數(shù)學(xué)錯(cuò)例分析及對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的啟示

張海青，楊滄宇

（1. 唐山市第十二中學(xué) 數(shù)學(xué)教研室，河北 唐山 063000；2. 唐山市第三十五中學(xué) 數(shù)學(xué)教研室，河北 唐山 063000）

在日常教學(xué)中，學(xué)生作業(yè)出錯(cuò)是不可避免的，而在考試中更是如此。在評(píng)卷過程中，收集、整理錯(cuò)例，可以了解學(xué)生的真實(shí)思維，不斷積累的錯(cuò)例，形成豐富的教學(xué)資源，啟發(fā)教師不斷探索更加高效教學(xué)方式。筆者參與了 2017年唐山市中考閱卷工作，在此就其中一道綜合解答題論述錯(cuò)例對(duì)于教學(xué)的指導(dǎo)意義。

1 試題呈現(xiàn)

1.1 試題

（2017，河北中考，第25題）平面內(nèi)，如圖 1，在□ABCD 中，AB＝10，AD＝15，tanA=3/4。點(diǎn)P為AD邊上任意一點(diǎn)，連接PB，將PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ。

圖1 2017年河北中考第25題圖

（1）當(dāng)∠DPQ＝10°時(shí)，求∠APB的大??；

（2）當(dāng) tan∠ABP：tanA＝3：2 時(shí)，求點(diǎn)Q與點(diǎn)B間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；

（3）若點(diǎn)Q恰好落在□ABCD的邊所在的直線上，直接寫出PB旋轉(zhuǎn)到PQ所掃過的面積（結(jié)果保留π）。

1.2 試題參考答案

（1）當(dāng)點(diǎn)Q與B在PD異側(cè)時(shí)，

由∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90°，得

∠BPD＝80°

∴∠APB＝180°－∠BPD＝100°。

當(dāng)點(diǎn)Q與B在PD同側(cè)時(shí)，

∠APB＝180°－∠BPQ－∠DPQ＝80°

∴∠APB是 80°或 100°．

圖2 第1問參考答案用圖

（2）解法1

如圖 3，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，連接BQ。

∴AH：HB＝3：2

圖3 第2問參考答案用圖

而AB＝10，∴AH＝6，HB＝4．

在RtΔPHA中，PH＝AH·tanA＝8．

如圖 3，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，連接PQ。

2 典型錯(cuò)解和原因分析

2.1 第一問錯(cuò)解及分析

∵∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90°

∴∠BPD＝80°

∴∠APB＝180°－∠BPD＝100°．

已知條件中對(duì)點(diǎn)P的敘述看似為靜態(tài)描述，實(shí)際上點(diǎn)P是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．考生若在審題時(shí)深刻理解“點(diǎn)P為AD邊上任意一點(diǎn)”這句話，就能夠抓住點(diǎn)P的動(dòng)點(diǎn)本質(zhì)，明確分析這是一個(gè)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)問題，知道要仔細(xì)考察數(shù)學(xué)情境中變化的整個(gè)過程，進(jìn)而就會(huì)想到利用分類討論對(duì)不同情況進(jìn)行分析。反之，學(xué)生若沒有深刻認(rèn)識(shí)到點(diǎn)P的任意性，則會(huì)直接利用題目呈現(xiàn)的圖，片面分析問題，得到如上錯(cuò)解。

2.2 第二問錯(cuò)解及分析

圖4 第2問錯(cuò)解情況1用圖

如圖 4，過點(diǎn) P作 PH⊥AB于點(diǎn) H，連接BQ。

已知中 tan∠ABP：tanA＝3：2，由于比值固定，動(dòng)態(tài)情境轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，初中數(shù)學(xué)中，只在直角三角形中應(yīng)用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決問題，因此，容易想到構(gòu)造直角三角形。利用三角函數(shù)的概念，將比例式化簡(jiǎn)，可以求得 AH：HB的比值為 3：2，然而錯(cuò)解 1中由于學(xué)生沒有動(dòng)手畫出合理的圖形，而是直接在圖1中作輔助線，而該圖中，線段AH看起來要比線段BH短一些，同時(shí)也沒有認(rèn)真計(jì)算比例式，于是將結(jié)果想當(dāng)然地寫成了“AH：HB＝2：3”。

第二問的另一種錯(cuò)解如圖5，過點(diǎn)A作AE⊥PB于點(diǎn)E，連接QE，QB．

圖5 第2問錯(cuò)解情況2用圖

錯(cuò)解2過程中學(xué)生在缺少條件的情況下判定四邊形APQE為平行四邊形，體現(xiàn)出對(duì)平行四邊形判定定理掌握得不牢靠。知識(shí)是能力的基礎(chǔ)，沒有知識(shí)的支撐，能力就是空中樓閣。數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)包括概念、定理、公式等。錯(cuò)例2呈現(xiàn)的過程可以顯示，學(xué)生從“未知”轉(zhuǎn)向“已知”的猜想是有的，也是合理的。但由于沒有掌握好平行四邊形的判定方法，“無解”思路被認(rèn)為是正確思路，導(dǎo)致失分。

3 錯(cuò)例分析對(duì)教學(xué)的啟示

3.1 教師應(yīng)了解學(xué)生真實(shí)的思維過程

有一定教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師，在為學(xué)生設(shè)計(jì)作業(yè)，或進(jìn)行考試命題時(shí)，對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤提前做出預(yù)想。然而，學(xué)生實(shí)際作業(yè)或考試出錯(cuò)的原因超出預(yù)設(shè)的情況也有不少，筆者在評(píng)卷前夕并沒有預(yù)想到上述解答題的第二問的典型錯(cuò)解。因此，教師切忌想當(dāng)然，而是要真正摸清學(xué)生的錯(cuò)解思路，這樣有助于學(xué)生全面客觀地了解學(xué)情，以便教師能及時(shí)調(diào)整課堂教學(xué)內(nèi)容和能力培養(yǎng)策略。

3.2 教師要找準(zhǔn)學(xué)生的薄弱知識(shí)點(diǎn)

如從本題第（2）問的錯(cuò)解 1中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)還不夠透徹。因此要反思關(guān)于銳角三角函數(shù)，還可以讓學(xué)生探索點(diǎn)什么？

關(guān)于銳角三角函數(shù)，教師在教學(xué)中常常強(qiáng)化的內(nèi)容是各銳角三角函數(shù)的概念和函數(shù)值的求法，掌握特殊角的三角函數(shù)值并會(huì)利用這些函數(shù)值求對(duì)應(yīng)銳角，這本無可非議，無論課程標(biāo)準(zhǔn)還是考試說明，這些內(nèi)容都是明確列為重點(diǎn)必會(huì)的內(nèi)容。但是銳角三角函數(shù)作為比較特殊的一類函數(shù)，它的函數(shù)本質(zhì)是否也應(yīng)由教師來幫助學(xué)生探究一下呢？從函數(shù)定義的角度出發(fā)來看三角函數(shù)，對(duì)于每一個(gè)確定的角度，都有唯一確定的函數(shù)值與其對(duì)應(yīng)。因此，學(xué)生就不難理解三角函數(shù)值不隨角所處圖形的形狀大小變化而變化，而是由角度決定其大小。

初中階段，我們只研究函數(shù)的一種特性——增減性。那么教師是否可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生了解銳角三角函數(shù)的增減性呢？探索過程并不復(fù)雜，教師只需在講授使用計(jì)算器求已知銳角的三角函數(shù)值時(shí)，多列幾組數(shù)據(jù)，觀察即可猜想結(jié)論，再借助“幾何畫板”軟件進(jìn)行驗(yàn)證即可。

銳角三角函數(shù)的增減性，雖不是課標(biāo)和考試說明所要求的內(nèi)容，但對(duì)銳角三角函數(shù)的探索是很有意義的，探索的過程可以加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，增減性的結(jié)論也有助于學(xué)生畫出符合題意的輔助圖形來準(zhǔn)確分析問題。如本題，當(dāng)看到條件“tan∠ABP：tanA＝3：2”，可以知道，∠ABP應(yīng)比∠A度數(shù)更大，學(xué)生應(yīng)該意識(shí)到第一個(gè)圖形不符合題意，而是利用備用圖（圖2）作輔助線分析問題，這樣可以避免出錯(cuò)。

3.3 教師要加強(qiáng)學(xué)生審題能力的培養(yǎng)

學(xué)生在考卷中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，除了反映知識(shí)上存在的漏洞，也是學(xué)生審題能力較差的體現(xiàn)。例如本題的第（1）問的錯(cuò)解，若想避免諸如此類問題發(fā)生，應(yīng)重視做題的最基本環(huán)節(jié)——審題。審題是解題的前提和基礎(chǔ)，認(rèn)真審題，能幫助學(xué)生深刻理解題意，理清條件與問題，明確條件與問題的各種聯(lián)系，使要解決的問題在頭腦中有一個(gè)比較清晰的印象，為解題作良好的鋪墊。這就要求教師在日常教學(xué)中，向?qū)W生出示問題后，給足教學(xué)等待，給學(xué)生足夠的時(shí)間審題和思考，重視對(duì)學(xué)生審題習(xí)慣與能力的培養(yǎng)，而非片面注重解題能力方面的培養(yǎng)。

3.3.1 “讀準(zhǔn)”是審題的基礎(chǔ)

不同年齡段的學(xué)生，有不同的心理特點(diǎn)。教師在審題教學(xué)中，要根據(jù)所教年齡段學(xué)生的心理特點(diǎn)，向他們明確規(guī)定讀題的方法，注意培養(yǎng)學(xué)生良好的讀題習(xí)慣。例如，在做題前，默讀已知，完整讀題，不多字，不漏字，否則可能會(huì)導(dǎo)致理解成完全相反的意思，從而得到錯(cuò)解。有些復(fù)雜的概念或反映數(shù)量關(guān)系的重點(diǎn)詞語，可以用符號(hào)批注表示出來，重點(diǎn)理解。

3.3.2 “讀懂”是審題的關(guān)鍵

初中學(xué)生在審題中，由于受到知識(shí)面狹窄的限制，難免會(huì)遇到某些不易理解的詞句，教師應(yīng)提醒學(xué)生反復(fù)讀，反復(fù)理解，必要時(shí)教師應(yīng)進(jìn)行提點(diǎn)，從而掃清理解題意過程中的障礙。日積月累，難懂的詞句逐漸減少，考試中學(xué)生能準(zhǔn)確把握題意，則可保證審題過程的有效性。

3.3.3 “讀透”是審題的保證

想要做到對(duì)題目意思的正確了解，需要我們對(duì)題目本身進(jìn)行正確全面的觀察要“讀透”題目。在實(shí)際情況下，觀察力與思維是密切聯(lián)系在一起的。在我們觀察事物的過程中，思維活動(dòng)也一直存在。像本題一樣，初中數(shù)學(xué)題目大多以圖片文字結(jié)合的形式呈現(xiàn)，所以，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，想要提高學(xué)生的審題能力，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察，提高他們的觀察能力和審題能力[1]。

3.3.4 “讀活”是審題的靈魂

在解決動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，常常是要伴隨圖形來分析問題，因此對(duì)此類題目已知條件一定要在審題中“讀活”，再結(jié)合畫圖，全面分析。例如，教學(xué)中在探究“同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半”時(shí)，要求學(xué)生要在同一個(gè)圓中畫出一個(gè)圓心角和其同弧所對(duì)的任意一個(gè)圓周角，學(xué)生畫完以后，可以分小組組內(nèi)展示自己所畫的圖，在展示過程中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生所畫的全部圖形可以歸為三類，如圖6所示。

圖6 同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半示意圖

教師應(yīng)提示學(xué)生，出現(xiàn)三種情況的根本原因就是圓周角的任意性，諸如此類“任意點(diǎn)”問題（即動(dòng)點(diǎn)問題）要在審題過程中動(dòng)筆畫圖，為后續(xù)嚴(yán)密的分析打好基礎(chǔ)。整個(gè)過程應(yīng)以學(xué)生為主體，要給學(xué)生留足夠的時(shí)間去思考、展示、討論，其間教師適時(shí)引導(dǎo)點(diǎn)撥，讓學(xué)生深刻體會(huì)遇動(dòng)點(diǎn)問題審題要靈活把握，并將之與畫圖結(jié)合。

3.4 教師要提升對(duì)學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)

本題第（2）問的錯(cuò)解1，體現(xiàn)學(xué)生在分析問題過程中，畫圖意識(shí)薄弱，畫圖能力低下。在利用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決幾何探究問題時(shí)，畫圖可能會(huì)成為分析問題的關(guān)鍵。教師針對(duì)此問題可以在日常教學(xué)中有針對(duì)性地思考解決措施，有意識(shí)、有目的、有計(jì)劃地培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力。

3.4.1 形成畫圖意識(shí)

有些題目的文字?jǐn)⑹鲋胁⑽刺岬綀D，需要在理解的基礎(chǔ)上根據(jù)需要畫圖，如在給出圖形的幾何題中作輔助線，或是沒有給出圖形的幾何題，或是需要畫出若干個(gè)不同狀態(tài)圖形的動(dòng)點(diǎn)問題，都屬于此類情況。教師應(yīng)在課堂中鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)筆畫圖，也要給學(xué)生足夠的畫圖時(shí)間。在課堂教學(xué)中，學(xué)生在解題中的每一個(gè)環(huán)節(jié)——思考、分析、計(jì)算等，都應(yīng)有充足時(shí)間的保證，通過讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐來體驗(yàn)知識(shí)生成，獲得數(shù)學(xué)的思想方法。

3.4.2 根據(jù)所學(xué)知識(shí)正確畫圖

學(xué)生應(yīng)熟知每種圖形的名稱，實(shí)現(xiàn)從文字到圖形的正確轉(zhuǎn)換。這就要求教師重視概念教學(xué)，和學(xué)生對(duì)概念的掌握，幫助學(xué)生對(duì)說法相近的概念進(jìn)行辨析，如中線和中位線、內(nèi)心和外心等。利用圖形理解概念，直觀形象，印象深刻，是一種有效的方法[2]。設(shè)計(jì)一些相關(guān)的練習(xí)，減少學(xué)生畫不出圖和畫錯(cuò)圖的情況。

3.4.3 培養(yǎng)圖感

教師在課堂教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，很少有學(xué)生把示意圖畫得相對(duì)準(zhǔn)確，主要原因是學(xué)生對(duì)角度、線段、距離大小的感知不準(zhǔn)確。不準(zhǔn)確的圖又對(duì)解題思維形成干擾，影響速度，甚至導(dǎo)致錯(cuò)誤。培養(yǎng)圖感，可以從簡(jiǎn)單圖形的位置、數(shù)量關(guān)系著手，訓(xùn)練學(xué)生目測(cè)圖形的能力和畫出一定條件的圖形的能力，兩相結(jié)合，提高圖感[3]。

3.4.4 多圖分析，全面解題

沒有給出圖形的題目，往往存在多種情況，學(xué)生需要畫出多種符合題意的圖形全面分析問題。這就要求教師引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確把握題目敘述中不確定的因素，不確定因素分類討論，從而畫出每種情況具有代表性的一般圖形，逐個(gè)分析。幾何動(dòng)點(diǎn)問題屬于此類問題的典型，教學(xué)中可以專題研究此類問題。

3.5 提醒教師切忌盲目“刷題”，違背學(xué)生心理發(fā)展規(guī)律

學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)例，常常是沒有扎實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)所致，如本題的第（2）問的錯(cuò)解2，若學(xué)生熟知平行四邊形判定方法，當(dāng)條件不足時(shí)，則會(huì)果斷放棄本錯(cuò)解思路，選擇其他途徑解題。所以，在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)重要性，不要讓學(xué)生基礎(chǔ)尚且薄弱，就盲目鉆入題海，舍本逐末。數(shù)學(xué)知識(shí)不要求學(xué)生死記硬背，但也應(yīng)要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理記憶，利用所掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，強(qiáng)化練習(xí)，加深對(duì)知識(shí)的理解。同時(shí)還應(yīng)認(rèn)識(shí)到，雄厚的知識(shí)功底是能力提高的前提，沒有知識(shí)基礎(chǔ)，提高能力如若空中樓閣。

4 結(jié)語

以學(xué)生發(fā)展為本，讀懂學(xué)生是前提，錯(cuò)例分析就是研究學(xué)生的起點(diǎn)。網(wǎng)評(píng)試卷方式為教師收集錯(cuò)例帶來便利，錯(cuò)例分析得以更加方便地進(jìn)行，只要教師能夠細(xì)心觀察、思考和積累，錯(cuò)例所蘊(yùn)藏的豐富資源就會(huì)得以挖掘，其所具備的教學(xué)價(jià)值不可估量。

[1] 曹文翰.對(duì)學(xué)生的初中數(shù)學(xué)審題能力培養(yǎng)方案的探討[J].新課程(中學(xué)),2017,(5)：211.

[2] 苗志蘭.運(yùn)用心理規(guī)律,優(yōu)化課堂教學(xué)[J].唐山師專學(xué)報(bào),2000,22(2)：48-49.

[3] 張良軍.初中數(shù)學(xué)畫圖解題能力的培養(yǎng)初探[J].教育教學(xué)論壇,2010,(17)：108-109,65.