張曉霞

[摘 要]在列舉策略中，“窮舉法”是一種基本方法，它能通過分析對(duì)比所有可能方案找到最優(yōu)方案。但是，“窮舉法”在具體操作時(shí)也會(huì)有一些障礙：如何避開“窮舉法”而選擇搭配法、如何有規(guī)律地進(jìn)行列舉做到不重不漏、如何通過有限列舉進(jìn)行歸納推理等，只有攻克這些難題才能真正發(fā)揮“列舉策略”的價(jià)值。

[關(guān)鍵詞]列舉策略；窮舉法；意外；思考

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）20-0046-01

【教學(xué)案例1】 某教師在講解蘇教版教材五年級(jí)上冊“解決問題的策略”的例題時(shí)，出示題目：王大叔用22根1米長的柵欄圍一塊長方形花圃，怎樣圍面積最大？

教師先讓學(xué)生自由操作解決問題。教師在巡視中，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生都能采用“窮舉法”，有少數(shù)學(xué)生列舉不全面。教師展示列舉有缺漏的作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生有序列舉，然后讓學(xué)生在事先制作好的表格中填數(shù)列舉。反饋時(shí)，教師選取從10米長開始往后降級(jí)排列的方式集中展示（如表1）。

新授課結(jié)束后，在練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)教師出示了一道題：學(xué)校食堂某天中午供應(yīng)的葷菜有3種，素菜有4種。小紅選擇1種葷菜和1種素菜，一共有多少種不同的搭配方法？（葷菜：小炒紅燒肉，可樂雞翅，水煮肉片；素菜：葡萄黑醋漬蘿卜，茄汁焗黃豆，西蘭花圣誕樹，自制酸菜）

就在學(xué)生一門心思地列舉時(shí)（如表2），一位女生疑惑不解的樣子引起了教師的注意。教師問明原委，原來這位女生覺得這題就是學(xué)過的搭配問題，只需要列式3×4=12就可一步到位地完成求解。此法一出，其他學(xué)生都感到驚詫萬分。教師急忙救場……

一、診斷“病因”

課后，筆者與兩名學(xué)生代表交流。首先詢問降序排列列舉的學(xué)生：“你為什么要從10開始？”他難為情地說：“從書上看到的。”隨后筆者又詢問那個(gè)用一步乘法解決搭配問題的女生：“你怎么想到用乘法計(jì)算呢？”她理直氣壯地回答：“這道題本身就是求搭配種類數(shù)，用列舉法太麻煩了?！?/p>

問完學(xué)生，筆者回過頭再來詢問授課教師：“為什么選擇展示從10起頭開始往后排的作業(yè)？”授課教師回答：“從10起頭往后排，這是課本的成例。況且如果從1開始起頭，那么‘長=1，寬=10不符合長和寬的性質(zhì)。教材這么做也是出于這方面的考慮吧?！惫P者又問：“那位女生的意見明明是對(duì)，你為什么刻意回避？”授課教師有些沉不住氣地說道：“用窮舉法解決問題是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，按她的說法展開新課就會(huì)跑題?！?/p>

二、剖析“病理”

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生嘗試用“窮舉法”解決問題，遵循一定的規(guī)律做到完全列舉不重不漏，感受“窮舉法”的價(jià)值，形成思維的條理性和嚴(yán)密性。在備課時(shí)，我們應(yīng)充分備好教材，并清楚認(rèn)識(shí)學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)。反思上述教學(xué)過程，發(fā)現(xiàn)該教學(xué)主要存在三大問題。

問題一：在教學(xué)例題時(shí)，教師一般會(huì)循規(guī)蹈矩地從已知導(dǎo)出未知，并“列舉”出所有情況：首先根據(jù)條件“1米長的柵欄”推斷出長和寬只能是整數(shù)，再根據(jù)“22根1米長的柵欄”推理出長方形周長應(yīng)為22米，最后由“面積最大”逆推出長和寬的配比。

問題二：常規(guī)教法都是先讓學(xué)生隨意列舉，然后引導(dǎo)學(xué)生從無序走向有序。其實(shí)，有序排列并非新知。許多知識(shí)都需要有序思考，循序漸進(jìn)。因此，教學(xué)本課時(shí)不妨直接點(diǎn)中要害：“當(dāng)基本事件比較多時(shí)，怎樣排列可以做到不重不漏？”學(xué)生自會(huì)調(diào)取有關(guān)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行有序排列。指明方向比指導(dǎo)方法更實(shí)用。這樣就不必強(qiáng)求學(xué)生非得從10開始往后降級(jí)排列，而順從學(xué)生的初始思維，從最小的1開始一一列舉，至于“長寬比例不協(xié)調(diào)”這種擔(dān)憂純屬杞人憂天，因?yàn)椤伴L”與“寬”是可以互換角色的。

問題三：從教學(xué)現(xiàn)場可以看出，教師備課時(shí)疏忽了學(xué)生以前學(xué)過的“搭配規(guī)律”可以列式迅捷求解，一一列舉確實(shí)是自找麻煩。

三、“病后”總結(jié)

好的教學(xué)應(yīng)該能夠瞻前顧后，辯證地看待問題。我們可以通過這道習(xí)題“回頭看”——和搭配法對(duì)比，暴露出“窮舉法”的局限性；也可以通過另一題“向前望”，在學(xué)生用“窮舉法”順利解答后，擴(kuò)大題中數(shù)據(jù)和基本事件頻次，讓學(xué)生感到“窮舉法”的煩瑣低效。教師可以在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)攤牌：“以后學(xué)了最小公倍數(shù)，不用窮舉就可以快速求解了?！睂W(xué)生最終明白：隨著知識(shí)的更新，問題的解決方式也會(huì)更新。

總之，不論有無出現(xiàn)案例中的意外，我們都應(yīng)該給學(xué)生灌輸這樣的指導(dǎo)思想：策略是活的。而要想學(xué)生學(xué)到活的策略，教師的教法首先得活。

（責(zé)編 羅 艷）