栗偉周，葛新鋒

(許昌學(xué)院 工程技術(shù)中心，河南 許昌 461000)

0 引 言

復(fù)合材料纖維絲束鋪放技術(shù)一般都是由冗余自由度機(jī)器人來完成，所以冗余自由度纖維絲束鋪放機(jī)器人的發(fā)展得益于鋪放成型技術(shù)的發(fā)展[1]。20世紀(jì)90年代，美國(guó)辛辛那提公司[2]開發(fā)了世界上第一臺(tái)纖維絲束鋪放機(jī)器人；此后，美國(guó)的EI公司[3]研制出一款多鋪絲頭高速冗余鋪絲設(shè)備，極大提高了鋪絲過程的工作效率；法國(guó)科里奧利公司研發(fā)的冗余鋪絲機(jī)械手硬件功能齊全，并且配有CAD/CAM軟件CATFiber，非常適合對(duì)形狀復(fù)雜零件的鋪放。與此同時(shí)，國(guó)內(nèi)南京航空航天大學(xué)[4]、哈爾濱工業(yè)大學(xué)等[5]高校開始對(duì)冗余纖維絲束鋪放機(jī)器人進(jìn)行了系統(tǒng)的理論研究和試驗(yàn)分析，取得了階段性成果。

在對(duì)纖維絲束鋪放機(jī)器人的研究中，冗余自由度機(jī)器人以其高度的靈活性，良好的避奇異和壁障能力受到了眾多研究者的青睞[6-8]。

為了采用量化的性能指標(biāo)來評(píng)價(jià)冗余自由度機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)能力，靈活性和避障避奇異能力成為了研究的熱點(diǎn)。YOSHIKAWA[9]用可操作度來衡量冗余自由度機(jī)器人的靈活性，可操作度越大，機(jī)器人越靈活；SALISBURY[10]用條件數(shù)來衡量機(jī)器人的操作能力；ANGLE[11]改進(jìn)了條件數(shù)；KLEIN[12]用最小奇異值作為衡量冗余自由度機(jī)器人的性能指標(biāo)，并將其運(yùn)用到冗余自由度機(jī)器人設(shè)計(jì)與控制中；郭希娟[13]在Gosselin[14]提出的全局性能指標(biāo)的基礎(chǔ)給出了二階影響系數(shù)的全域性能指標(biāo)。

但以上幾個(gè)操作性能指標(biāo)都是基于Jacobian矩陣，依賴于R6?se(3)上的歐氏度量，但歐氏度量依賴于坐標(biāo)系，不同坐標(biāo)系下Jacobian矩陣的最小奇異值不同，因此用Jacobian矩陣最小奇異值來衡量機(jī)器人的操作性能是不行的。文獻(xiàn)[15]中提出了體積元作為衡量機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)操作性能的性能指標(biāo)，但是對(duì)于冗余自由度機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能指標(biāo)沒有給出定義。

本文將在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上，定義體積元函數(shù)，把體積元函數(shù)作為衡量機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)可操作性度量的指標(biāo)，并以七自由度自動(dòng)鋪絲機(jī)器人為例，求出體積元函數(shù)。

1 機(jī)器人活動(dòng)標(biāo)架的遞推公式和外微分

1.1 機(jī)器人的活動(dòng)標(biāo)架

機(jī)器人連桿i的活動(dòng)標(biāo)架建立在連桿i-1上，這樣機(jī)器人末端手抓n的活動(dòng)標(biāo)架即機(jī)器人連桿n-1上，通過遞推即可推出連桿n-1的活動(dòng)標(biāo)架[16]。

在串聯(lián)機(jī)器人相鄰關(guān)節(jié)上標(biāo)注活動(dòng)標(biāo)架，相鄰關(guān)節(jié)i-1，i，i+1和連桿i-1，i上的活動(dòng)標(biāo)架標(biāo)注如圖1所示。

圖1 連桿上的活動(dòng)標(biāo)架系li—連桿長(zhǎng)；ai—偏距；αi(i+1)—關(guān)節(jié)i和i+1之間的扭角

轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的活動(dòng)標(biāo)架：

(1)

移動(dòng)關(guān)節(jié)的活動(dòng)標(biāo)架：

(2)

這樣連桿i的位置和姿態(tài)就可以由活動(dòng)標(biāo)架完全確定。表示成矩陣形式為：

(3)

對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)：

(4)

對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)：

(5)

則機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿為：

{e1,e2,e3;r}=0T1(θ1)1T2(θ2)2…n-1Tn(θn)

(6)

1.2 外微分形式

設(shè)n維歐氏空間Rn中的坐標(biāo)(x1,x2,…,xn)，以(dx1,dx2,…,dxn)為基底的實(shí)向量空間為V，可以做出向量空間G(V)。其中，Vp(p=1,…,n)中的元素可以表示為：

(7)

活動(dòng)標(biāo)架的集合構(gòu)成了機(jī)器人的工作空間曲面，該曲面反映了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性質(zhì)。因此，本研究用外微分和活動(dòng)標(biāo)架在該曲面上定義反映運(yùn)動(dòng)學(xué)操作性能的不變量。

2 體積元

機(jī)器人的工作空間反映了末端手抓的運(yùn)動(dòng)密度，可用體積元描述，對(duì)體積元積分就可求得工作空間。在末端手抓上建立活動(dòng)標(biāo)架，該活動(dòng)標(biāo)架的運(yùn)動(dòng)集合就是機(jī)器人的工作空間。末端手抓上活動(dòng)標(biāo)架的相對(duì)分量為ω1,ω2,ω3,ω23,ω31,ω12，找出活動(dòng)標(biāo)架的6個(gè)相對(duì)分量中的極大線性無關(guān)組，并作外積，就構(gòu)成了體積元dV：

dV=ω1∧ω2∧ω3∧ω23∧ω31∧ω12

平移體積元dT為：

dT=ω1∧ω2∧ω3

旋轉(zhuǎn)體積元dR為：

dR=ω23∧ω31∧ω12

體積元反映了機(jī)器人末端手抓的位置對(duì)應(yīng)平移體積，末端手抓的姿態(tài)對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)體積。

3 七自由度自動(dòng)鋪絲機(jī)器人的體積元

3.1 七自由度自動(dòng)鋪絲機(jī)器人的結(jié)構(gòu)及參數(shù)

七自由度纖維絲束自動(dòng)鋪放機(jī)器人由六自由度機(jī)器人和芯模構(gòu)成。在計(jì)算工作空間時(shí)進(jìn)行等效變換：芯模固定不動(dòng)，芯模上坐標(biāo)系與基坐標(biāo)系重合，基座與芯模用虛擬旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)相連，這樣該七自由度機(jī)器人就由4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)、3個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)構(gòu)成。七自由度纖維絲束自動(dòng)鋪放機(jī)器人結(jié)構(gòu)如圖2所示[17]。

圖2 纖維絲束自動(dòng)鋪放機(jī)器人結(jié)構(gòu)圖

腕部3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)交與一點(diǎn)，其等效拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 纖維絲束自動(dòng)鋪放機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

本研究按D-H參數(shù)建立坐標(biāo)系，標(biāo)注七自由度纖維絲束自動(dòng)鋪放機(jī)器人參數(shù)，其參數(shù)如表1所示。

表1 纖維絲束自動(dòng)鋪放機(jī)器人參數(shù)表

3.2 七自由度自動(dòng)鋪絲機(jī)器人的體積元

將以上矩陣相乘，就可得到末端手抓的基于活動(dòng)標(biāo)架的矩陣：

(8)

g11=sinθ1sinθ5cosθ6cosθ7-cosθ1sinθ6cosθ7+sinθ1cosθ5sinθ7

g12=-sinθ1sinθ5cosθ6sinθ7+cosθ1sinθ6sinθ7+sinθ1cosθ5cosθ7

g13=-sinθ1sinθ5sinθ6-cosθ1cosθ6

g14=-(c+d4)cosθ1+d3sinθ1+a0

g21=-cosθ1sinθ5cosθ6cosθ7-sinθ1sinθ6cosθ7-cosθ1cosθ5sinθ7

g22=cosθ1sinθ5cosθ6sinθ7+sinθ1sinθ6sinθ7-cosθ1cosθ5cosθ7

g23=cosθ1sinθ5sinθ6-sinθ1cosθ6

g24=-(c+d4)sinθ1-d3cosθ1

g31=-cosθ5cosθ6cosθ7+sinθ5sinθ7

g32=cosθ5cosθ6sinθ7+sinθ5cosθ7

g33=cosθ5sinθ6

g34=-a3+d2

則七自由度自動(dòng)鋪絲機(jī)器人末端執(zhí)行器的廣義速度為：

(9)

假設(shè)七自由度自動(dòng)鋪絲機(jī)器人末端執(zhí)行器的物體速度為：

(10)

把式(8)代入式(9)，得到活動(dòng)標(biāo)架的6個(gè)線性無關(guān)的相對(duì)分量：

(11)

這些分量的外積構(gòu)成了自動(dòng)鋪絲機(jī)器人的體積元dV，即：

dV=(g11dg14+g21dg24+g31dg34)∧

(g12dg14+g22dg24+g23dg34)∧

(g13dg14+g23dg24+g33dg34)∧

(g13dg12+g23dg22+g33dg32)∧

(g12dg11+g22dg21+g32dg31)∧

(g11dg13+g21dg21+g31dg33)

(12)

對(duì)式(12)進(jìn)行積分，即可得到體積元函數(shù)。

4 結(jié)果分析

(13)

式中：

J11=-d3sinθ6cosθ7+(c+d4)(sinθ5cosθ6cosθ7+cosθ5sinθ7)

J12=-cosθ5cosθ6cosθ7+sinθ5sinθ7

J13=sinθ5cosθ6cosθ7+cosθ5sinθ7

J14=J45=sinθ6cosθ7

J21=d3sinθ6sinθ7+(c+d4)(sinθ5cosθ6sinθ7+cosθ5cosθ7)

J23=-sinθ5cosθ6sinθ7+cosθ5cosθ7

J24=J55=-sinθ6sinθ7

J31=-d3cosθ6+(c+d4)sinθ5sinθ6

J33=sinθ5sinθ6

J34=J65=cosθ6

J41=-cosθ5cosθ6cosθ7+sinθ5sinθ7

J46=-sinθ7

J51=J22=cosθ5cosθ6sinθ7+sinθ5cosθ7

J56=-cosθ7

J61=J32=-cosθ5sinθ6

由于求出的操作度函數(shù)和體積元函數(shù)都是變量比較多的函數(shù)，但從形式上沒辦法比較它們的異同。因此，本研究在所求出的操作度函數(shù)和體積元函數(shù)中，分別做出函數(shù)的變化曲線，操作度函數(shù)的變化趨勢(shì)如圖4所示。

圖4 操作度函數(shù)變化曲線

體積元函數(shù)的變化趨勢(shì)如圖5所示。

圖5 體積元函數(shù)變化曲線

從圖(4，5)可以看出：操作度函數(shù)和體積元函數(shù)的變化趨勢(shì)和極值點(diǎn)都相同，所以用體積元衡量纖維絲束自動(dòng)鋪放機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)性能是可行的。

5 結(jié)束語