甘肅省酒泉市西洞學區(qū)(735000) 李芳紅

一、問題的引出和解決

如圖1,四邊形ABCD為正方形,邊長為4,BE=1,點F為線段AC上的動點(與A點C點不重合),當點F運動到什么位置時,△EFB的周長最小?

由于幾何畫板在處理動點的問題有很好的效果,我設計了關于動點F的動作按鈕,將線段長度的屬性中數(shù)值的精確度設置為0.1,得到動點F運動到如圖2所示的位置,△EFB的周長=EF+FB+EB=6,發(fā)現(xiàn)△EFB的最小值為6.

圖1

圖2

通過分析,本題中BE=1是確定的,所以只需要計算(FE+FB)的最小值,這時進一步引發(fā)我們的思考,這樣的問題似曾相識.如圖3有A、B兩個村莊,如何在河邊修一個電站,它到A、B兩個村莊的距離最短?我們是做了B點關于l的對稱點,如圖4那么點P即為所求.

圖3

于是我們發(fā)現(xiàn)問題有了新的解法,我們可以把線段AB作為河流,在AB上找一點F,使得(FE+FB)的值最小,可以作點B關于AC的對稱點,發(fā)現(xiàn)如圖5點B的對稱點就是點D,連接DE,那么點F即為所求,所以△EFB的周長=DF+FB+EB=DE+EB=5+1=6.

于是我們成功的解決了此問題,發(fā)現(xiàn)兩種方法的結果是一樣的.但是,作為一名教師應該有不斷探究問題的能力,我們不僅是知識的傳授者,更應該是知識的探索者.對于變化的量,我們是否可以用函數(shù)來解決此問題,于是我們以正方形ABCD的AB邊和AD邊分別為x軸和y軸,建立如圖6的直角左邊系,

圖5

圖6

我們利用導數(shù)成功的解決了此問題,發(fā)現(xiàn)最小值也為6.

為什么不是6那?我們產(chǎn)生了這樣的疑問?到底什么地方出現(xiàn)了問題,是不是不能利用上面的絕對值不等式計算?丟失的0.05去哪里了?

同時,我們驚奇的發(fā)現(xiàn)f′(x)和G′(x)的圖像驚人的相似如圖7、圖8,但是通過計算它們的圖像并不完全相同,數(shù)值上的0.05和圖像上的驚人相似,是否為巧合,還是有著必然的聯(lián)系,那么這其中的奧秘到底是什么?

圖7

圖8

二、問題的進一步探究

在上面的題目中只有點F是運動的,如果點F和點E同時運動(點E在線段AB上運動),那么△EFB的周長的最小值是多少那?最小值還是6嗎?我們驚奇的發(fā)現(xiàn),△EFB的周長的最小值也為6.我們用幾何畫板建立兩個動作按鈕E和F,同時讓點E和點F分別在線段AB和AC上運動,我們驚奇的發(fā)現(xiàn),雖然兩個點都在運動,但是△EFB得最小周長還是沒有變,當點E和點F運動到如圖9所示的位置,發(fā)現(xiàn)周長的最小值為6.雖然多加了一個動點,但是周長并沒有發(fā)生變化.

我們進一步思考,時候可以利用函數(shù)的思想解決此問題,如圖10建立直角坐標系.可以設F(x,x),E(y,0),B(4,0),4,0＜y＜4).問題轉換為求F(x,y)這個二元函數(shù)的最小值,那么如何求F(x,y)的最小值?是否存在F(x,y)的最小值,如何有更高的技能解決?

圖9

圖10

三、啟示和疑問

通過本文對一道中考題的研究,筆者提出了三個問題,敬請其他老師指正研討.

1、在解決△EFB的周長的最小值時,我們是否能夠利用絕對值不等式,如果能用,那么丟失的0.05到底去哪里了?如果不能用,那么為什么不能用?

2、f′(x)和G′(x)的圖像驚人的相似,但是通過計算它們的圖像并不完全相同,數(shù)值上的0.05和圖像上的驚人相似,是否為巧合,還是有著必然的聯(lián)系,那么這其中的奧秘到底是什么?

3、我們能否計算出F(x,y)這個二元函數(shù)的最小值,如何計算,還是根本就沒有辦法計算?能否用更高的觀點去解決.

新課程已經(jīng)開展了好多年,隨著知識的不斷更新,教師的角色也發(fā)生了很大的變化,教師不在是單純的“傳道、授業(yè)、解惑也”,而更應該是知識的發(fā)現(xiàn)者,知識的探索者,更應該是一名研究性的學者,這樣才可以真正成為一名教育者,一名未來的教育家.