(dǎo)者的群集運(yùn)動(dòng)。利用李雅普洛夫穩(wěn)定性和比較定理，證明了跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者之間的耦合系數(shù)足夠大，系統(tǒng)能在任意給定的初始條件下達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)。

群集運(yùn)動(dòng); 領(lǐng)導(dǎo)者; 李雅普洛夫

智能體是指能感受到周?chē)畔⒉⒛軐?duì)自身做出相應(yīng)調(diào)整的個(gè)體。例如每只鳥(niǎo)，每條魚(yú)，每個(gè)人都是智能體。近年來(lái)，越來(lái)越多的文獻(xiàn)開(kāi)始涉及多智能體系統(tǒng)[1-5]。自然界中有很多生動(dòng)有趣的群集現(xiàn)象，例如大雁成群結(jié)隊(duì)的南飛，魚(yú)類的群游和蟻群的聚集等等，我們將此類現(xiàn)象統(tǒng)稱為群集運(yùn)動(dòng)。在這些群集運(yùn)動(dòng)中，各個(gè)智能體之間如何互相合作完成任務(wù)這一問(wèn)題吸引了來(lái)自生物學(xué)，數(shù)學(xué)，人工智能學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域?qū)W者的興趣[6-8]。1986年，Reynolds[9]提出了群集運(yùn)動(dòng)的三條規(guī)則。這三條規(guī)則分別是：（1）速度匹配；（2）聚合規(guī)則；（3）分離規(guī)則。這對(duì)以后群集運(yùn)動(dòng)的研究具有深遠(yuǎn)的指導(dǎo)意義。它通常定義為當(dāng)系統(tǒng)滿足：（1）當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，智能體之間的速度差趨于0；（2）智能體之間的位移差趨于一個(gè)常數(shù)。我們就說(shuō)智能體達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)。

Cucker和Smale考慮的是無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的情形，但在現(xiàn)實(shí)生活中，會(huì)有領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的情形。例如在2017年8月13日，深圳地鐵1號(hào)線上一名乘客因?yàn)樯习噙t到突然跑動(dòng)，帶動(dòng)整節(jié)車(chē)廂的乘客全部跑動(dòng)。這其實(shí)可以看成一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)跟隨者的群集運(yùn)動(dòng)。根據(jù)這種情形，本文建立數(shù)學(xué)模型并給出了達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)的充分條件。

1 模型描述

其中為利普西茨常數(shù)。

,=1,2,…,

其中，是耦合強(qiáng)度。

定義2.1[10]對(duì)于1≤≤，若系統(tǒng)(3)中的狀態(tài)x，v滿足：

2 帶有領(lǐng)導(dǎo)者的群集運(yùn)動(dòng)

定理3.1：若系統(tǒng)（3）中的耦合強(qiáng)度大于函數(shù)的利普西茨常數(shù)，則系統(tǒng)（3）可以達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)數(shù)列求和的性質(zhì)，我們有：

其中是一個(gè)常數(shù)。

根據(jù)（10）和（11）可知系統(tǒng)（4）達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)。

證畢。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)利用MATLAB四階龍格庫(kù)塔方法進(jìn)行仿真，舉出具體的例子來(lái)驗(yàn)證結(jié)論的正確性。本節(jié)選取八個(gè)跟隨著的多智能系統(tǒng)進(jìn)行分析。其中(0,0)=(80,12)，(1,1)=(24,19)，(2,2)=(45,16)，(3,3)=(46,15)，(4,4)=(78,7)，(5,5)=(98,8)，(6,6)=(88,14)，(7,7)=(68,10)，(8,8)=(39,9)，其中()=sin，則利普西茨常數(shù)=1。我們?nèi)?0.3。

定義兩個(gè)新的函數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)中速度和位移的動(dòng)態(tài)過(guò)程：

考慮在時(shí)間20 s內(nèi)，當(dāng)0≤0.01時(shí)，我們就認(rèn)為速度達(dá)到一致。

例1當(dāng)耦合系數(shù)=0.5時(shí)，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行仿真所得速度與位置誤差數(shù)據(jù)如下（圖1）。

圖 1 誤差數(shù)據(jù)

函數(shù)的利普西茨常數(shù)是1，當(dāng)=0.5，也就是<,沒(méi)有滿足我們定理中的條件。從MATLAB仿真中（圖1 (a)）可以看出，速度誤差在20 s內(nèi)沒(méi)有趨于0，即沒(méi)有達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)。

例2耦合系數(shù)=1時(shí)，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行仿真所得速度與位置誤差數(shù)據(jù)如下（圖2）

圖2 誤差數(shù)據(jù)

當(dāng)=1時(shí)，即=時(shí)，由圖2(a)可以看出，系統(tǒng)最終速度差趨于0，圖2(b)位移差趨于一個(gè)常數(shù)，即系統(tǒng)達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)。并求出速度達(dá)到一致的時(shí)間為0=15.9162。

例3耦合系數(shù)=2時(shí)，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行仿真所得速度與位置誤差數(shù)據(jù)如下（圖3）

圖3 誤差數(shù)據(jù)

當(dāng)=2時(shí)，即>時(shí)，由圖3(a)可以看出，系統(tǒng)最終速度差趨于0，(b)位移差趨于一個(gè)常數(shù)，即系統(tǒng)達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)。并求出速度達(dá)到一致的時(shí)間為0=3.0366。

由例1，例2和例3的比較看出，當(dāng)耦合系數(shù)比較小，小于函數(shù)的利普西茨常數(shù)時(shí)，系統(tǒng)達(dá)不到群集運(yùn)動(dòng)。當(dāng)耦合系數(shù)大于等于利普西茨常數(shù)時(shí)，群集運(yùn)動(dòng)會(huì)出現(xiàn)，并且由上述的仿真結(jié)果可以得到，耦合系數(shù)越大，速度達(dá)到一致的時(shí)間越短。

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Analysis on a Class of Flocking Motion with a Leader

WANG Qing-liang, KONG Xiang-zhi, WU Chen

214122,

This paper mainly studied the flocking motion with a leader in multi-agent system. By using Lyapunov stability and comparison theorem, the article proved that the coupling coefficient between followers and leaders was large enough and the system could achieve the flocking motion under any given initial conditions.

Flocking motion; leader; Lyapunov

TP273

A

1000-2324(2018)03-0547-04

2017-03-10

2017-04-02

王慶亮(1991-),男,碩士研究生,研究領(lǐng)域?yàn)槟：鷶?shù). E-mail:wangqingliang91@163.com