劉煬，韓飛，張國花，王志偉

(合肥工業(yè)大學(xué)，安徽 合肥 230000)

0 引言

通常將節(jié)曲線為圓形的齒輪稱為圓柱形齒輪。非圓齒輪就是節(jié)曲線為非圓形狀的齒輪。圓柱齒輪極徑隨著極角變化是固定不變的，而非圓齒輪的極徑隨極角變化而變化[1]。

根據(jù)齒輪副傳動(dòng)比的計(jì)算公式可知，圓柱形齒輪的傳動(dòng)比是恒定的。而非圓齒輪由于其節(jié)曲線上各點(diǎn)距回轉(zhuǎn)中心的距離各不相同，所以非圓齒輪傳動(dòng)的過程中，其傳動(dòng)比是變化的，當(dāng)非圓齒輪節(jié)曲線上各點(diǎn)與回轉(zhuǎn)中心之間的距離按照一定的函數(shù)關(guān)系變化時(shí)，其傳動(dòng)比也是按照一定的函數(shù)規(guī)律進(jìn)行變化的[2]。在工程實(shí)際中，非圓齒輪多用于要求傳動(dòng)比呈一定規(guī)律變化的場(chǎng)合。

1 高階變性橢圓齒輪節(jié)曲線方程

高階變性橢圓齒輪機(jī)構(gòu)是節(jié)曲線為高階變性橢圓形狀的齒輪機(jī)構(gòu)，高階變性橢圓是由普通橢圓通過變性和升階變形得來的[3]。

高階變性橢圓齒輪的節(jié)曲線極坐標(biāo)方程為：

(1)

式中:n1為高階變性橢圓齒輪中主動(dòng)輪的階數(shù)，m1為主動(dòng)輪的變性系數(shù)，由設(shè)計(jì)高階變性橢圓齒輪時(shí)所取參數(shù)確定。

假設(shè)高階變性橢圓齒輪副的中心距為a，則從動(dòng)輪的極坐標(biāo)方程為[4]：

r2=a-r1

(2)

1.1 高階變性橢圓齒輪的傳動(dòng)規(guī)律

圖1 主動(dòng)輪極徑隨極角變化規(guī)律

圖2 從動(dòng)輪極徑隨極角變化規(guī)律

根據(jù)傳動(dòng)比的計(jì)算公式可知，高階變性橢圓齒輪副的傳動(dòng)比為：

(3)

根據(jù)齒輪副中主從動(dòng)輪的極徑隨極角的變化曲線可以推得，由于主動(dòng)輪極徑隨極角先減小后增大，從動(dòng)輪的極徑隨極角先增大后減小，則由公式(3)可得，齒輪副傳動(dòng)比隨極角增大，先減小后增大，則運(yùn)用Matlab繪制傳動(dòng)比隨極角的變化規(guī)律如圖3所示。

圖3 齒輪副傳動(dòng)比變化曲線

假設(shè)主動(dòng)輪以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，將r1看作是轉(zhuǎn)角φ1的函數(shù)，則將ω2對(duì)φ1求導(dǎo)可得從動(dòng)輪的角加速度為：

(4)

對(duì)公式(4)運(yùn)用Matlab做出從動(dòng)輪關(guān)于轉(zhuǎn)角的變化曲線如圖4所示。

圖4 齒輪副從動(dòng)輪角加速度變化曲線

1.2 高階變性橢圓齒輪機(jī)構(gòu)力與力矩的傳遞

非圓齒輪受力分析如圖5所示，根據(jù)非圓齒輪副接觸力的計(jì)算公式可得，高階變性橢圓齒輪副齒面上的接觸力為：

(5)

式中：Mmp為齒輪副主動(dòng)輪上動(dòng)力的瞬時(shí)功率；Mdf為加在從動(dòng)輪上負(fù)載的瞬時(shí)功率,做負(fù)功；α12為節(jié)點(diǎn)的壓力角。

圖5 非圓齒輪受力

由于主動(dòng)輪角速度ω1為定值，則ε1為0，Jt1對(duì)φ1的導(dǎo)數(shù)為0，則：

(6)

1.3 高階變性橢圓齒輪工作過程中接觸力變化情況分析

由上節(jié)可知，當(dāng)高階變性橢圓齒輪副的主動(dòng)輪以一定的角速度ω1轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，Jt1對(duì)φ1的導(dǎo)數(shù)和ε1均為0。

齒輪副主動(dòng)輪上的主動(dòng)力矩Mmp為：

(7)

則將式(7)代入式(6)可得：

(8)

(9)

其中，r1和r2分別為非圓齒輪副在該瞬時(shí)主動(dòng)輪與從動(dòng)輪嚙合點(diǎn)處的極徑，再將ω2對(duì)極角θ進(jìn)行求導(dǎo)，可得到從動(dòng)輪的角加速度ε2：

(10)

根據(jù)公式(8)進(jìn)行分析可得，齒輪齒面上的接觸力Fn12與參數(shù)Mdf，Jt2,ε2,r2和cosα12有關(guān)，則可以根據(jù)公式來分析齒面方向接觸力Fn12的變化規(guī)律，且根據(jù)高階節(jié)曲線的基本知識(shí)可以推得。若主動(dòng)輪為n1階，則在主動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，節(jié)曲線變化n1個(gè)周期，周期與周期期間的各個(gè)參數(shù)均相同，則齒面的法向接觸力Fn12在主動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)的一個(gè)周期中將出現(xiàn)n1個(gè)峰值，則初步推斷主動(dòng)輪的階數(shù)n1與周期內(nèi)齒面法向接觸力Fn12的峰值數(shù)相同。由齒輪齒面法向接觸力的公式可知，其中參數(shù)與從動(dòng)輪階數(shù)n2無關(guān)，則初步推斷法向接觸力與從動(dòng)輪階數(shù)n2無關(guān)。下面分情況進(jìn)行齒面方向接觸力Fn12的變化規(guī)律分析及驗(yàn)證。

當(dāng)從動(dòng)輪上的阻力矩較小，導(dǎo)致當(dāng)角加速度ε2為負(fù)時(shí)Mdf+Jt2ε2<0時(shí)，齒面方向接觸力Fn12將<0，此時(shí)說明主動(dòng)輪與從動(dòng)輪脫開，法向接觸力為0。

當(dāng)從動(dòng)輪上所加的阻力矩Mdf較大，導(dǎo)致Jt2ε2小到可以忽略時(shí)，Mdf+Jt2ε2與Mdf近似相等為定值，則齒面方向接觸力Fn12的變化規(guī)律由公式的分母r2cosα12確定。此時(shí)Fn12的變化規(guī)律運(yùn)用Matlab作圖而得。

選用參數(shù)Mdf=600、Jt2=20對(duì)三階齒輪運(yùn)用Matlab繪圖，結(jié)果如圖6所示。

圖6 n1=3，n2=3時(shí),Mdf較大時(shí)Fn12的變化規(guī)律理論曲線

再以同樣類型的條件將齒輪副導(dǎo)入到Adams中進(jìn)行接觸力分析可得到曲線如圖7所示。

圖7 n1=3，n2=3時(shí),Mdf較大時(shí)Fn12的變化規(guī)律實(shí)際曲線

將理論圖像與運(yùn)用Adams進(jìn)行分析所得的實(shí)際圖像進(jìn)行比較，由于在理論圖像繪制時(shí)并未考慮重合度的問題，則導(dǎo)致實(shí)際圖像與理論圖像有一定的誤差，但是兩者圖像近似，初步證明上述Fn12的變化規(guī)律分析正確。

當(dāng)節(jié)曲線的極徑變化比較平緩時(shí)(即傳動(dòng)比最大值與最小值之比接近于1時(shí))，cosα12值的變化范圍相對(duì)較小，在計(jì)算中可以忽略，則齒面接觸力的變化主要由角加速度ε2和從動(dòng)輪的極徑r2決定。

圖8 n1=3、n2=3時(shí)，F(xiàn)n12的變化規(guī)律理論曲線

圖9 n1=3、n2=3時(shí)，F(xiàn)n12的變化規(guī)律實(shí)際曲線

與上述分析相同，由于重合度的問題導(dǎo)致Fn12的最大值位置有所不同，但是其變化規(guī)律相同，初步證明上述Fn12的變化規(guī)律分析正確。

但是當(dāng)節(jié)曲線的極徑變化劇烈(即傳動(dòng)比最大值與最小值之比較大時(shí))，cosα12值的變化范圍相對(duì)較大，此時(shí)Fn12的變化規(guī)律可根據(jù)繪圖觀察而得，而最大值出現(xiàn)的位置能夠通過求得使Fn12表達(dá)式為0的點(diǎn)而得到。

1.4 高階變性橢圓齒輪機(jī)構(gòu)接觸應(yīng)力計(jì)算公式推導(dǎo)

由上節(jié)已知，通過非圓齒輪副的實(shí)際運(yùn)行的狀況可以由公式求得齒輪副輪齒接觸面上的法向力，在求得齒輪副齒面上的法向力之后，通過赫茲理論，可以求得齒面上的接觸應(yīng)力，受力分析及計(jì)算示意如圖10所示。

由赫茲理論的公式可知，兩接觸面的接觸應(yīng)力為[5]：

(11)

圖10 赫茲理論計(jì)算公式示意圖

在高階變性橢圓齒輪中，雖然非圓齒輪在節(jié)曲線上各處齒形互不相同，但是運(yùn)用圓柱齒輪的齒形來近似計(jì)算相互接觸處的綜合曲率半徑，則由公式有：

(12)

其中，i為傳動(dòng)比，α為齒形壓力角，一般為20°。d1為小齒輪的分度圓半徑，對(duì)于非圓齒輪副來說，d1為嚙合點(diǎn)處的曲率半徑的2倍。

2 高階變性橢圓齒輪接觸應(yīng)力分析

上節(jié)通過Matlab進(jìn)行了輪齒齒面接觸力的變化曲線的模擬，得出了非圓齒輪副運(yùn)轉(zhuǎn)過程中齒輪齒面的接觸力的變化規(guī)律，下面運(yùn)用Ansys進(jìn)行靜接觸應(yīng)力分析證明運(yùn)用齒輪的赫茲理論公式進(jìn)行非圓齒輪齒面接觸應(yīng)力的正確性。

由Jt2的定義可知，Jt2為與從動(dòng)輪相聯(lián)結(jié)的構(gòu)件轉(zhuǎn)化到從動(dòng)輪上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，所以為了簡(jiǎn)化計(jì)算過程，提高Ansys接觸應(yīng)力計(jì)算的效率，將分析的模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，去除掉與主動(dòng)輪和從動(dòng)輪相聯(lián)結(jié)的構(gòu)件，僅對(duì)2個(gè)齒輪的裝配體進(jìn)行應(yīng)力分析，則Jt2=0，將式(7)化簡(jiǎn)可得：

由于加在從動(dòng)輪上的阻力矩為定值，在每一個(gè)瞬時(shí)，齒輪副的傳動(dòng)比為一個(gè)定值，則由上式可得Mmp也為一個(gè)定值。由于需要對(duì)齒輪副進(jìn)行靜接觸應(yīng)力分析，所以直接在主動(dòng)輪上給定一個(gè)主動(dòng)力矩進(jìn)行接觸應(yīng)力分析，雖然此時(shí)阻力矩不為定值，但是對(duì)每個(gè)嚙合的輪齒來說，給定主動(dòng)力矩能夠通過公式算出齒面上的法向接觸力，對(duì)于驗(yàn)證齒輪的赫茲理論計(jì)算公式是可行的。

2.1 高階變性橢圓齒輪靜接觸應(yīng)力分析過程

運(yùn)用Workbench中的靜力結(jié)構(gòu)模塊(static structural)，將齒輪三維模型導(dǎo)入到Ansys中，定義其為結(jié)構(gòu)鋼(structural steel)，再在齒輪副上加上No separate接觸類型，以一對(duì)嚙合齒面為目標(biāo)面和接觸面定義接觸。再確定邊界條件：約束方面，運(yùn)用遠(yuǎn)端約束(remote displacement)約束掉主動(dòng)輪的x，y，z方向的移動(dòng)自由度及x，y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，并保持主動(dòng)輪繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度；再運(yùn)用固定約束(fixed)將從動(dòng)輪固定。動(dòng)力方面，在主動(dòng)輪上加上與主動(dòng)輪運(yùn)轉(zhuǎn)方向相同的動(dòng)力矩Mmp。觀察馮米塞斯應(yīng)力云圖(von-mises stress)，接觸面附近應(yīng)力的最大值就是所要求得的接觸應(yīng)力[6]。

2.2 高階變性橢圓齒輪靜接觸應(yīng)力分析結(jié)果

圖11 主動(dòng)輪為三階，從動(dòng)輪為五階的高階變性橢圓齒輪的齒面接觸應(yīng)力云圖

選擇載荷系數(shù)K=1.3，E1和E2為200 GPa，μ1和μ2為0.3，將上述參數(shù)帶入公式計(jì)算得到齒面的接觸應(yīng)力為756.988 MPa。再從應(yīng)力云圖中讀數(shù)得出接觸面附近的最大應(yīng)力值為733.46 MPa。計(jì)算可得公式的誤差為3.1%，在誤差范圍之內(nèi)，所以初步證實(shí)了高階變性橢圓齒輪齒面接觸應(yīng)力計(jì)算公式的可行性。

3 結(jié)語

本文對(duì)高階變性橢圓齒輪的接觸應(yīng)力作了相應(yīng)的研究，所做研究結(jié)果如下：

1) 得出了高階變性橢圓齒輪副運(yùn)轉(zhuǎn)過程中齒面接觸力的變化規(guī)律。

2)推導(dǎo)出了高階變性橢圓齒輪副接觸應(yīng)力計(jì)算的可用公式。

3)運(yùn)用Ansys初步驗(yàn)證了接觸應(yīng)力計(jì)算公式的可行性。