胡麗金，劉小華

（1.黔東南州民族職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部，貴州 凱里 556000；2.貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)550025）

Zakharov-Rubenchik 方程［1］是研究等離子體的重要方程，也是物理和數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的重要內(nèi)容。 F.Oliverira［2］證明了空間上一維Zakharov-Rubenchik方程的整體適定性，還證明了該方程孤立波解的存在性和軌道穩(wěn) 定 性 。 F.Oliverira［3］、J.Cordero［4］、李 志 斌［5］和H.Nishiyama 等［6］分別在(0 ≤ k ≤ l+1 2)空間上研究了Zakharov-Rubenchik方程的全局適定性。到目前為止，關(guān)于該方程精確解方面的研究還較少。在本文中，我們利用平面動(dòng)力系統(tǒng)理論分析了Zakharov-Rubenchik方程的有界行波解的存在性，并利用待定系數(shù)法和指數(shù)函數(shù)展開法導(dǎo)出了該方程的鐘狀解和扭狀孤波解的精確表達(dá)式。

1　解的存在性

考慮以下Zakharov-Rubenchik方程：

對(duì)方程（5）的第二式和第三式求不定積分，可以得到

將式（6）代入式（5）的第一式，令實(shí)部和虛部均為零,可得

下面借助平面動(dòng)力系統(tǒng)理論分析系統(tǒng)（10）的相圖軌線。

情形 1：當(dāng)m( c2+4 w λ) < 0時(shí)，系統(tǒng)（10）有一個(gè)平衡點(diǎn)時(shí)，P為鞍點(diǎn)；而當(dāng)1時(shí)，P為中心點(diǎn)。1

情形 2：當(dāng) m ( c2+4 w λ) > 0時(shí)，系統(tǒng)（10）存在平衡點(diǎn) P1、P2和 P3，且當(dāng)時(shí)，P為鞍點(diǎn)，1P2和P3為中心點(diǎn)；而當(dāng)時(shí)，P為中心點(diǎn)，1P2和P3為鞍點(diǎn)。

因?yàn)橄到y(tǒng)（10）是一個(gè)保守的平面動(dòng)力系統(tǒng)，所以系統(tǒng)（10）的勢(shì)能函數(shù)為

通過(guò)奇點(diǎn)分析可得系統(tǒng)（10）的相圖（圖1、圖2）。

圖1　時(shí)系統(tǒng)(10)的相圖

圖2　時(shí)系統(tǒng)（10）的相圖

從圖1和圖2可以看出，系統(tǒng)（10）同時(shí)存在兩條同宿軌線和異宿軌線，系統(tǒng)（10）的同宿軌線對(duì)應(yīng)方程（8）的鐘狀孤波解，異宿軌線對(duì)應(yīng)方程（8）的扭狀孤波解。

根據(jù)以上分析可得如下定理。

2　解的精確表達(dá)式

根據(jù)前面對(duì)方程（1）的定性分析，可假設(shè)方程（8）有如下形式

的解，其中A、B、D和r為待定系數(shù)。

對(duì)式（14）求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得

利用Maple軟件求解方程組（15），可得

由式（4）、式（6）、式（7）、式（8）、式（14）和式（16）可得以下定理。

定理2：當(dāng)λ、c、m和w 滿足 c2+4 w λ<0和m<0時(shí)，方程（2）存在兩個(gè)鐘狀孤波解，其表達(dá)式為

用類似的方法，假設(shè)方程（8）具有如下形式

的解，其中A、k和D為待定系數(shù)。

由式（14）可得

將式（17）和式（18）代入式（8），有

解方程組（19），可以得到

由式（20）可得：

根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，式（17）可以寫成

綜合以上分析及計(jì)算結(jié)果，可以得到以下定理。

其中