一類特殊的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法

周 愷，高 芳，朱立明

（池州學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，安徽 池州 247100）

常系數(shù)線性非齊次微分方程是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要內(nèi)容，許多文獻(xiàn)都討論了其求解問題[1-4].根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，求解問題轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)齊次方程的通解和非齊次方程的特解.一般教材中都利用待定系數(shù)法求方程的特解.筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生利用待定系數(shù)法求特解時，經(jīng)常會出現(xiàn)計算錯誤.因此，本文給出一類特定形式下二階常系數(shù)線性非齊次微分方程特解的巧妙計算.

對于微分方程

當(dāng) f(x)=eλxP1(x)時，其中 λ∈R，P1(x)=rx+s我們分三種情形給出相應(yīng)結(jié)論.

（1）當(dāng) λ2+pλ+q≠0 時，可設(shè)特解 y*=eλx(ax+b)，則

將 y*"，y*'，y*代入（1）中，整理可得

比較系數(shù)，可知

此時，待求特解表達(dá)式中的未知系數(shù)可由P1(x)的系數(shù)和p,q,λ唯一確定，這樣可以省去中間的求導(dǎo)計算.下面我們給出一個教材中的例子，通過兩種方法的計算，說明上面結(jié)論在具體計算中的簡潔性.

例1[5]求微分方程y"-2y'-3y=3x+1的通解.

原方程對應(yīng)的齊次方程為

它的特征方程

有兩個實根r1=-1，r2=3，

于是與所給方程對應(yīng)的齊次方程的通解為

下面求非齊次方程的特解.

解法1 由于f(x)=3x+1，所以可設(shè)特解y*=ax+b，帶入原方程得到

比較兩邊系數(shù)得到，

解法 2 設(shè)特解y*=ax+b，由于 r=3,s=1,λ=0,p=-2,q=-3，利用（2）（3）兩式可得，因此特解也為

（2）當(dāng) λ2+pλ+q=0，2λ+p≠0 時，可設(shè)特解 y*=eλxx(ax+b)，則

將 y*"，y*'，y*代入（1）中，整理可得

比較系數(shù)，可知

例2[5]求微分方程y"-5y'+6y=xe2x的通解.

原方程對應(yīng)的齊次方程為

它的特征方程

有兩個實根r1=2，r2=3，

于是與所給方程對應(yīng)的齊次方程的通解為

下面求非齊次方程的特解.

解法1 由于f(x)=xe2x，所以可設(shè)特解y*=x(ax+b)e2x，則

代入原方程得到

比較兩邊系數(shù)得到，

解法2 設(shè)特解y*=x(ax+b)e2x，由于r=1,s=0,λ=2,p=-5,q=6，利用（4）（5）兩式可得

（3）當(dāng) λ2+pλ+q=0，2λ+p=0 時，可設(shè)特解 y*=eλxx2(ax+b)，則

將 y*"，y*'，y*代入（1）中，整理可得

比較系數(shù)，可知

注：特別地在 s=0，即 f1(x)=rxeλx，當(dāng) λ 是（1）對應(yīng)的齊次方程特征方程的二重特征根時，b=0.因此，可以設(shè)特解y*=eλxx2·ax.由于不含有常數(shù)項，可以簡化特解y*的求導(dǎo)，從而使得計算過程變得簡單.筆者查閱了大部分高校選用的高等數(shù)學(xué)[5]及常微分方程[7]教材，都沒有明確指出這一點.

下面我們舉一例加以說明.

例3[6]求微分方程y"+6y'+9y=6xe-3x的通解.

原方程對應(yīng)的齊次方程為

它的特征方程

有實根r1=r2=-3，

于是與所給方程對應(yīng)的齊次方程的通解為

在教材[6]中，設(shè)特解為 y*=x2(ax+b)e-3x.由于 f(x)=6xe-3x，根據(jù)上面的注記，可設(shè)特解y*=ax3e-3x，則y*'=(-3ax3+3ax2)e-3x，y*"=(9ax3-18ax2+6ax)e-3x，

代入原方程得

所以a=1，y*=x3e-3x，故原方程的特解為