鄭柳蓉

(廣東省河源市廣州大學(xué)附屬東江中學(xué) 517000)

導(dǎo)數(shù)概念是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶.導(dǎo)數(shù)為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了全新的視野,也是研究曲線的斜率問(wèn)題、函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的極值最值等問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的工具.為方便起見(jiàn)，約定本文涉及的都是可導(dǎo)函數(shù).下面將對(duì)導(dǎo)數(shù)在切線問(wèn)題、函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的極值最值問(wèn)題的應(yīng)用進(jìn)行探討.

我們知道，一階導(dǎo)的代數(shù)意義就是函數(shù)的變化率.一階導(dǎo)有明顯的幾何意義，就是曲線的斜率.而切線是導(dǎo)數(shù)的“幾何形象”,也是函數(shù)單調(diào)性的“幾何”解釋，導(dǎo)數(shù)的概念運(yùn)用了“數(shù)形結(jié)合，以直代曲”的思想方法，建立了代數(shù)與幾何的橋梁，在高考數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及，簡(jiǎn)而言之，導(dǎo)數(shù)起源于切線，曲切聯(lián)系需熟練.

例1 (2016全國(guó)卷Ⅲ，16)已知fx為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0 時(shí)，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=fx在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是____.

事實(shí)上，只要會(huì)求導(dǎo)，就可以求出函數(shù)在切點(diǎn)處的切線問(wèn)題，也可f(x)以解決比較簡(jiǎn)單的函數(shù)過(guò)某點(diǎn)的切線問(wèn)題.

若函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0在該區(qū)間內(nèi)恒成立； 在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則f′(x)≤0在該區(qū)間內(nèi)恒成立.也就是說(shuō)若導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)為x0，且圖象在x0兩側(cè)附近連續(xù)分布于x軸上下方，則x0為原函數(shù)極值點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)，得出原函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．歸根結(jié)底，我們可以將單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題.

例2 (2017全國(guó)卷Ⅰ，21)已知函數(shù)fx=ae2x+a-2ex-x．

(1)討論f(x)單調(diào)性；(2)略.

分析(1)討論f(x)單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解，再對(duì)a按a≤0，a>0進(jìn)行討論，寫出單調(diào)區(qū)間.

解(1)f(x)的定義域?yàn)?-,+)，f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).

①若a≤0，則f′(x)<0，所以f(x)在(-,+)單調(diào)遞減.

②若a>0，則由f′(x)=0得x=-lna.當(dāng)x∈(-,-lna)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(-lna,+)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(-,-lna)單調(diào)遞減，在(-lna,+)單調(diào)遞增.

接下來(lái)我們討論極值問(wèn)題.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且若對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)都有f(x)f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)的一個(gè)極大(或小)值，x0為極大(或極小)值點(diǎn).即極值點(diǎn)一定在曲線的波峰或者波谷處.

由極值的定義，可以得到求極值的一般步驟：第一步：求導(dǎo)數(shù)f′(x)；第二步：解方程f′(x)=0；第三步：考察在每個(gè)根x0附近，從左到右，導(dǎo)數(shù)f′(x)的符號(hào)如何變化，若f′(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(x0)是極大值；若f′(x)的符號(hào)由負(fù)變正，則f(x0)是極小值；即極值點(diǎn)的兩導(dǎo)數(shù)值一定正負(fù)出現(xiàn).若f′(x)的符號(hào)不變，則f(x0)不是極值，x0不是極值點(diǎn).

例3 (2017全國(guó)卷Ⅱ，20)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.

(1)求a;(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2

分析結(jié)合(1)的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)φx=2x-2-lnx，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和原函數(shù)即可證得.

如果會(huì)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的極值，那么求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值就水到渠成了．只要比較f(x)的極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值f(a)、f(b)的大小就可以了，最大的就是最大值，最小的為最小值.特別地，若函數(shù)f(x)沒(méi)有極值點(diǎn)，則函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)，區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值f(a)、f(b)最大的就是最大值，最小的為最小值.若函數(shù)f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn).

例4 (2017北京卷，20)已知函數(shù)f(x)=excosx-x.

解(3)因?yàn)閒(x)=excosx-x,所以f′(x)=ex(cosx-sinx)-1,f′(0)=0.設(shè)h(x)=ex(cosx-sinx)-1，則h′(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.

在解決導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題的時(shí)，一定要注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形，充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想．導(dǎo)數(shù)作為初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn)之一，不僅有著廣泛的應(yīng)用，也為學(xué)生進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)，這必定使導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用成為熱點(diǎn)也是亮點(diǎn)．