劉創(chuàng)業(yè)，代晉軍，徐章韜，彭雙階

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教育數(shù)學(xué)在行動(dòng)：“一線串”思想在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

劉創(chuàng)業(yè)，代晉軍，徐章韜，彭雙階

（華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079）

通過一系列具體的案例，在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)落實(shí)“一線串”思想，打通分析、幾何、代數(shù)之間的關(guān)聯(lián)．這種做法有效地發(fā)展了師范生的專業(yè)知識(shí)和能力．把這種具體的做法上升為一種機(jī)制，就需要大力發(fā)展大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究，拓展數(shù)學(xué)教育的研究領(lǐng)域，促進(jìn)數(shù)學(xué)教育的學(xué)科發(fā)展．

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；教育數(shù)學(xué)；師范生

1 引言

“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)”是教好數(shù)學(xué)的重要前提[1]．各種關(guān)于教師知識(shí)的研究都指出，在職教師或師范生并沒有很好地理解數(shù)學(xué)，導(dǎo)致了他們的教學(xué)知識(shí)水平不盡如人意[2-3]．那么，在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，究竟應(yīng)該教什么才能為切實(shí)提高未來教師駕馭課堂教學(xué)的能力而提供良好的基礎(chǔ)？這是一個(gè)根本性的問題．把握數(shù)學(xué)本質(zhì)是一切教學(xué)法的根，一線教師最欠缺的正是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的把握[4]．不僅要關(guān)注怎么教，更要關(guān)注教什么．教學(xué)內(nèi)容確定了，然后在此基礎(chǔ)上選擇合適的教學(xué)方法，內(nèi)容與形式辯證統(tǒng)一，才能提高教學(xué)效率．從課程結(jié)構(gòu)上看，分析、代數(shù)、幾何是大學(xué)數(shù)學(xué)的三大主干課程，分析的課堂上只講分析，代數(shù)的課堂上只講代數(shù)，幾何的課堂全是幾何，學(xué)科間交叉融合的理念與具體做法完全不見，不能算作是高水平的課堂教學(xué)，其教育價(jià)值極其有限．如，在分析的課堂能精彩地講述分析的精神固然是好，但若同時(shí)能帶點(diǎn)代數(shù)、幾何的風(fēng)味，這就不是一種扁平式的教學(xué)了．雖然學(xué)生學(xué)習(xí)了不同的課程，但有時(shí)難于將它們打通，教師有責(zé)任幫助學(xué)生把所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，比較各種觀點(diǎn)之間的高下差別，發(fā)展他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解．這是大學(xué)數(shù)學(xué)教育的使命所在．“一線串”是教育數(shù)學(xué)處理課程的一種卓有成效的做法，應(yīng)用這種思想，在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)把分析、代數(shù)、幾何的思想和方法有機(jī)地串聯(lián)起來，為提高師范生的學(xué)科知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．采擷課堂教學(xué)中曾經(jīng)用到的具體的案例以闡述這種做法，并闡釋其教育意義．

2 案例

大學(xué)數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間的差別十分明顯，若能讓師范生看到初等數(shù)學(xué)的走向及大學(xué)數(shù)學(xué)的根源所在，關(guān)聯(lián)縱橫，將十分有助于師范生對(duì)數(shù)學(xué)的理解．

初等數(shù)學(xué)課程中加入向量是課程改革成功的一筆，向量還有很多教育價(jià)值．向量是連接代數(shù)、幾何的一座橋梁，以向量為切入點(diǎn)，可以溝通初、高等數(shù)學(xué)，還能把分析、代數(shù)、幾何的思想一線串通．

案例1 看到知識(shí)的發(fā)展性：從向量消元法到逆矩陣法解方程

初學(xué)線性代數(shù)的師范生，不明白為何矩陣就成了線性代數(shù)中最重要的工具和概念了，更不用說形成一種直觀，這從根本上影響了他們對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)．

（*）式其實(shí)還是平面向量基本定理，對(duì)二維平面內(nèi)的一個(gè)向量，總可以表示成兩個(gè)基向量的線性組合．由此，一般的矩陣方程揭示的幾何意義是對(duì)給定維數(shù)的空間中的任一向量，能否表示成基向量的線性組合．

這樣處理，從初中經(jīng)高中到大學(xué)，師范生看到的是數(shù)學(xué)的內(nèi)在連貫性以及認(rèn)識(shí)視角的變遷．這些正是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的根本動(dòng)力所在．

案例2 把基本工具用得嫻熟：阿貝爾變換公式

行列式、矩陣是線性代數(shù)的基本工具，應(yīng)用得十分嫻熟，得心應(yīng)手．

張景中院士曾對(duì)數(shù)學(xué)分析中的阿貝爾變換公式做過十分精彩的講解．阿貝爾變換公式是：

這個(gè)公式其實(shí)是一個(gè)“面積”公式．考察時(shí)的特例，如圖1所示．

行列式是面積、體積的推廣，可從行列式、矩陣等角度對(duì)其重新認(rèn)識(shí)．

行列式方法：

把（*），（**）和（***）豎著加起來就有：

也可從矩陣跡的角度考慮．

應(yīng)從研究工具的高度認(rèn)識(shí)行列式、矩陣，而不應(yīng)該把它們當(dāng)作一個(gè)純粹的知識(shí)．

案例3 直觀地認(rèn)識(shí)基本工具：微分中值定理

看到行列式的幾何原型是面積，看到面積、體積的發(fā)展是測(cè)度，對(duì)于教學(xué)來說是一件意味深長(zhǎng)的事．

案例4 兩大基本工具的融合：極限與矩陣

沒有矩陣就沒有代數(shù)，沒有極限，就沒有分析．

特征多項(xiàng)式是刻畫矩陣性質(zhì)的重要工具，同時(shí)也是分析中的重要研究對(duì)象．圍繞特征多項(xiàng)式可以溝通代數(shù)與分析．

可以用代數(shù)的方法證明．

也可用分析的方法證明．

如果用非奇異矩陣來逼近奇異矩陣，就能用分析的方法處理代數(shù)問題了．

極限與矩陣當(dāng)作基本語(yǔ)言來學(xué)習(xí)，并要能看到它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．

案例5 看到多樣性：從配方法到二次型

把一個(gè)具體的二次型化成平方和的方法，就是“配方法”．有關(guān)二次型的問題，可以處理出多種風(fēng)味來．

用多種方法處理同一問題，看到的是各種工具的效力，發(fā)展的是數(shù)學(xué)的眼光．對(duì)師范生而言，這種數(shù)學(xué)上的眼光更具有教育價(jià)值．

案例6 看到思想遷移性：從投影到特征向量

矩陣既可以看作是一個(gè)線性變換，也可以認(rèn)為是一個(gè)空間．若看作是一個(gè)線性變換，就要研究哪些向量在矩陣的作用下是不變的，這就是線性變換矩陣的特征向量；如果把矩陣看作空間就要探查空間的性質(zhì)．如同通過投影、二視圖和三視圖之類的方法來認(rèn)識(shí)空間物體一樣，在認(rèn)識(shí)矩陣空間的性質(zhì)時(shí)，也要把矩陣投影到某一向量上去，通過這個(gè)向量來認(rèn)識(shí)矩陣空間的性質(zhì)．這些問題都引發(fā)對(duì)特征向量的研究．

如，師范生對(duì)等差、等比數(shù)列都很熟悉，供助上述認(rèn)識(shí)重新處理等差、等比數(shù)列，就會(huì)對(duì)矩陣的思想想法更加了解．

師范生在學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，很難弄清楚其研究動(dòng)機(jī)，自然就不知道其應(yīng)用價(jià)值．通過和已有知識(shí)的關(guān)聯(lián)，師范生看到了認(rèn)識(shí)方式、思想的巨大威力．

案例7 看到復(fù)雜背后的簡(jiǎn)單：從向量點(diǎn)乘到施密特正交化

兩向量正交就是兩個(gè)向量互相垂直，其內(nèi)積為零．只有兩個(gè)以上的向量才談得上正交．正交化的過程，可以看作是一組向量正交分解的過程．

這個(gè)案例揭示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單之美、疊加之威．在學(xué)習(xí)方法上的啟示上，從簡(jiǎn)單出發(fā)，從特例出發(fā)，以簡(jiǎn)馭繁．

案例8 挖掘基礎(chǔ)課的潛在教育價(jià)值：向量矢量積

經(jīng)過這樣處理，通過三階行列式看到混合積的幾何意義是體積；混合積是對(duì)偶思想的運(yùn)用，為了分析矢量積，引入它的線性泛函．齊民友先生曾言，基礎(chǔ)課是通向數(shù)學(xué)主流的門戶[5]．在林群院士眼中，泛函空間與平面幾何空間無異．沒有理由不重視基礎(chǔ)課的教學(xué)．

案例9 直觀和運(yùn)算

沒有直觀，看不遠(yuǎn)；沒有運(yùn)算，走不到．直觀是一種洞見，運(yùn)算不止于能力，更是一種計(jì)算思維．

格林公式：

斯托克斯公式：

僅示意性地說明一個(gè)．

奧高公式：

事實(shí)上這些都可統(tǒng)一成Stokes公式．這里的處理法有點(diǎn)類似于外微分的做法．秉持這個(gè)基本想法，也很容易得到復(fù)變函數(shù)解析的柯西—黎曼方程．

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要理解公式背后的含義，做到正逆推導(dǎo)自如，公式定理就像長(zhǎng)在自己的心田里，就算學(xué)通了．通過這組重要積分公式的示意性地推導(dǎo)，初步領(lǐng)略了數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧性．

案例10 看到確定性數(shù)學(xué)和隨機(jī)性數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)：線性回歸方程的推導(dǎo)

線性代數(shù)的方法：

確定性數(shù)學(xué)和隨機(jī)性數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的兩大分枝．在學(xué)習(xí)時(shí)，千萬(wàn)不能思維固化，認(rèn)為兩者之間是風(fēng)馬牛不相及，架兩者的溝通的之橋，看到的是關(guān)聯(lián)，是內(nèi)在和諧性．這會(huì)觸及師范生數(shù)學(xué)觀念的變化．

3 分析與討論

在課堂教學(xué)實(shí)踐中，踐行“分析—代數(shù)—幾何”課程“一線串通”的想法，受到了師范生的歡迎．很多師范生反映，這些做法開闊了他們的眼界，原來大學(xué)數(shù)學(xué)也可以這樣來學(xué)習(xí)．在“雙一流”背景下，師范院校該如何培養(yǎng)未來教師，夯實(shí)他們的專業(yè)基礎(chǔ)，引發(fā)了研究者的思考．師德是教師培養(yǎng)之本，專業(yè)知識(shí)是基礎(chǔ)，教育教學(xué)能力是關(guān)鍵．師德培養(yǎng)是個(gè)綜合、系統(tǒng)工程，要不斷地探索；下面的討論著重于專業(yè)知識(shí)和教育教學(xué)能力的培養(yǎng)．

在“雙一流”背景下，數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)更有作為．在“雙一流”背景下，數(shù)學(xué)教育應(yīng)參與到一流數(shù)學(xué)學(xué)科的建設(shè)中去．?dāng)?shù)學(xué)教育研究不但要在研究方法上進(jìn)行創(chuàng)新，采用大數(shù)據(jù)的方法進(jìn)行量化研究，得出基于數(shù)據(jù)的結(jié)論；也要在研究領(lǐng)域上進(jìn)行拓展，大力開展大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究，改變數(shù)學(xué)教育研究隊(duì)伍方向的結(jié)構(gòu)構(gòu)成，拓展數(shù)學(xué)教育的研究?jī)?nèi)容．大學(xué)數(shù)學(xué)教育方向的興起，能團(tuán)結(jié)更多的專業(yè)數(shù)學(xué)家參與到數(shù)學(xué)教育研究中來，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)教育的專業(yè)性、學(xué)術(shù)性．事實(shí)上，凡是做得好的數(shù)學(xué)大家，都是十分支持?jǐn)?shù)學(xué)教育發(fā)展的．大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究與大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)緊密相關(guān)，與高校數(shù)學(xué)教師的本職工作息息相關(guān)，定能吸引更多的高校教師參與到數(shù)學(xué)教育研究中來，改變數(shù)學(xué)教育研究隊(duì)伍的結(jié)構(gòu)構(gòu)成，豐富數(shù)學(xué)教育的研究?jī)?nèi)涵．?dāng)?shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)學(xué)科緊密關(guān)聯(lián)之后，能借力數(shù)學(xué)一流學(xué)科建設(shè)之勢(shì)，與時(shí)俱進(jìn)，獲得新發(fā)展．

大力開展大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究，幫助數(shù)學(xué)師范生打好扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)基礎(chǔ)，明確職前數(shù)學(xué)教師教育的使命．優(yōu)秀教師固然是在長(zhǎng)期的課堂教學(xué)中打磨而成，但作為底層長(zhǎng)期支持的學(xué)科素養(yǎng)卻是在大學(xué)課堂中獲得的．職前教師教育和職后教師教育應(yīng)各有側(cè)重點(diǎn)．有人期望師范院校剛畢業(yè)的師范生，一上講臺(tái)就能揮灑自如，然而這并不是實(shí)然狀況，于是人們就大力指責(zé)職前教師教育存在諸多不足，提出要加強(qiáng)師范的實(shí)踐技能訓(xùn)練．受這種思維方式的影響，不少學(xué)校在招聘師范生時(shí)，就要求師范生首先會(huì)解一套高考試題，能講好一堂課．這當(dāng)然不過分．受這種招聘模式的影響，不少師范生不安心學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)課程、教育教學(xué)理論課程，成天“刷題”，盲目實(shí)踐，這固然能提高應(yīng)聘的成功率，但影響了師范生的可持續(xù)長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展．由于諸多原因，師范生的學(xué)習(xí)動(dòng)力不足，專業(yè)知識(shí)學(xué)得零零碎碎，這從根本上影響了教師的專業(yè)發(fā)展．所以非常有必要強(qiáng)調(diào)師范院校的“師范性”，讓師范生受到數(shù)學(xué)的思想、方法和思維方式的訓(xùn)練．很難想象，一個(gè)從沒有享受過、欣賞過數(shù)學(xué)內(nèi)在和諧性的師范生能在以后的工作崗位上，把數(shù)學(xué)講得條理清晰、平易近人．在大學(xué)課堂教學(xué)中，應(yīng)講推動(dòng)知識(shí)產(chǎn)生的問題，解決問題過程中的種種艱難抉擇，講知識(shí)背后的思想，講知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，讓師范生練好“內(nèi)功”．練好“內(nèi)功”之后，解題不過是一種拳腳末技而矣．師范院校的“師范性”不僅應(yīng)體現(xiàn)在其有強(qiáng)大的學(xué)科教育，還應(yīng)體現(xiàn)在其專業(yè)課程的講授也是有教育取向的，為培養(yǎng)師范生而服務(wù)的．這種“師范性”與“學(xué)術(shù)性”相矛盾，高校教師一樣地可以在各自的研究領(lǐng)域發(fā)表“高大上”的研究作品．其實(shí)，“師范性”與“學(xué)術(shù)性”并不矛盾，關(guān)鍵是學(xué)科評(píng)價(jià)機(jī)制．

大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究方向的興起，是教育學(xué)深入學(xué)科的體現(xiàn)．教育學(xué)、心理學(xué)都十分關(guān)心學(xué)科教育，但教育學(xué)、心理學(xué)與學(xué)科的整合一直是難事，一直都沒有做好．在這種背景之下，學(xué)科教育的處境十分尷尬．在教育學(xué)、心理學(xué)看來，學(xué)科教育學(xué)術(shù)性不強(qiáng)；在數(shù)學(xué)看來，學(xué)科教育學(xué)科性不強(qiáng)．為了迎合教育學(xué)、心理學(xué)的學(xué)術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，去學(xué)科的學(xué)科教育產(chǎn)生了；但同時(shí)也引發(fā)了另外的問題，學(xué)科教育本來以應(yīng)用為取向，學(xué)科性的喪失意味著對(duì)實(shí)踐指導(dǎo)乏力．鑒于種種情況，張景中院士率先提出“信息技術(shù)要深入學(xué)科”，極大地推動(dòng)了基礎(chǔ)教育的信息化進(jìn)程，也引發(fā)了學(xué)界的認(rèn)同，姚姿如等基于對(duì)西方教育信息技術(shù)知識(shí)研究的回溯，指出要將普適化的教育技術(shù)知識(shí)改造為關(guān)注具體學(xué)科內(nèi)容和教學(xué)方法的“學(xué)科化”的教育信息技術(shù)知識(shí)[6]．與此類似，教育數(shù)學(xué)則主張要在吃透學(xué)科本質(zhì)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生教育教學(xué)上的見解．教育數(shù)學(xué)在中小學(xué)實(shí)踐中，特別是在初中，取得了極大的成功[7-8]．隨著內(nèi)容復(fù)雜度的提升，把內(nèi)容當(dāng)作一個(gè)可以忽略變量的研究范式日益受到質(zhì)詢，深入學(xué)科的主張正在引起人們的注意，不少教育學(xué)的期刊現(xiàn)在也愿意刊發(fā)這方面的作品了[9]．學(xué)科教育與學(xué)科真正融為一體之后，數(shù)學(xué)教育成為數(shù)學(xué)的二級(jí)學(xué)科，不再是名義上的事了，而是順理成章．這將極大地促進(jìn)數(shù)學(xué)教育的學(xué)科發(fā)展．

4 結(jié)語(yǔ)

師范大學(xué)是培養(yǎng)教師的源頭，源頭水清了，教師專業(yè)的可持續(xù)發(fā)展就有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．上面僅僅講述了如何在大學(xué)數(shù)學(xué)教育中夯實(shí)師范生的專業(yè)知識(shí)和能力，如何用學(xué)科特有的魅力、數(shù)學(xué)家的人格風(fēng)范來塑造師范生的德行、個(gè)性品質(zhì)卻需要進(jìn)一步的探索．

[1] 章建躍．理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2015，54（1）：61-63．

[2] 柳笛．美國(guó)數(shù)學(xué)教師學(xué)科內(nèi)容知識(shí)的研究述評(píng)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（6）：74-78．

[3] 劉琳娜．把數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)實(shí)現(xiàn)高效課堂教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（5）：71-73．

[4] 劉加霞．把握數(shù)學(xué)本質(zhì)是一切教學(xué)法的根[J]．小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2007（8）：48-49．

[5] 齊民友．?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)課是通向數(shù)學(xué)主流的門戶[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2009（12）：7-13．

[6] 姚姿如，王以寧．教育技術(shù)知識(shí)的學(xué)科化研究[J]．課程·教材·教法，2013，33（12）：106-110．

[7] 朱華偉，徐章韜．教育數(shù)學(xué)：緣起、旨趣、現(xiàn)狀和意蘊(yùn)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（4）：30-32．

[8] 朱華偉，徐章韜．教育數(shù)學(xué)的行動(dòng)：尋找初中數(shù)學(xué)課程的焦點(diǎn)[J]．課程·教材·教法，2016，36（9）：58-62．

[9] 徐章韜．指向深度學(xué)習(xí)：根植學(xué)科的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論[J]．中國(guó)教育學(xué)刊，2017（7）：48-52．

Educational Mathematics in Action: the Application “A Line Linkage” in the University Mathematics Teaching

LIU Chuang-ye, DAI Jin-jun, XU Zhang-tao, PENG Shuang-jie

(College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhai 430079, China)

By a series of specific cases, the idea of “a line linkage” was put into classroom teaching, bridging the relations among mathematics analysis, advanced algebra and geometry. This approach effectively developed the students’ professional knowledge and ability. The specific practices was leveled to a mechanism as if the university mathematics education research was fully developed. The research field of mathematics education was expanded and the development of the discipline of mathematics education was promoted.

university mathematics teaching; educational mathematics; pre-service teacher

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2018–03–19

華中師范大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目——教育信息化條件下大學(xué)公共數(shù)學(xué)教學(xué)的綜合改革（201635）

劉創(chuàng)業(yè)（1981—），男，湖南衡陽(yáng)人，博士，主要從事偏微分方程的研究和教學(xué)．彭雙階為本文通訊作者．

G642.0

A

1004–9894（2018）04–0082–06

劉創(chuàng)業(yè)，代晉軍，徐章韜，等．教育數(shù)學(xué)在行動(dòng)：“一線串”思想在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（4）：82-87．