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      “數(shù)形結(jié)合”在一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式中的應(yīng)用

      2018-06-09 08:27:44黃慧姬
      關(guān)鍵詞:摩托車數(shù)形結(jié)合圖象

      ◎黃慧姬

      一、“數(shù)形結(jié)合”的內(nèi)涵及重要性

      “數(shù)形結(jié)合”是一個重要的數(shù)學(xué)思想方法,它應(yīng)用大致分為兩種情形:(1)“以數(shù)解形”借助于數(shù)的精確性、規(guī)范性、嚴(yán)密性來闡明形的一些屬性(2)“以形助數(shù)”借助形的直觀性、生動性來闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系。所謂數(shù)形結(jié)合,就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。

      我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚就說過:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休。”道出了“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性及重大意義?!皵?shù)形結(jié)合”既是一種重要的數(shù)學(xué)思想也是一種常用的數(shù)學(xué)方法。數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中有著重要的指導(dǎo)意義,這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換,相互滲透,不僅可以使一些題目化繁為簡、化難為易、化抽象為直觀,同時(shí)還可以開拓解題思路、提高解題能力,為解決數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑。又特別是對抽象的、復(fù)雜的函數(shù)問題,一定要學(xué)會用“數(shù)形結(jié)合”的思想來解決。

      二、“數(shù)形結(jié)合”在一次函數(shù)與一元一次方程的應(yīng)用

      1.一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系 一次函數(shù)與一元一次方程有著密切的聯(lián)系。求一元一次方程kx+b=0(k,b是常數(shù),k≠0)的解,從“數(shù)”的方面看:轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)就是求函數(shù)y=kx+b,當(dāng)y=0時(shí),X的值;從“形”的方面看:就是求直線y=kx+b與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

      可是數(shù)學(xué)概念的形成是很抽象的、很難理解的,又特別是對于剛剛接觸函數(shù)內(nèi)容的初中學(xué)生來說,像以上的概念根本無法理解。所以作為老師的我們就應(yīng)該尋找方法把抽象的問題直觀化、把復(fù)雜的問題簡單化,其中“數(shù)形結(jié)合”的方法就是一種很不錯的選擇。

      例如:我通過以下問題的設(shè)計(jì),讓學(xué)生通過問題利用“數(shù)形結(jié)合”的方法能夠真正的理解一次函數(shù)與一元一次方程之間的密切關(guān)系:

      (1)方程2x-4=0的解是

      (2)函數(shù) y=2x-4中,當(dāng) y=0時(shí),x=

      (3)畫出函數(shù)y=2x-4圖象,圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是__________:

      你有什么發(fā)現(xiàn)?

      2.“數(shù)形結(jié)合”在解題中的滲透 數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系與幾何圖形,數(shù)和形既是對立的又是統(tǒng)一的,并且在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化,綜合運(yùn)用。數(shù)量關(guān)系可以通過圖形直觀的表示出來,然后應(yīng)用幾何圖形的知識解答有關(guān)代數(shù)的問題;另一方面,有關(guān)圖形的性質(zhì)也可通過數(shù)量關(guān)系來計(jì)算和描述,從而達(dá)到利用代數(shù)的方法來解決幾何的問題。例:某種摩托車的油箱最多可儲油10升,加滿后,油箱中的剩油量y(升)?與摩托車行駛路程x(千米)之間的關(guān)系式如圖所示。

      根據(jù)圖象所提供的信息,回答下列問題:

      (1)一箱汽油可供摩托車行駛多少千米?

      (2)摩托車每行駛100千米消耗多少升汽油?

      (3)油箱中的剩余油量小于1升時(shí),摩托車將自動報(bào)警,行駛多少千米后,摩托車將自動報(bào)警。

      三、“數(shù)形結(jié)合”在一次函數(shù)與一元一次不等式的應(yīng)用

      1.一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系 求ax+b>0(或<0)(a,b是常數(shù),a≠0)的解集,從“數(shù)”的方面看:轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)就是函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值大于0(或小于0)時(shí)x的取值范圍;從“形”的方面看:直線y=ax+b在X軸上方(或下方)時(shí)自變量的取值范圍。

      在這個內(nèi)容中,學(xué)生考試失分率很高,主要的原因是學(xué)生不會把函數(shù)關(guān)系式或函數(shù)圖象與一元一次不等式聯(lián)系起來。為了解決這個問題,我們應(yīng)該充分的利用多媒體的輔助教學(xué),制作微視頻,直觀地呈現(xiàn)教學(xué)素材,讓枯燥的理論知識直觀化、形象化、生動化,訓(xùn)練學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題,從而提高學(xué)生的理解能力和思維能力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

      2.“數(shù)形結(jié)合”在解題中的滲透 例:如圖是一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象,

      (1)則關(guān)于x的不等式kx+b>0的解集為_________;

      (2)則關(guān)于x的不等式kx+b<0的解集為__________;

      (3)當(dāng)0<x≤2時(shí),y的取值范圍為 。

      分析:這個問題可以有兩種解決方法(1)從“數(shù)”的角度去解決:由圖形可以知道一次函數(shù)圖像都經(jīng)過A、B兩點(diǎn),所以可以通過A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求出一次函數(shù)的解析式,再解相關(guān)不等式的解集。但這種方法需要的計(jì)算量及時(shí)間比較大,而且對第三題的解題過程又容易出錯。(2)從“形”的角度去解決:不用計(jì)算,觀察圖形由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以直接得出所有的問題的答案,顯然第二種方法比較省時(shí)省事。但是不管是哪一種方法都必須把“數(shù)”與“形”有機(jī)結(jié)合起來才能解決問題。因此“數(shù)形結(jié)合”是一種很重要的數(shù)學(xué)思想,它滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中的每個知識點(diǎn)。但學(xué)生對于這種思想的掌握又很困難,在解題中作為數(shù)學(xué)老師要做好這種“數(shù)”與“形”關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識問題中的實(shí)質(zhì)——數(shù)學(xué)知識的精髓,不斷地去引導(dǎo)學(xué)生將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”,同時(shí)還能夠?qū)ⅰ靶巍鞭D(zhuǎn)化為“數(shù)”,并能把“數(shù)”與“形”有機(jī)的綜合起來靈活應(yīng)用,最終才能將知識轉(zhuǎn)化為自己內(nèi)化的東西,形成能力。

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