◇邱月亮

如圖1，我們把一個底面半徑為R、高為H的圓錐，以平行于底面的截面，按高度把它平均分成n份。我們分的份數(shù)越多，其中的每一份就越能近似地看成一個小圓柱。我們不妨從上往下數(shù)，討論第i個小圓柱，顯然它的高為，并設(shè)其底面半徑為r，則它的體積為。從圖1中可以看出，其中的r與R、h和H存在著這樣的關(guān)系：即而所以因此，第 i個小圓柱的體積為

圖1

把這n個小圓柱的體積全部相加，并設(shè)它們的和為V，即

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)分的份數(shù)越多，即n越大時，V越接近圓錐的體積。也就是當(dāng)n→∞時從而，即就是圓錐的體積。

仔細(xì)分析上述過程，它實質(zhì)上是一個“先細(xì)分，再求和”的過程，即先把圓錐分成若干個細(xì)小的部分，然后對這些細(xì)小部分的體積進(jìn)行求和。其實這是定積分思想的雛形，這種思想對于小學(xué)高年級的學(xué)生來說，不但能發(fā)現(xiàn)，而且能掌握和運(yùn)用 （可參看貴刊2016年第6期筆者的 《先細(xì)分，再求和》一文）。

現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，已經(jīng)不再完全用靜態(tài)的觀點來讓學(xué)生認(rèn)識幾何形體，而是以變化的、聯(lián)系的觀點來認(rèn)識其中的點、線、面和體。圓柱可以認(rèn)為是以長方形某條邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)而得，同樣地，圓錐也可以認(rèn)為是以直角三角形某直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)而得。顯然，這種以某個平面圖形為母體旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)體，其體積的大小與母體面積的大小有關(guān)。但是，為什么面積關(guān)系是1∶2的等底等高直角三角形和長方形，它們分別旋轉(zhuǎn)后所得到的圓錐和圓柱的體積關(guān)系卻是1∶3呢？如圖2。

圖2

其實，我們不難發(fā)現(xiàn)，在“制造”旋轉(zhuǎn)體的過程中，母體平面圖形中的每一點，處在與中心軸垂直的平面上，作與中心軸之間保持距離不變的運(yùn)動，從而“繁衍”出一些新的點，而這些新生成的點，構(gòu)成了一個個新的圓。由母體中的全部點所生成的這無數(shù)多個大小不一的圓，也就構(gòu)成了旋轉(zhuǎn)體。顯然，這些新圓的大小影響著旋轉(zhuǎn)體體積的大小。如圖2中，直角三角形右下銳角的頂點，在旋轉(zhuǎn)的過程中，它處于與中心軸垂直的平面上，并始終與中心軸保持著r的距離，從而“制造”了圓錐底面的邊界；同樣地，其另一個銳角的頂點，在某個位置與中心軸始終保持著0距離，所以也就“制造”了圓錐的頂點。

在母體那么多的點中，由于它們與中心軸之間的距離各不相同，所以我們很難當(dāng)然也不可能把它們的大小都表示出來，只能選擇其中的一個作為代表來反映其與旋轉(zhuǎn)體體積的關(guān)系。根據(jù)物理學(xué)中的有關(guān)知識，最能體現(xiàn)一個平面的本質(zhì)屬性的點，即為其重心所在的點。因此，從圖2可以看出，長方形重心所在的點為兩對角線的交點，它在旋轉(zhuǎn)過程中距中心軸的距離為r；三角形重心為三條中線的交點，它在旋轉(zhuǎn)過程中距中心軸的距離為

根據(jù)古爾丁定理，旋轉(zhuǎn)體的體積等于母體平面圖形的面積與其重心所在的點旋轉(zhuǎn)時所形成的圓的周長的積。由此我們可以得出：由長方形旋轉(zhuǎn)所得圓柱的體積是由與長方形等底等高的直角三角形旋轉(zhuǎn)所得圓錐的體積是