謝寶瑩，楊斌堂，楊詣坤，曹逢雨，易思成

（上海交通大學(xué) 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240）

振動臺在航空、航天、汽車、鐵路等領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用，通過模擬環(huán)境振動，可對各類結(jié)構(gòu)與設(shè)備進行故障診斷、可靠性測試與疲勞測試。隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，高性能振動臺的開發(fā)顯得尤為重要。電磁振動臺具有響應(yīng)靈敏，頻率范圍寬，輸出加速度大等特點，且驅(qū)動環(huán)節(jié)靠電磁能實現(xiàn)，控制方便，在寬頻測試中應(yīng)用廣泛[1]。但傳統(tǒng)電磁振動臺存在行程小、難以實現(xiàn)5 Hz以下低頻振動、波形失真嚴重等問題。如英國Ling公司的電磁振動臺，工作原理基于音圈電機，動子工作時處于懸浮狀態(tài)，因此無法實現(xiàn)5 Hz以下低頻振動且驅(qū)動位移較小。針對此問題，上海交通大學(xué)楊斌堂等[2–4]設(shè)計了一種基于共軛等徑凸輪型復(fù)合磁能往復(fù)擺驅(qū)動方法的新型電磁振動臺，可以實現(xiàn)大位移、低頻5 Hz以下及高至五千赫茲的寬頻振動輸出，對于電磁振動臺的發(fā)展具有重要意義。

開環(huán)工況下，新型電磁振動臺在低頻、大位移輸出時存在復(fù)雜的磁滯非線性問題，波形失真較大，影響了振動臺的低頻輸出性能。為降低磁滯非線性因素對系統(tǒng)的影響，現(xiàn)有文獻已提出并實驗驗證了兩種解決方案。一種是基于磁滯逆模型的前饋控制方法，以磁滯模型的精確辨識為前提。Mohammad Al Janaideh等[5]根據(jù)Prandtl-Ishlinskii模型獲得了磁滯逆模型，將其作為前饋控制器，仿真結(jié)果顯示，該方法可有效補償磁滯非線性，但磁滯建模過程復(fù)雜。另一種方法將被控系統(tǒng)分解為線性系統(tǒng)與磁滯非線性系統(tǒng)兩部分，針對不同的系統(tǒng)特性，分別設(shè)計控制器，避免了磁滯建模的復(fù)雜過程[6]。上海交通大學(xué)谷國迎[7]將磁滯非線性視為系統(tǒng)干擾，應(yīng)用魯棒控制策略進行補償。

本文采用磁滯分解方法，將周期性信號輸入下的磁滯非線性視為有界周期性干擾。針對分解得到的線性系統(tǒng)設(shè)計了PI控制器，結(jié)構(gòu)簡單，魯棒性好。針對磁滯非線性干擾，以選頻濾波器理論為基礎(chǔ)設(shè)計改進型重復(fù)控制器，避免了重復(fù)控制算法對非倍頻成分引起的誤差、干擾的放大，有效地抑制了系統(tǒng)的磁滯非線性，系統(tǒng)波形輸出的失真度減小。眾所周知，由系統(tǒng)特性引起的跟蹤誤差在周期性信號的輸入下也具有周期性，因此，改進型重復(fù)控制器可對系統(tǒng)特性與磁滯非線性引起的跟蹤誤差同時進行補償，對新型電磁振動臺的低頻波形控制具有重要意義。

1 磁滯非線性分解

包含磁滯非線性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)模型可用圖1框圖表示。

圖1 非線性系統(tǒng)模型

其中：i(t)為新型電磁振動臺的控制電流輸入；q(t)為磁滯非線性輸出，且不可通過測量直接獲得；y(t)為系統(tǒng)的位移輸出；(s)描述q(t)與y(t)之間關(guān)系的線性時不變系統(tǒng)；H(·)表征i(t)與q(t)之間的磁滯非線性關(guān)系，表達式為

根據(jù)文獻[8]，任何率相關(guān)的磁滯非線性可分解為一個線性增益α和一個周期且有界的干擾d()t，如圖2所示。即

其中：

圖2 磁滯分解模型

i是i(t) 的縮寫 ；是(t)的縮寫，i的1階導(dǎo)數(shù)，q0表示q(0)；i0表示i(0)；當x≥0時，函數(shù)sgn(x)=1，否則sgn(x)=-1；d(t)滿足

即 |d(t) |≤supt≥0|d(t) |，因此，d(t)有界。當系統(tǒng)有周期為T的信號i(t)輸入時，得到i(t+T)=i(t)，(t+T)=(t)，根據(jù)公式可得到d(t+T)=d(t)，因此，d(t)可視為系統(tǒng)周期性且有界性的干擾。

2 控制器設(shè)計

2.1 線性控制器

線性控制器的設(shè)計以能夠精確辨識系統(tǒng)的線性模型為前提。將上一章磁滯非線性分解得到的線性增益與被控系統(tǒng)線性模型合并，如圖3所示，得到磁滯分解模型的等效分解模型。

圖3 磁滯分解等效模型

新型電磁振動臺在小電流輸入時，被控系統(tǒng)可以等效為線性模型。為辨識系統(tǒng)線性模型，振動臺在開環(huán)工況下，通入0～20 Hz小幅值帶限白噪聲電流信號，實驗測量輸出位移。應(yīng)用MATLAB系統(tǒng)辨識工具箱，根據(jù)輸入電流與輸出位移，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

對比圖4實驗得到的系統(tǒng)頻響（虛線）與辨識模型的頻響（實線），0～5 Hz區(qū)間內(nèi)辨識模型精確度為84%。

系統(tǒng)對線性控制器的要求較低，因此，線性控制器C(z-1)選用最簡單的PI控制器，易于實現(xiàn)，魯棒性好，與非線性控制器互不影響。C(z-1)的離散形式為

圖4 實驗結(jié)果與系統(tǒng)辨識頻響

其中：Kp為比例增益，Ki為積分增益。

2.2 改進型重復(fù)控制器

針對磁滯非線性，本節(jié)設(shè)計了改進型重復(fù)控制器。重復(fù)控制（RC）器適用于往復(fù)運動的系統(tǒng)，因此傳統(tǒng)振動臺在周期輸入時，多采用重復(fù)控制算法。重復(fù)控制基于內(nèi)模原理[9]，將外部作用的信號發(fā)生器1(1-z-N（)N為干擾信號一個周期的采樣點數(shù)）嵌入原有閉環(huán)控制系統(tǒng)。RC控制器閉環(huán)靈敏度函數(shù)的頻響具有梳齒狀，使得各倍頻處的幅值增益大幅度降低，能夠有效抑制由倍頻引起的跟蹤誤差。

然而，RC控制器的缺點是放大非倍頻周期性干擾。針對此問題，本文應(yīng)用一種改進型重復(fù)控制器，引入選頻濾波器，僅允許周期性干擾中的倍頻成分通過重復(fù)控制器，改善了傳統(tǒng)重復(fù)控制器的缺陷。

圖5 改進型重復(fù)控制框圖

圖5 為改進型重復(fù)控制框圖。r(k)是參考輸入；e(k)是跟蹤誤差；u(k)是控制輸入；u*(k)是由C(z-1)控制器獲得的控制輸入；c(k)是由重復(fù)控制器獲得的控制輸入；d′(k)是輸入干擾；y(k)是位移輸出。

P(z-1)代表線性被控系統(tǒng)，表達式為

其中：d為系統(tǒng)延遲，Bs(z-1)包含穩(wěn)定零點，Bu(z-1)包含不穩(wěn)定零點。A(z-1)包含系統(tǒng)的所有極點。

Pn-1(z-1)是被控系統(tǒng)P(z-1)的逆模型，由零相位誤差跟蹤數(shù)字控制算法[10]獲得

其中：Buf(z-1)是Bu(z-1)的直接逆，z-nu是Bu(z-1)的最高次項，z-nc是保證Pn-1(z-1)為因果的系統(tǒng)延時項。

z-m為系統(tǒng)延時項，且z-m≈Pn-1(z-1)P(z-1)。

選擇有限脈沖響應(yīng)濾波器作為選頻濾波器Q(z-1)，表達式為

其中：λ為決定選頻濾波器性能的重要參數(shù)。以2 Hz信號為例，采樣頻率為1000 Hz，得到Q(z-1)的頻率響應(yīng)曲線，如圖6所示，可以明顯看到僅基頻與倍頻成分可以通過選頻濾波器。λ=0時，選頻濾波器不起作用，隨著λ的增大，選頻濾波器對非倍頻成分的過濾能力越好。

圖6 Q(z -1)頻率響應(yīng)

由系統(tǒng)框圖得到閉環(huán)靈敏度函數(shù)

基建檔案資料的歸檔和管理貫穿于整個項目的始終，可以真實地反映工程的質(zhì)量，一個標準、規(guī)范的基建檔案可以為整個工程項目在施工過程中提供真實可靠的依據(jù)和憑證。

僅采用C()

z-1控制器時，系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)為

對比式(11)與式(12)，可以發(fā)現(xiàn)改進型重復(fù)控制器的作用主要在于1-z-mQ項，其頻率響應(yīng)曲線如圖7所示。

λ=1時，改進重復(fù)控制器不起作用；0≤λ＜1時，可以明顯看到重復(fù)控制器對于各倍頻成分的誤差能起到很好的抑制作用。

選頻濾波器在實際應(yīng)用中，往往會引起信號的延遲[11]，本文在選頻濾波器后加入零相位低通濾波器，其表達式為

圖7 1-z-mQ()z-1頻率響應(yīng)

因此，實際應(yīng)用中Q(z-1)的表達式為

其中：z-nq是保證q(z,z-1)為因果系統(tǒng)的延時項，nq是q(z,z-1)的最高階數(shù)。

3 實驗研究

3.1 硬件系統(tǒng)

為驗證改進型重復(fù)控制器對新型電磁振動臺低頻輸出位移控制的有效性，搭建如圖8所示實驗平臺。

擴展臺用以安裝、定位被測件，通過夾具與新型電磁振動臺剛性連接。選用Keyence激光位移傳感器測量臺面位移；數(shù)據(jù)采集使用NI Compact RIO系統(tǒng)，采樣頻率為1000 Hz，上位機控制程序通過采集到的位移信號計算控制電流，并通過NI Compact RIO輸出模塊給功率放大器（NF BP4610），放大后的驅(qū)動電流作為振動臺的輸入，以實現(xiàn)電磁振動臺的低頻位移波形跟蹤控制。

3.2 跟蹤控制

針對新型電磁振動臺5 Hz以下低頻段，采用改進型重復(fù)控制器進行跟蹤控制。選取1 Hz，2 Hz，5 Hz作為跟蹤控制測試頻率，以不同頻率的正弦信號作為參考信號輸入。出于振動臺自身振動特性的限制，選取1 Hz參考信號的峰-峰值為1 mm，2 Hz與5 Hz參考信號的峰-峰值為2 mm。圖9-（a）為期望、實際、開環(huán)位移。圖9（b）對比開環(huán)與跟蹤誤差。表1為各測試頻率處，開環(huán)與跟蹤定位波形輸出均方根誤差。

圖8 實驗硬件系統(tǒng)

表1 開環(huán)與跟蹤定位波形輸出均方根誤差

開環(huán)工況下，振動臺在1 Hz與2 Hz正弦輸出時波形誤差較大，最大誤差可占幅值的53.6%。本文所設(shè)計的改進型重復(fù)控制器顯著改善了振動臺的低頻輸出性能，1 Hz測試頻率處，波形輸出均方根誤差降低了63.4%；2 Hz測試頻率處，波形輸出均方根誤差降低了57.6%；5 Hz測試頻率處，振動臺開環(huán)位移輸出與跟蹤控制輸出性能幾乎無差異，波形輸出均方根誤差僅降低了5.6%，這一點也證明了新型電磁振動臺驅(qū)動機理優(yōu)勢，即5 Hz以上單頻位移輸出性能良好，開環(huán)輸出即滿足測試要求。

4 結(jié)語

（1）本文應(yīng)用磁滯非線性分解方法，將磁滯非線性分解為線性增益與有界周期性干擾，避免了磁滯建模的復(fù)雜過程。

（2）針對新型電磁振動臺的低頻位移波形失真問題，提出一種改進型重復(fù)控制器。引入選頻濾波器，避免了RC控制器對非倍頻周期誤差、干擾的放大，改善了傳統(tǒng)RC控制器的性能。

（3）實驗結(jié)果表明，該控制器可以顯著改善振動臺的低頻輸出性能，位移跟蹤效果好，波形輸出誤差減小。

圖9 1Hz跟蹤效果

圖10 2Hz跟蹤效果

圖11 5Hz跟蹤效果

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