王保成

(浙江省杭州市余杭區(qū)太炎中學(xué) 311121)

隨著新課改教學(xué)理念的深入推行，要求在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中注重對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透教學(xué)，以培養(yǎng)學(xué)生具有較高的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常用的數(shù)學(xué)思想有：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等，這些基本的數(shù)學(xué)思想都可以看成是由化歸思想演變而來的，因此，加強(qiáng)化歸數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，對(duì)增強(qiáng)學(xué)生靈活的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要的作用.同時(shí)，化歸思想的應(yīng)用有利于將復(fù)雜、抽象、不易解決的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單、形象、易解決的數(shù)學(xué)問題，從而能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)解題效率.筆者結(jié)合實(shí)踐數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，對(duì)化歸思想在實(shí)踐數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用方法進(jìn)行了深入探索.

一、化歸應(yīng)用遵循的基本原則

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，進(jìn)行化歸思想教學(xué)與應(yīng)用，應(yīng)遵循如下基本原則：

一是簡(jiǎn)單化的原則.就是化歸思想在解題應(yīng)用中，要遵循把復(fù)雜、抽象、困難的問題變?yōu)楹?jiǎn)單、直觀、易處理的問題，將特殊類型的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成一般類型的問題來解決，要把復(fù)雜的大問題轉(zhuǎn)化成多個(gè)簡(jiǎn)單的小問題來處理，以采用簡(jiǎn)單的方法來各個(gè)擊破，化歸思想方法的應(yīng)用要能降低解題難度，這樣才能更好發(fā)揮化歸思想的作用.

二是熟悉化的原則.化歸思想的運(yùn)用，要有利于學(xué)生將不熟悉的問題轉(zhuǎn)變成熟悉的問題來解決，這樣才能讓學(xué)生利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，來快速有效解決遇到的新問題和陌生問題，能幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)解題效率.

三是正難則反的原則.當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題如果從正面進(jìn)行解決比較困難時(shí)，就可以運(yùn)用化歸的思想，從問題的相反面進(jìn)行尋找解決的方法，來使問題得到解決.如，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)遇到“至少”、“最多”、“不存在”等問題時(shí)，從相反面進(jìn)行解決就能使問題變得簡(jiǎn)化.

四是直觀化的原則.堅(jiān)持直觀化的原則，就是化歸思想在運(yùn)用中要注重把抽象復(fù)雜的問題，盡可能轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單易懂的圖形來處理，也就是把“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化成“形”的問題，注重與數(shù)形結(jié)合思想的結(jié)合運(yùn)用，使問題變得一目了然，有利于學(xué)生快速形成解題思路.

五是極端與標(biāo)準(zhǔn)化的原則.通過對(duì)一些問題在極端狀態(tài)下的特點(diǎn)、特性進(jìn)行觀察來獲得有益的解題啟示，從中找出所要解決問題在一般狀態(tài)下的性質(zhì)，以找到解決問題的思路和方法；化歸思想的運(yùn)用還應(yīng)堅(jiān)持標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把特殊或非標(biāo)準(zhǔn)問題盡可能轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)人的問題來解決.

二、化歸思想的解題應(yīng)用方法

1.化難為易

在初中數(shù)學(xué)解題中，許多問題如果按照常規(guī)的解題方法來處理就比較復(fù)雜，或是不容易找到解題的思路和方法.如果運(yùn)用化歸的思想，把這些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問題來處理，就非常容易解決.因此，在解題中當(dāng)遇到復(fù)雜問題時(shí)，應(yīng)考慮把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化以尋求用簡(jiǎn)單的方法來解決.

解析對(duì)于此題的一般解決策略，就是要假設(shè)x=2k,y=3k,z=4k，把這三個(gè)式子代入到所求分式中來進(jìn)行計(jì)算，該方法是把多元的分式轉(zhuǎn)化成了一元的方法，在解題中仍然比較復(fù)雜而且容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.如果將三個(gè)未知數(shù)用三個(gè)特殊數(shù)字來代替：x=2,y=3,z=4，這樣就能既簡(jiǎn)單又快速地求出分式的數(shù)值.該方法的運(yùn)用要注意題目的特點(diǎn)和所給條件的合理恰當(dāng)使用，主要用于尋找解題思路和方法使用.

2.化數(shù)為形

在初中數(shù)學(xué)解題中，對(duì)于一些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜抽象的問題，如果能把這些復(fù)雜的數(shù)量問題變成直觀的幾何圖形問題就能讓學(xué)生容易解決問題，而且還可以繞開冗長(zhǎng)繁瑣的數(shù)量計(jì)算過程.

例2 已知x>0，求代數(shù)式：x2+4+(12-x)2+9的最小值是多少.

解析本題屬于代數(shù)題目，但對(duì)于初中學(xué)生來說，不容易用代數(shù)方法直接解答本題，如果能夠變換解題思路，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題來求解，就容易解決.可以根據(jù)勾股定理，來構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，并把x2+4和(12-x)2+9當(dāng)成是兩個(gè)直角三角形的斜邊.因?yàn)锽D=12，設(shè)BE=x，可以把這兩個(gè)直角三角形的一條直角邊放在同一條線段上,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，即：AE+EC>AC，當(dāng)A,E,C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)最小.如圖1所示，這樣就把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成了求兩條線段之和最短的問題了.即求圖中的AE+EC的最小值，由于兩點(diǎn)之間的線段是其最小值，這樣就能在直角三角形AFC中容易求出代數(shù)式的最小值是13(即AC長(zhǎng)).

3.化動(dòng)為靜

在初中數(shù)學(xué)解題中，特別是在中考解題時(shí)，許多學(xué)生對(duì)于綜合性的動(dòng)態(tài)題目經(jīng)常是不知如何下手，不易找到解題的思路和方法.如果運(yùn)用化歸的思想，把動(dòng)態(tài)的問題想法轉(zhuǎn)化成靜態(tài)問題，這樣問題就變得容易解決了.

例3 在圖2所示直角三角形ACB中，已知AC=6，BC=8，M點(diǎn)是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合)，E是直角邊BC上的中點(diǎn)，作一個(gè)直角，MF和BC相交于F點(diǎn).假設(shè)BM=x，△BME的面積是y，求出：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并確定x的取職范圍.

4.化斜為直

在初中的平面幾何解題中，經(jīng)常遇到解斜三角形的問題，當(dāng)已知一個(gè)三角形的下列情況的邊與角的數(shù)據(jù)時(shí)就能確定該三角形：三條邊、兩邊及夾角、兩角及夾邊、兩角及對(duì)邊.在現(xiàn)實(shí)生活中許多問題是以斜三角形為背景，在解決這類問題時(shí)，如果通過作三角形的高線，就能把斜三角形的問題轉(zhuǎn)化成直角三角形的問題，這樣就容易求解三角形的問題.

例4 在圖3中要從A地到B地，因?yàn)樵趦傻刂g有一座山，需要繞行到C地，再?gòu)腃地到達(dá)B地，現(xiàn)在要在山中開挖一條隧道，這樣就可從A地直接通行到B地.已知AC距離是20km，∠A=30°，∠B=45°，求從A地直接通達(dá)B地比原來路程少走多少km.

5.化整為零

在初中數(shù)學(xué)解題中，運(yùn)用化整為零的方法可以把某些復(fù)雜的綜合性問題化歸成若干個(gè)獨(dú)立簡(jiǎn)單容易解決的小問題，通過對(duì)這些小問題的解決，就能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)整個(gè)題目的求解.

綜上所述，化歸數(shù)學(xué)思想貫穿在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，加強(qiáng)對(duì)化歸思想的教學(xué)滲透，能有效地培養(yǎng)學(xué)生靈活的數(shù)學(xué)思維能力，能把復(fù)雜、抽象、不熟悉、不易解決的問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單、直觀、熟悉、易解決的問題，能夠降低解題的難度，提高數(shù)學(xué)解題的效率和準(zhǔn)確率，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生較高的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要意義.