☉江蘇省南京市竹山中學(xué) 黃秀旺

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，每年全國各地的中考試卷中都會(huì)出現(xiàn)以二次函數(shù)為背景的解答題，其綜合性較強(qiáng)，難度較高.其中，有些問題借助拋物線上一個(gè)點(diǎn)或兩個(gè)點(diǎn)，討論三角形或四邊形的形狀或圖形之間的關(guān)系，此時(shí)可以“拿掉”拋物線，似有“假二次函數(shù)問題”之嫌；還有一類問題，將拋物線的“軸對(duì)稱性”與幾何圖形（軸對(duì)稱圖形）的“軸對(duì)稱性”相結(jié)合，其構(gòu)思巧妙又不失自然與合理，將函數(shù)圖像與幾何圖形因軸對(duì)稱之緣而“牽手”，凸顯拋物線的軸對(duì)稱性，滲透數(shù)形結(jié)合、幾何直觀的數(shù)學(xué)思想方法.解決此類問題就是要將圖像的對(duì)稱性與圖形的對(duì)稱性結(jié)合起來，從對(duì)稱性的角度進(jìn)行推理，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論.

一、好題賞析

例1如圖1，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式.

（2）如圖1，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA+PC最小？若存在，求出PA+PC的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x－1）（x－4），把C（0，3）代入得a·（－1）·（－4）=3，解得，所以拋物線的解析式為，即

圖1

圖2

解：（1）略.

（2）存在.因?yàn)锳（1，0）、B（4，0），所以拋物線的對(duì)稱軸為直線

連接BC交直線于點(diǎn)P，如圖2，則PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此時(shí)PC+PA最短，因?yàn)樗訮A+PC的最小值為5.

拓展1：如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

拓展2：如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得拋物線的對(duì)稱軸平分∠CPB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

點(diǎn)評(píng)：例1中的第（2）小題是典型的“將軍飲馬”問題，通常我們需要作點(diǎn)A關(guān)于一條直線的對(duì)稱點(diǎn)；拓展1求四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值，其本質(zhì)仍是PA+PC取最小值；拓展2通過問題轉(zhuǎn)化，需作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)（即點(diǎn)A），連接CA并延長(zhǎng)，直線CA與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.從以上分析發(fā)現(xiàn)，問題解決需運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性，由于點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，所以無需作圖就可得到點(diǎn)A（或點(diǎn)B）的對(duì)稱點(diǎn)，以上拓展問題凸顯了拋物線的對(duì)稱性.

例2某水渠的橫截面呈拋物線形，水面的寬為AB（單位：m）.現(xiàn)以AB所在直線為x軸，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O.已知AB=8m.設(shè)拋物線的解析式為y=ax2－4.

（1）求a的值；

（2）C（－1，n）是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CB、BD、DC，求△BCD的面積.

分析：（1）因?yàn)锳B=8，由拋物線的對(duì)稱性可知OB=4，所以B（4，0），0=16a－4，所以（.2）把C點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，求得n的值，再根據(jù)D、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求出點(diǎn)D坐標(biāo)，然后根據(jù)求出面積即可.

圖3

圖4

解：（1）略.

（2）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，如圖4所示.

由（1）知

令x=-1，得，所以

因?yàn)辄c(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，所以

所以

所以△BCD的面積為15m2.

拓展1：求四邊形ACBD的面積.

拓展2：如果C是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AC、CB、BD、DA，那么是否存在四邊形ACBD是矩形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

拓展3：對(duì)于拋物線y=ax2+c（a≠0），它與x軸交于點(diǎn)A、B，C是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AC、CB、BD、DA，是否存在四邊形ACBD是正方形？請(qǐng)?zhí)骄縜與c之間的數(shù)量關(guān)系.

拓展4：對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），它與x軸交于點(diǎn)A、B，C是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AC、CB、BD、DA，是否存在四邊形ACBD是正方形？請(qǐng)?zhí)骄縜、b、c之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

點(diǎn)評(píng)：“點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D”為題目給出的條件，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸所在直線對(duì)稱，由此可以推測(cè)點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，從而可以判定四邊形ACBD是平行四邊形.接下來的拓展1、拓展2、拓展3進(jìn)一步討論四邊形ACBD的面積，以及它是否可以為矩形、正方形，特別是探究正方形時(shí)，將充分關(guān)注拋物線的對(duì)稱性與正方形的對(duì)稱性，并且它們有一條對(duì)稱軸是相同的.

例3如圖5，直線y=－3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y=a（x－2）2+k經(jīng)過點(diǎn)A、B，并與x軸交于另一點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P.

（1）求a，k的值；

（2）在拋物線及其對(duì)稱軸上分別取點(diǎn)M、N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，求此正方形的邊長(zhǎng).

圖5

圖6

分析：（1）因?yàn)橹本€y=－3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，所以A（1，0），B（0，3）.又拋物線y=a（x－2）2+k經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（0，3），所以解得即a，k的值分別為1，－1.（2）如圖6，當(dāng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，由NC與AC不垂直，得出AC為正方形的對(duì)角線，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性及正方形的性質(zhì)，得到M點(diǎn)與頂點(diǎn)P（2，－1）重合，N點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，此時(shí)，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，則四邊形AMCN為正方形.在Rt△AFN中，根據(jù)勾股定理即可求出正方形的邊長(zhǎng).

解：（1）略.

（2）當(dāng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，NC與AC不垂直.所以AC應(yīng)為正方形的對(duì)角線.又對(duì)稱軸x=2是AC的中垂線，所以M點(diǎn)與頂點(diǎn)P（2，－1）重合，N點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，1）.此時(shí)MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，所以四邊形AMCN為正方形.

在Rt△AFN中，即正方形的邊長(zhǎng)為

拓展1：是否存在⊙P，使得⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、C，且與y軸相切？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

點(diǎn)評(píng)：例3緊扣正方形的性質(zhì)，從點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的關(guān)系，以及AC的長(zhǎng)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性推出M點(diǎn)與N點(diǎn)之間的關(guān)系及其位置；拓展1將圓的對(duì)稱性與拋物線的對(duì)稱性結(jié)合起來，從“⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、C”結(jié)合圓的對(duì)稱性可以判斷圓心P在直線x=2上.

例4如圖7，已知二次函數(shù)y=x2－2x－1的圖像的頂點(diǎn)為A.二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像與x軸交于原點(diǎn)O及另一點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)B在函數(shù)y=x2－2x－1的圖像的對(duì)稱軸上.

（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)四邊形AOBC為菱形時(shí)，求函數(shù)y=ax2+bx的關(guān)系式.

分析：（1）因?yàn)閥=x2－2x－1=（x－1）2－2，所以頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，－2）.因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+bx的圖像與x軸交于原點(diǎn)O及另一點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)B在函數(shù)y=x2－2x－1的圖像的對(duì)稱軸上，所以二次函數(shù)y=ax2+bx的對(duì)稱軸為直線x=1，所以點(diǎn)C和點(diǎn)O關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）.（2）因?yàn)樗倪呅蜛OBC是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可以得出點(diǎn)O和點(diǎn)C關(guān)于直線AB對(duì)稱，點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于直線OC對(duì)稱，因此可求出點(diǎn)B的坐標(biāo).根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像經(jīng)過點(diǎn)B（1，2），C（2，0），將B，C代入解析式得出a、b的值，進(jìn)而得出其解析式.

解：（1）略.

圖7

（2）因?yàn)樗倪呅蜛OBC是菱形，所以點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于直線OC對(duì)稱，因此點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）.

因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+bx的圖像經(jīng)過點(diǎn)B（1，2），C（2，0），所以解得所以y=－2x2+4x.

拓展1：當(dāng)四邊形AOBC的面積為6時(shí)，求函數(shù)y=ax2+bx的關(guān)系式.

拓展2：當(dāng)以點(diǎn)A、O、B、C為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為6時(shí)，求函數(shù)y=ax2+bx的關(guān)系式.

拓展3：觀察拓展1和拓展2所求得的函數(shù)關(guān)系式，并結(jié)合其圖像的位置，請(qǐng)你再寫一個(gè)與它們有共同特點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式.

點(diǎn)評(píng)：第（2）小題，從二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像性質(zhì)可知，點(diǎn)O與點(diǎn)C關(guān)于直線AB對(duì)稱，而當(dāng)四邊形AOBC是菱形時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)C也是關(guān)于直線AB對(duì)稱的，所以函數(shù)y=ax2+bx的對(duì)稱軸就是菱形AOBC的一條對(duì)角線所在的直線，進(jìn)而確定點(diǎn)B的位置；拓展1與拓展2都關(guān)注點(diǎn)O與點(diǎn)C關(guān)于直線AB對(duì)稱，從而過點(diǎn)A、B的直線垂直O(jiān)C，而四邊形的面積可以改變，但是拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)O、C則是不變的，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)B的坐標(biāo).

二、感悟與歸納

等腰三角形、菱形、正方形、等腰梯形、圓等都是軸對(duì)稱圖形，而拋物線也具有軸對(duì)稱性，因此，有些試題可以將拋物線與幾何圖形結(jié)合起來，一方面，通過拋物線的對(duì)稱性容易獲得圖像上一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，為進(jìn)一步探究幾何圖形的形狀提供條件；另一方面，幾何圖形的對(duì)稱性也可以確定相關(guān)線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而確定圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)，所以拋物線“牽手”幾何圖形為哪般呢，原因在于它們都具有軸對(duì)稱性！ H