郜舒竹

“課堂革命”指向的是學(xué)生的“創(chuàng)新精神”和“實踐能力”的培養(yǎng)。這是時代對教育提出的要求和挑戰(zhàn)。創(chuàng)新精神和實踐能力，都不可能在被教狀態(tài)下養(yǎng)成。因此課堂革命首先需要將以“教師教的活動為主”的課堂教學(xué)，改變?yōu)椤耙詫W(xué)生學(xué)的活動為主”的課堂教學(xué)，也就是要把“教為中心”改變?yōu)椤皩W(xué)為中心”。這樣的改變可以簡稱為“變教為學(xué)”。實施變教為學(xué)教學(xué)改革，需要教師在行為與技術(shù)方面的三個轉(zhuǎn)變：教學(xué)需要“變講解為引發(fā)”；管理需要“給自由引自律”；評價需要“視錯誤為多樣”。針對這些難題，本欄目將陸續(xù)刊登相關(guān)研究。歡迎賜稿。

【摘 要】數(shù)學(xué)教學(xué)改革倡導(dǎo)“變教為學(xué)”，實現(xiàn)這種改革的一個技術(shù)型難題是為學(xué)生設(shè)計有效、有趣的學(xué)習(xí)活動。反算作為人日常工作、科學(xué)與數(shù)學(xué)研究的真實活動，需要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中親身經(jīng)歷。為了引發(fā)學(xué)生參與反算活動的興趣，可以將具有操作性和趣味性的撲克牌游戲融入到學(xué)習(xí)活動中。

【關(guān)鍵詞】反算；課堂革命；學(xué)習(xí)活動；撲克牌；混合運算

我國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)歷來有所謂概念教學(xué)、計算教學(xué)等說法，其中的計算教學(xué)通常會強(qiáng)調(diào)所謂“算法”和“算理”。遵循的模式一般是“給出算式算出結(jié)果”“怎樣算”的問題叫作算法，“為什么這樣算”的問題叫作算理。

依據(jù)對立統(tǒng)一方法論的基本觀點，對立的雙方應(yīng)當(dāng)并存，并且在適當(dāng)?shù)臈l件下可以相互轉(zhuǎn)化。因此任何過程都應(yīng)當(dāng)有與之方向相反的過程存在，針對“給出算式算出結(jié)果”的過程，就應(yīng)當(dāng)有“知道結(jié)果尋找算式”的過程。如果把前者叫作“正算”，那么后者就可以稱為“反算”。

一、“反算”是人的真實活動

“反算”一詞多用于科學(xué)和數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，對應(yīng)的英文單詞是“Inverse Operation”，其本意是“反過來算”，或者“反過來做”。比如，如果把數(shù)“2”和“4”看作兩個已知的數(shù)，那么就可以對這兩個數(shù)實施加法運算，表示為“2+4”，對應(yīng)的結(jié)果就是“6”。相對于這樣的運算，可以反過來想，還有什么樣的數(shù)以及運算可以得到結(jié)果6？也就是把“6”看作已知的數(shù)，去尋找兩個數(shù)以及相應(yīng)的運算，其結(jié)果可以等于6。經(jīng)過思考與計算，可以得到如下算式的許多結(jié)果：

3+3，10-4，3×2，12÷2

這些思考和計算就成為前面“2+4”計算過程的反算過程。反算是相對于“正算”來說的，如果把從“2+4”得到“6”的過程看作“正算”過程，那么去尋找如何能夠算出“6”的過程就成為相對于這個正算的反算過程。

這樣的過程與方法在日常工作以及生活中會經(jīng)常遇到。比如，如果已知飛機(jī)的平均時速是每小時700千米，如果飛行1.5小時，可以計算出飛行距離為：

700×1.5=1050（千米）

實際情境中，出差旅行的旅客登機(jī)后，最關(guān)心的問題往往不是飛行距離，而是“幾點到”，也就是飛行時間。因此如果把已知速度和時間求出飛行距離的過程看作正算的過程，那么去尋求飛行時間的過程就是相對于正算的反算過程。

再比如繳納個人所得稅的問題，如果一個人的月工資為4500元，那么應(yīng)繳納個人所得稅的稅率為10%。也就是每月繳納個人所得稅450元，實際獲得工資收入為4050元。這樣的計算過程是已知月工資總額和稅率，求出繳納稅款金額和實際工資收入的過程。在現(xiàn)實中人們遇到的實際問題往往是需要反過來思考的，每月發(fā)工資時，首先看到的是實際工資收入，這時自然的問題是想知道“扣了多少稅”以及“按照什么稅率扣的稅”，解決這樣問題的過程就成為前面正算的反算過程。

反算不僅是人們?nèi)粘；顒又薪?jīng)常遇到的，同時也是數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)習(xí)、研究中的常用方法。比如把指數(shù)運算看作正算，那么相應(yīng)的對數(shù)運算就是反算過程；把三角函數(shù)看作正算，對應(yīng)的反三角函數(shù)就是反算過程；等等。將反算過程融入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，讓學(xué)生親身經(jīng)歷這樣的活動，對于拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，開拓學(xué)生思維會有所裨益。

二、“24點”游戲與反算

計算在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中通常被認(rèn)為是枯燥的，如何在計算活動中引發(fā)學(xué)生的興趣，是教學(xué)研究的重要課題。將具有操作性以及趣味性的游戲融入到計算活動中，對于提高開展學(xué)習(xí)活動的興趣自然是有益的。“24點”游戲是利用撲克牌所進(jìn)行的一種智力游戲。 其規(guī)則非常簡單，把四張牌上的四個數(shù)，用加、減、乘、除算出24，與撲克牌的花色無關(guān)。比如用下面四張牌上的數(shù)字算出24。

這一問題的思考與解決過程，實質(zhì)上就是學(xué)生通常熟悉的混合運算過程的反算過程，其結(jié)果至少可以是如下三種情況：

l 1×2×3×4=24

l （1+2+3）×4=24

l （2+4）×（1+3）=24

反算過程的結(jié)果往往具有多樣性和不確定性。在實際教學(xué)中，充分利用這樣的多樣性設(shè)計學(xué)習(xí)活動，有益于溝通不同算法之間的聯(lián)系，開闊學(xué)生的思維。

三、游戲中的深入思考

游戲過程中可以引導(dǎo)學(xué)生開展“問題生問題”的思考活動。比如在解決了圖1“1，2，3，4”的情況后，可以引導(dǎo)學(xué)生思考：

l 用四個連續(xù)自然數(shù)計算24，可以怎樣算？

這其中實際上包含了“2，3，4，5”“3，4，5，6”等九個問題。受一個問題的啟發(fā)，得到了一系列新的與之相似的問題，可以叫作“問題鏈”。每種情況的答案列舉如下：

（1） 2，3，4，5

（5+3-2）×4=24，（5+4+3）×2=24

（2） 3，4，5，6

（5+3-4）×6=24

（3） 4，5，6，7

（7+5-6）×4=24，（7+5）×（6-4）=24

（4） 5，6，7，8

（7+5-8）×6=24，8×6÷（7-5）=24，（8-6）×（7+5）=24

（5） 6，7，8，9

8×6÷（9-7）=24

（6） 7，8，9，10

8×9÷（10-7）=24

（7） 8，9，10，11

經(jīng)過反復(fù)嘗試，怎么也算不來。由此有理由猜想，也許滿足要求的算法是不存在的。事實上，通過計算機(jī)檢驗，算法的確是不存在的。

（8） 9，10，11，12

（11+9）×12÷10=24，（12+11+10）-9=24

（9） 10，11，12，13

（13+12+10）-11=24

類似的，還可以研究連續(xù)奇數(shù)、連續(xù)偶數(shù)、四張相同數(shù)等有規(guī)律的四張牌。下面研究四張相同數(shù)的牌，從最簡單的開始：用四張“A”能否算出“24”？

經(jīng)過反復(fù)嘗試，怎么也找不到算法。這時，應(yīng)該思考算不出來的原因，這個原因有兩種可能性：一是算法存在，我沒找到；二是算法根本不存在。此時思考的目標(biāo)應(yīng)該體現(xiàn)在判斷哪一種可能性大上。由于經(jīng)過“反復(fù)嘗試”也沒有找到，因此有理由判斷算法不存在的可能性大。有了這樣的判斷，下面的思路就不再是“找算法”，而是“證明不存在”。

很容易看出這四張牌上的數(shù)字運用加、減、乘、除四則運算，能夠算出來的最大數(shù)是4，因此用四個“1”得出“24”的算法是不存在的。下面再看兩個用常規(guī)思路不易解決的問題：

l 用下面四張牌算出“24”。

通常人習(xí)慣的思路，一般都是“自小而大”，也就是習(xí)慣使用加法和乘法。當(dāng)“自小而大”的思路算不出的時候，千萬不要輕易下結(jié)論說“算法不存在”，可以想想“自大而小”，也就是減法和除法。

下面的兩個算法都是“自大而小”：

（8+12）×12÷10=24，12×10-12×8=24

第二種算法其實就是利用小學(xué)二年級就學(xué)過的“乘法意義”。10個“12”減去8個“12”等于2個“12”。有些問題的思考還需要用到小數(shù)或者分?jǐn)?shù)：

l 用下面四張牌算出“24”。

一般習(xí)慣的思維方式是“整數(shù)的運算”，而不習(xí)慣“分?jǐn)?shù)的運算”。這個問題如果用“整數(shù)的運算算不出來”，可以想想“分?jǐn)?shù)的運算”。把“5”看作25個“[15]”，可以得到：（5-1÷5）×5=24。

我們通常所說的“聰明”，其實就是在“習(xí)慣”的思路受阻的時候，能夠運用“不習(xí)慣”的思路去思考。

當(dāng)今的數(shù)學(xué)教學(xué)提倡“變教為學(xué)”，也就是將“以教師教的活動為中心”的課堂教學(xué)，改變?yōu)椤耙詫W(xué)生學(xué)的活動為中心”的課堂教學(xué)。這樣的教學(xué)改革所面對的一個技術(shù)型難題，就是為學(xué)生的學(xué)習(xí)設(shè)計有效同時有趣的學(xué)習(xí)活動。突破這樣的難題，需要創(chuàng)新的設(shè)計，需要實踐的檢驗，需要點滴的積累。

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）