剖析“豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)”的兩類錯(cuò)誤命題

趙和平

(浙江省象山中學(xué),浙江 寧波 315700)

在高中物理教學(xué)中常將豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題歸納為“細(xì)繩模型”和“輕桿模型”．結(jié)合此類模型,能考查學(xué)生對(duì)機(jī)械能守恒定律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律和拋體運(yùn)動(dòng)等相關(guān)知識(shí)的掌握情況,也能考查學(xué)生的建模能力、綜合分析能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題的能力.在高考要求范圍內(nèi)只要求學(xué)生掌握對(duì)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)受力情況的定量分析.這樣在長(zhǎng)此以往的針對(duì)訓(xùn)練中,師生難免形成思維定勢(shì),而沒(méi)有系統(tǒng)的推導(dǎo)這類模型中力的變化規(guī)律,導(dǎo)致對(duì)此類問(wèn)題把握不夠全面和深刻,很容易出現(xiàn)一些科學(xué)性錯(cuò)誤.筆者整理歸納后,發(fā)現(xiàn)在命制此類問(wèn)題時(shí)易出現(xiàn)以下兩種錯(cuò)誤.

1 準(zhǔn)確把握“輕桿模型”中桿對(duì)球作用力的變化規(guī)律,防范物體提早脫軌

圖1

理論分析:如圖1所示,長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿連著質(zhì)量為m的球,桿連球在豎直平面內(nèi)繞軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)在最高點(diǎn)處球的速度為v0,分析桿連球從最高處轉(zhuǎn)過(guò)θ(其中0≤θ≤2π)時(shí)桿對(duì)球的力為F.

對(duì)桿連球從A到B,由機(jī)械能守恒定律得

(1)

假定桿對(duì)球的作用力背向圓心為正,在B處對(duì)小球受力分析有

(2)

由以上(1)、(2)式可得

(3)

圖2

討論如下:

根據(jù)以上討論,對(duì)于在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題中,僅有內(nèi)側(cè)軌道有約束的情景,在命制題目時(shí),必須考慮“輕桿模型”中桿對(duì)球恰好沒(méi)有作用力的位置,預(yù)防物體不能沿預(yù)設(shè)軌道運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致科學(xué)性錯(cuò)誤．

錯(cuò)例1.(浙江省2017屆高三稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校選考題第20題)某電視臺(tái)擬推出一個(gè)水上娛樂(lè)節(jié)目,體驗(yàn)者乘坐滑水車運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以簡(jiǎn)化為如下模型．如圖3所示,滑水車從傾角為θ=53°的長(zhǎng)直軌道AC上的B點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑,到達(dá)C點(diǎn)后進(jìn)入弧形的涉水軌道CDEF,其中CDE是半徑為R=5 m,圓心角為106°的圓弧,EF為半徑為R=5 m,圓心角為53°的圓弧,此時(shí)滑水車剛好能到達(dá)F點(diǎn)．已知滑水車與體驗(yàn)者的總質(zhì)量為60 kg,B點(diǎn)到C點(diǎn)的距離為L(zhǎng)0=4 m,滑水車與軌道AC間存在摩擦,涉水軌道CDEF可視為光滑軌道,不計(jì)滑水車受到的其他阻力作用,則

圖3

(1) 求滑水車經(jīng)過(guò)CDE軌道時(shí)對(duì)D點(diǎn)的壓力;

(2) 求滑水車與軌道AC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ;

(3) 若要使得滑水車能在F點(diǎn)水平拋出,求滑水車在AC上的釋放點(diǎn)B′到C的距離L′的范圍．

錯(cuò)誤分析:該題要求水車剛好能到達(dá)F點(diǎn),意味著到達(dá)F點(diǎn)時(shí)的速度為0,又設(shè)置了圓心角為53°>48.19°.這樣水車根本不會(huì)聽(tīng)從命題者的命令,沿其設(shè)置的軌道運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn),更不會(huì)從F點(diǎn)水平拋出．筆者在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該題進(jìn)行修改,學(xué)生把圓心角改為30°,這樣水車可能聽(tīng)從命題者的暗示,可以剛好到達(dá)F點(diǎn),但第(3)問(wèn)的解答就必須考慮的是小球在E點(diǎn)的速度不能過(guò)大,恰好到達(dá)E點(diǎn)時(shí)水車和軌道無(wú)作用力．這樣修改雖然超出了浙江省的學(xué)考要求,但能很好地鍛煉學(xué)生的思維能力,提升學(xué)生思維的深刻性．

2 準(zhǔn)確掌握“輕桿模型”中桿對(duì)球作用力的豎直分力變化規(guī)律,防范軌道對(duì)地面壓力最小未知的誤判

理論分析:根據(jù)上面討論中(3)式可得桿對(duì)球的作用力的豎直分力為

Fy=Fcosθ=

(4)

對(duì)(4)討論如下:

圖4

圖5

錯(cuò)例2.(2012年豫南九校聯(lián)考)如圖5所示,豎直環(huán)A半徑為r,固定在木板B上,木板B放在水平地面上,B的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地上,B不能左右運(yùn)動(dòng),在環(huán)的最低點(diǎn)靜放有一小球C,A、B、C的質(zhì)量均為m．現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時(shí)速度v,小球會(huì)在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng),為保證小球能通過(guò)環(huán)的最高點(diǎn),且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起(不計(jì)小球與環(huán)的摩擦阻力),瞬時(shí)速度必須滿足

錯(cuò)例3.在質(zhì)量為M的電動(dòng)機(jī)飛輪上,固定著一個(gè)質(zhì)量為m的重物,重物到軸的距離為R,如圖6所示,為了使電動(dòng)機(jī)不從地面上跳起,電動(dòng)機(jī)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度不能超過(guò)

圖6