《數(shù)學(xué)分析》中的形象思維和嚴(yán)格推導(dǎo)

朱朗峰

摘 要 《數(shù)學(xué)分析》是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論之一。在《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力和嚴(yán)格推導(dǎo)能力是非常重要的兩個(gè)方面。本文通過(guò)一些典型的例子，討論了形象思維和嚴(yán)格推導(dǎo)在《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)中的重要作用以及這兩者之間的緊密關(guān)系。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)分析 形象思維 嚴(yán)格推導(dǎo)

中圖分類(lèi)號(hào)：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0引言

《數(shù)學(xué)分析》作為大學(xué)數(shù)學(xué)的一門(mén)基礎(chǔ)課程，面向?qū)ο笫撬袛?shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)一年級(jí)和二年級(jí)的學(xué)生。開(kāi)設(shè)這門(mén)課程的目的在于提高這些學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)水平，幫助他們實(shí)現(xiàn)由中學(xué)數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)的跨越，為他們進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)或研究現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論奠定基礎(chǔ)。大學(xué)一二年級(jí)的學(xué)生只有先學(xué)好了《數(shù)學(xué)分析》等基礎(chǔ)課程，才能學(xué)好大學(xué)高年級(jí)的分析課程，比如《實(shí)變函數(shù)》，《復(fù)變函數(shù)》，《泛函分析》，《數(shù)學(xué)物理方程》等。更進(jìn)一步地，對(duì)有志于在數(shù)學(xué)學(xué)科繼續(xù)學(xué)習(xí)深造的學(xué)生來(lái)說(shuō)，應(yīng)該對(duì)《數(shù)學(xué)分析》等基礎(chǔ)課程有更透徹的理解和掌握。正是由于《數(shù)學(xué)分析》這門(mén)課程在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著如此重要的地位，所以任課教師在給學(xué)生講解這門(mén)課程時(shí)，僅僅將知識(shí)內(nèi)容講清楚是不夠的，更為重要的是，還要培養(yǎng)并提高學(xué)生思考問(wèn)題的能力，尤其是形象思維能力和嚴(yán)格推導(dǎo)能力。本文根據(jù)作者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并結(jié)合一些教材以及文獻(xiàn)資料中的典型例子，來(lái)談?wù)勗凇稊?shù)學(xué)分析》這門(mén)課程的教學(xué)中，形象思維和嚴(yán)格推導(dǎo)這兩個(gè)方面的重要作用以及它們之間的關(guān)系。

1形象思維有助于理解和記憶數(shù)學(xué)知識(shí)

《數(shù)學(xué)分析》這門(mén)課程中有大量的公式、定理和理論推導(dǎo)，初學(xué)者容易感覺(jué)這門(mén)課程比較復(fù)雜和枯燥。所以任課教師在教學(xué)上應(yīng)增加數(shù)學(xué)的趣味，將看似枯燥復(fù)雜的內(nèi)容與有趣簡(jiǎn)單的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)。任課教師可以通過(guò)恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用形象思維的方法給學(xué)生以幾何直觀，便于他們理解和記憶這些內(nèi)容。

例如，在《數(shù)學(xué)分析》教材中在講到數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的Abel判別法和Dirichlet判別法時(shí)，會(huì)用到如下的公式。

分部求和公式：設(shè)uk， mk （k = 1， 2， ···， n）為兩組實(shí)數(shù)，若令

Mk = m1 + m2 + … + mk （k = 1， 2， …， n），

則有如下分部求和公式成立：

u1m1 + u2m2 +… + unn-1mn-1 + unmn

= （u1 u2）M1 + （u2 u3）M2 + … + （un-1 un）Mn-1 + unMn.

對(duì)于分部求和公式的證明，我們可以用

m1 = M1， mk = Mk Mk-1 （k = 2， 3，…， n）

代入公式左邊，通過(guò)計(jì)算推出等于公式右邊。如果任課教師只講到這里就不再繼續(xù)解釋?zhuān)瑢W(xué)生可能會(huì)認(rèn)為這個(gè)公式需要死記硬背才能記住，這就沒(méi)達(dá)到較好的教學(xué)效果。事實(shí)上，認(rèn)真觀察后不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)公式可以通過(guò)形象思維的方法來(lái)做進(jìn)一步解釋。下面以n = 4為例來(lái)談?wù)勑蜗笏季S的方法。

不妨假定uk， mk均為正數(shù)且uk是嚴(yán)格遞減的。在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圖1。不難發(fā)現(xiàn)，分部求和公式的左邊等于圖1中分別以u(píng)1， u2， u3， u4為高，M1， M2 M1， M3 M2， M4 M3為底的四個(gè)矩形面積之和，從而等于圖1中整個(gè)圖形的面積，這是一種沿x軸做分割然后再求和的方式。我們可以再考慮另一種求和方式，即沿y軸做分割然后再求和來(lái)計(jì)算圖1中整個(gè)圖形的面積。不難發(fā)現(xiàn)，這樣計(jì)算出的面積等于分別以u(píng)1 u2， u2 u3， u3 u4， u4為高，M1， M2， M3， M4為底的四個(gè)矩形面積之和，正好等于分部求和公式的右邊，從而在一定程度上驗(yàn)證了分部求和公式。做了這樣的幾何直觀上的解釋后，分部求和公式就變得比較有趣和自然，從而便于理解和記憶。

圖1

通過(guò)形象思維來(lái)幫助理解記憶公式定理的例子還有很多，下面我們?cè)倥e一個(gè)例子。

在《數(shù)學(xué)分析》教材中有如下關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的定理。

零點(diǎn)定理：如果實(shí)值函數(shù)f在閉區(qū)間[a， b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)，那么在開(kāi)區(qū)間（a， b）內(nèi)至少有一點(diǎn)c使得f（c） = 0。

因f（a）與f（b）異號(hào)，不妨假定f（a） > 0， f（b） < 0。如圖2所示，函數(shù)f在直角坐標(biāo)系下的圖像可以看成是連接（a， f（a））與（b， f（b））兩點(diǎn)的連續(xù)曲線（當(dāng)然，此曲線還要滿足與任意平行于y軸的直線至多只有一個(gè)交點(diǎn)）。零點(diǎn)定理的含義可以通過(guò)形象思維的方式大致理解為：如果（a， f（a））與（b， f（b））這兩點(diǎn)被x軸隔開(kāi)，那么任意連接這兩點(diǎn)的連續(xù)曲線不可避免地要與x軸相交。

圖2

2形象思維可以對(duì)嚴(yán)格推導(dǎo)起到啟發(fā)作用

我們通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。

在《數(shù)學(xué)分析》教材中有如下判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂或者發(fā)散的方法。

積分判別法：設(shè)實(shí)值函數(shù)f為區(qū)間[1， +∞）上非負(fù)減函數(shù)，那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)f（n）與反常積分f（x）dx同時(shí)收斂或者同時(shí)發(fā)散。

任課教師在講解這個(gè)判別法的嚴(yán)格證明之前，可以先大致畫(huà)出f的圖像，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)形象思維的方式來(lái)分析一下這個(gè)判別法。如圖3所示， f的單調(diào)遞減的假定使得f的圖像在閉區(qū)間[n，n+1]圍成的圖形覆蓋了以閉區(qū)間[n，n+1]為底以f（n+1）為高的矩形，且被以閉區(qū)間[n，n+1]為底以f（n）為高的矩形覆蓋。根據(jù)積分的幾何意義，反常積分f（x）dx等于由f的圖像、直線x = 1和x軸所圍成的圖形的面積（我們把這個(gè)面積簡(jiǎn)記為S）。從圖像上可以比較容易看出，S應(yīng)該小于或等于以閉區(qū)間[n， n+1]為底以f（n）為高的矩形的面積對(duì)正整數(shù)n求和，并且S應(yīng)該大于或等于以閉區(qū)間[n， n+1]為底以f（n+1）為高的矩形的面積對(duì)正整數(shù)n求和。從而我們可以大致判斷出正項(xiàng)級(jí)數(shù)f（n）和反常積分f（x）dx是同時(shí)收斂的或者同時(shí)發(fā)散的。

圖3

通過(guò)上面所講的圖像上的觀察分析，我們可以相應(yīng)地寫(xiě)下如下嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明：

對(duì)任意的正整數(shù)k，定義Sk=f（x）dx且定義Tk=f（n）因?yàn)閒為非負(fù)函數(shù)，所以數(shù)列Sk和Tk均是非負(fù)遞增數(shù)列。再由反常積分收斂和無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的定義以及數(shù)列的單調(diào)有界定理可知：反常積分f（x）dx收斂等價(jià)于數(shù)列Sk有界，正項(xiàng)級(jí)數(shù)f（n）收斂等價(jià)于數(shù)列Tk有界。又因?yàn)閒為減函數(shù)，所以對(duì)任意正整數(shù)n有

f（x）dxf（n+1）dx=f（n+1），

f（x）dx≤f（n）dx=f（n）。

由上面兩個(gè)不等式對(duì)n = 1， 2， …， k求和可得，對(duì)任意的正整數(shù)k有

Tk+1f（1）≤Sk≤Tk

所以數(shù)列Sk與Tk同時(shí)有界或同時(shí)無(wú)界，從而嚴(yán)格證明了積分判別法。

上述嚴(yán)格推導(dǎo)正是通過(guò)觀察圖像受到啟發(fā)而得到的，是形象思維的嚴(yán)格數(shù)學(xué)化。

3嚴(yán)格推導(dǎo)往往用于正面論證，形象思維往往用于思考反例

我們來(lái)看下面的例子。在《數(shù)學(xué)分析》教材中有如下函數(shù)列一致收斂時(shí)的性質(zhì)定理。

連續(xù)性定理：若區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)列{fn}（n為正整數(shù)）在區(qū)間I上一致收斂，則其極限函數(shù)f在I上也連續(xù)。

我們先來(lái)看看這個(gè)定理是如何通過(guò)嚴(yán)格推導(dǎo)的方式進(jìn)行論證的。它的證明可以用反證法，推導(dǎo)如下：

假設(shè)這個(gè)定理不正確，即區(qū)間I上存在一點(diǎn)x0使得極限函數(shù)f在x0點(diǎn)不連續(xù)。那么存在正數(shù)C以及區(qū)間I中的數(shù)列{xk}（k為正整數(shù)）以x0為極限，使得對(duì)任意正整數(shù)k均有

| f（xk） f（x0） | > 3C.

由于{fn}在區(qū)間I上一致收斂于f，從而存在正整數(shù)m使得對(duì)任意正整數(shù)k均有

| fm（xk） f（xk） | < C

并且有

| fm（x0） f（x0） | < C.

由上述三個(gè)不等式可推知，對(duì)任意的正整數(shù)k均有

| fm（xk） fm（x0） | > C.

由于當(dāng)k趨于+∞時(shí)xk收斂于x0，故上式與函數(shù)fm在區(qū)間I上連續(xù)矛盾，從而假設(shè)不成立，定理得證。

上述嚴(yán)格推導(dǎo)非常簡(jiǎn)潔而且切中要害，給出了定理的證明。任課教師在講解證明時(shí)需要講清定理中的條件用在哪里，比如，函數(shù)列的一致收斂性用于論證第二個(gè)和第三個(gè)不等式，函數(shù)列的連續(xù)性用于說(shuō)明第四個(gè)不等式不成立。除了講清楚定理證明之外，任課教師還應(yīng)該讓學(xué)生積極去思考定理中的條件是否是必需的。例如，可以讓學(xué)生思考這么一個(gè)問(wèn)題：將上述連續(xù)性定理中的“一致收斂”改為“收斂”后得到的命題是否成立？

我們可以通過(guò)形象思維構(gòu)造收斂但不一致收斂的例子來(lái)思考這個(gè)問(wèn)題，詳情如下：

函數(shù)列{fn}在區(qū)間I上一致收斂于f的幾何意義是當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，fn的圖像在f的圖像上下平移充分小的范圍內(nèi)。那么可以通過(guò)如下方式選取{fn}和區(qū)間I，使得{fn}在區(qū)間I上并不一致收斂于其極限函數(shù)?？梢粤領(lǐng) = [0， 1]，定義fn（x） = nx + 1于區(qū)間[0， 1/n]且定義fn（x） = 0于區(qū)間（1/n， 1]上（fn的圖像如圖4所示）。顯然{fn}是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)列，且在x = 0處收斂于1，在區(qū)間（0， 1]上收斂于0，從而{fn}在區(qū)間I上收斂于一個(gè)不連續(xù)的函數(shù)f（定義f（0） = 1且定義f（x） = 0于區(qū)間（0， 1]）。由圖4不難看出，fn的函數(shù)值在x非?？拷?時(shí)非常接近1，從而不論n多么大，fn的圖像不可能在f的圖像上下平移充分小的范圍內(nèi)，這說(shuō)明fn并非在區(qū)間I上一致收斂于f. 極限函數(shù)f的不連續(xù)性說(shuō)明，將上述連續(xù)性定理中的“一致收斂”改為“收斂”后得到的命題并不成立。

從以上討論可以看出，對(duì)于有些問(wèn)題的處理，可以比較容易地通過(guò)形象思維的方式構(gòu)造出反面的例子，從而可以加深學(xué)生對(duì)正面的結(jié)論的理解。

圖4

4嚴(yán)格推導(dǎo)在《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)和研究中起最根本的作用

從前面幾節(jié)對(duì)形象思維以及嚴(yán)格推導(dǎo)的討論中可以看出，在《數(shù)學(xué)分析》這門(mén)學(xué)科的教學(xué)和研究中，雖然形象思維提供了一些直觀理解，發(fā)揮了一些巧妙作用，但是從根本上來(lái)講，形象思維的作用是一種輔助性的，嚴(yán)格推導(dǎo)的作用才是最為根本重要的。數(shù)學(xué)理論是建立在嚴(yán)格推導(dǎo)的基礎(chǔ)之上的，我們只有進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，才能擁有步步為營(yíng)的扎實(shí)基礎(chǔ)，這樣才能學(xué)得深、走得遠(yuǎn)。在本節(jié)中，我們?cè)偻ㄟ^(guò)一個(gè)著名的例子來(lái)強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格推導(dǎo)在《數(shù)學(xué)分析》這門(mén)學(xué)科中的重要性。

我們來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題：是否存在一個(gè)定義在實(shí)數(shù)軸上的處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的實(shí)值函數(shù)？

這個(gè)問(wèn)題若通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖像來(lái)判斷的話，往往會(huì)認(rèn)為答案是不存在。在研究和發(fā)展《數(shù)學(xué)分析》的理論的歷史上，曾經(jīng)有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為除了少數(shù)點(diǎn)外，一個(gè)定義在實(shí)數(shù)軸上的連續(xù)實(shí)值函數(shù)的圖像在大多數(shù)點(diǎn)處都應(yīng)該有切線（從而這個(gè)函數(shù)在大多數(shù)點(diǎn)可導(dǎo)）。實(shí)際上，這種基于圖像直觀的形象思維的判斷是不正確的。在1872年，數(shù)學(xué)家Weierstrass構(gòu)造了一個(gè)定義在實(shí)數(shù)軸上的實(shí)值函數(shù)，并證明了這個(gè)函數(shù)處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)。他構(gòu)造的函數(shù)是

f（x）=ancos（bn x），

其中假定b為奇數(shù)且

01+

在1916年，數(shù)學(xué)家Hardy改進(jìn)了這個(gè)例子中對(duì)a與b的限制條件，只需要假定

0

即可，其中不需要b是整數(shù)。這個(gè)例子很好地說(shuō)明了形象思維的局限性以及嚴(yán)格推導(dǎo)的重要性。對(duì)這個(gè)例子的嚴(yán)格推導(dǎo)證明有興趣的讀者可以讀讀參考文獻(xiàn)[4]。

5結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，形象思維和嚴(yán)格推導(dǎo)在《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)中都有著重要作用并且在一定程度上是緊密相連的。形象思維具有簡(jiǎn)潔性、啟發(fā)性和輔助性，在《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)中不可忽視，而嚴(yán)格推導(dǎo)具有系統(tǒng)性、嚴(yán)密性和深入性，在《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)中起最根本的作用。因此，任課教師在教學(xué)中一方面要注重培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)格推導(dǎo)能力，另一方面要讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用形象思維來(lái)輔助嚴(yán)格推導(dǎo)，從而才能達(dá)到較好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析（第二版）[M].北京：高等教育出社，2004.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4] Hardy，G.H.Weierstrasss non-differentiable function [J]. Transactions of the American Mathematical Society， 1916， 17（03）： 301-325.