一類動(dòng)力學(xué)極值問題的幾何解法

張子云

(江蘇省蘇州第十中學(xué)校，江蘇 蘇州 215006)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)進(jìn)度往往落后于高中物理教學(xué)的需求．物理教師在講解一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候也只是重在應(yīng)用，而很少介紹數(shù)學(xué)結(jié)論的由來.這對(duì)于我們習(xí)得此數(shù)學(xué)知識(shí)不利,甚至對(duì)應(yīng)用到該數(shù)學(xué)知識(shí)的物理規(guī)律本身也會(huì)產(chǎn)生消極影響．

在解決一類動(dòng)力學(xué)極值問題時(shí),筆者發(fā)現(xiàn)當(dāng)涉及到其中有一對(duì)接觸面之間同時(shí)存在正壓力和滑動(dòng)摩擦力的多力(超過3力)求滿足一定條件的極值問題,除了可以采用代數(shù)法求解外,還可以采用幾何方法求解．

圖1

例1.如圖1所示,水平地面上靜止放有一質(zhì)量為M的物體,物體與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,用一恒力F作用在此物體上使其在水平地面上勻速運(yùn)動(dòng)的最小恒力F為多大,與水平方向夾角如何?

本題的常規(guī)解法如下.

圖2

物體受重力Mg、拉力F及水平地面的支持力FN、滑動(dòng)摩擦力Ff，見圖2．

選擇水平向右方向?yàn)閤軸正向、豎直向上為y軸正向,將拉力F分解到水平、豎直方向,由于物體做勻速運(yùn)動(dòng),因此兩方向都受力平衡．

水平方向有

Fcosθ-Ff=0，

(1)

豎直方向有

Fsinθ+FN=Mg.

(2)

同時(shí)

Ff=μFN.

(3)

聯(lián)立(1)～(3)式得到

(4)

在一次物理課上老師介紹利用三角形法則來進(jìn)行矢量運(yùn)算,對(duì)于求動(dòng)態(tài)過程中的極值很方便后,筆者在課余不僅想到能否利用三角形法則來解例1呢?在得到老師的肯定后,利用課余時(shí)間進(jìn)行了嘗試,取得了成功．

圖3

圖4

顯然,幾何解法比前面的常規(guī)方法簡(jiǎn)單,而且更直觀、更好理解.

而對(duì)于物體具有確定加速度的非平衡態(tài),類似的情況也能用幾何方法求解．

圖5

(1) 求物塊加速度的大小及到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度大?。?/p>

(2) 拉力F與斜面的夾角多大時(shí),拉力F值最小?最小值是多少?

在參考答案中,該題給出的解法也是利用三角函數(shù)極值公式,這里不再贅述．

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知，物塊加速度a=3m/s2．本文此處著重介紹第(2)小題的幾何解法．

圖6

設(shè)物塊所受斜面作用的支持力為FN、滑動(dòng)摩擦力為Ff,同時(shí)物塊受重力mg,及與水平方向成α角的拉力F作用,如圖6所示．

此處兩力同樣滿足固定的數(shù)值關(guān)系,因此先將此兩力看做一個(gè)力F′,其大小不定但方向確定．物塊受到等效力F′、重力mg、拉力F3力作用的最終合力為沿斜面向上的F合=ma．

圖7

為便于畫圖,這里用一個(gè)點(diǎn)代表物塊,將所有的力作用在該點(diǎn)上，見圖7．

圖8

接下來,此處需要考慮的問題變成了在重力mg大小方向已知、另外一個(gè)力F′方向確定大小可變,再找一個(gè)最小的拉力F,使3力合力為F合．由于F大小方向都未知,所以先考慮將重力mg和F′先合成，它們的合力一定起點(diǎn)位于F′上,終點(diǎn)為mg的終點(diǎn),記作F″．力F″與所求F(記作Fmin)的合力為F合,于是應(yīng)該將F″、Fmin首尾相連．取mg的終點(diǎn)為Fmin的起點(diǎn),過圖8中F合的終點(diǎn)作F′的平行線MN,過mg的終點(diǎn)作MN的垂線段,垂足為Q,此即為所求Fmin．將F合終點(diǎn)平移至落在Q點(diǎn)上,與F′交點(diǎn)記作P,PO即為實(shí)際的F′，如圖8所示．

從上述兩個(gè)例題可以看出,幾何法解題的優(yōu)點(diǎn)在于直觀．由此可見,在處理復(fù)雜的物理問題時(shí),抽象性往往是思維過程中的最大障礙,而通過幾何圖像將抽象問題具體化、直觀化,可以提供有效幫助．因此,在學(xué)習(xí)物理過程中,養(yǎng)成盡量畫圖、幫助思考的好習(xí)慣是很有必要的．