數(shù)列前n項和的求法

（遼寧省朝陽市第一高級中學(xué) 遼寧朝陽 122000）

對于等差（比）數(shù)列可利用求和公式直接求和，對于有些數(shù)列也可以用歸納法求和。此外，對于非等差（比）數(shù)列可以考慮應(yīng)用以下方法求前項和。

一、分組求和法

當數(shù)列的每一項都能分成n個部分的和，并且相應(yīng)部分所形成的數(shù)列是等差（比）數(shù)列時，可用此方法求解。

【例題1】已知數(shù)列滿足求其前項n和

【解答】

【變式1】已知數(shù)列滿足 221-=+nn a ，求其前項n和

二、裂項相消法

數(shù)列的每一項都是分數(shù)，其中分子是常數(shù)，分母是若干個“間隔”相等的“連續(xù)”整數(shù)的和，此時可考慮用此方法。

【例題2】已知數(shù)列求其前項n和nS.

【解答】

【變式2】已知數(shù)列求其前項n和

【解答】

三、錯位相減法

數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，當求數(shù)列的前項n和 ns 時，可應(yīng)用此法求解。

【例題3】已知數(shù)列求其前項n和

兩式相減，得

【變式3】已知數(shù)列求其前項n和

【解答】略

四、并項求和法

數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項并在一起構(gòu)成特殊數(shù)列時，可以考慮應(yīng)用此法。

【例題4】數(shù)列前項n和滿足

【解答】略

五、疊加法

對于一些特殊的數(shù)列（自然數(shù)的若干次方構(gòu)成的數(shù)列）應(yīng)用此方法較簡便。

【例題5】已知數(shù)列求其前n項和

【解答】顯然有

令上面式中

得n個式子，然后相加得：

應(yīng)用此種方法可以求得數(shù)列的前n項和

六、通項公式 na 與其前項n和 nS的關(guān)系

【例題6】已知下面各數(shù)列的前n項和的公式。

求的通項公式

【解答】（1）當n=1時，

當2≥n時，

即

當 1=n 時，上式也成立，故通項公式為 .54-= nan

（2）當n=1時，

當2≥n時，

即

當n=1時，上式不成立，故通項公式為

七、構(gòu)造法

當給出了數(shù)列的前n項和的遞推關(guān)系式，可以考慮將構(gòu)造成一個新數(shù)列，利用求通項的方法求出

【例題7】設(shè)數(shù)列的前n項和為且滿足求數(shù)列前n項和

∴數(shù)列是以2為首項和公比的等比數(shù)列，故