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      轉(zhuǎn)化思想證垂直

      2018-09-22 02:15:24趙佳琪
      數(shù)理化解題研究 2018年22期
      關(guān)鍵詞:線線線面過點(diǎn)

      趙佳琪

      (河北省唐山市樂亭縣第一中學(xué)高二三班 063600)

      空間垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直、面面垂直,三者關(guān)系密切,可互相轉(zhuǎn)化,在證明空間垂直時可謂三位一體.

      一、證明線線垂直

      空間中證明線線垂直,大都利用線面垂直的性質(zhì):如果一條直線垂直于一個平面,那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線.但利用的前提是需有線面垂直.

      例1 如圖1,在空間四邊形PABC中,PA⊥底面ABC,側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC.

      求證:AB⊥BC.

      圖1

      分析我們可先證明AB(或BC)垂直于BC(或AB)所在的一個平面,即可證明AB⊥BC了.

      證明過點(diǎn)A作AD⊥PB于點(diǎn)D.

      因?yàn)閭?cè)面PAB⊥側(cè)面PBC,

      且側(cè)面PAB∩側(cè)面PBC=PB,

      所以AD⊥平面PBC.

      又因?yàn)锽C?平面PBC,

      所以BC⊥AD.

      因?yàn)镻A⊥底面ABC,BC?平面ABC,

      所以BC⊥PA.

      因?yàn)锳D?平面PAB,PA?平面PAB,AD∩PA=A,

      所以BC⊥平面PAB.

      因?yàn)锳B?平面PAB,

      所以AB⊥BC.

      點(diǎn)評本題的轉(zhuǎn)化過程為:面面垂直→線面垂直→線線垂直→線面垂直→線線垂直,總的趨勢是由高維向低維轉(zhuǎn)化,其間應(yīng)用了面面垂直的性質(zhì)定理,線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理.

      二、證明線面垂直

      空間中證明線面垂直,常用的方法有兩種:一是應(yīng)用線面垂直的判定定理,一是應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理.

      例2 如圖2,在斜邊為AB的Rt△ABC中,過點(diǎn)A作PA⊥平面ABC,AM⊥PB于點(diǎn)M,AN⊥PC于點(diǎn)N,求證:PB⊥平面AMN.

      圖2

      分析欲證PB⊥平面AMN,因?yàn)锳M⊥PB,所以只需在平面AMN中再找一條和PB垂直的直線即可,考慮和AN有關(guān)的垂直關(guān)系較多,我們選定AN為論證目標(biāo).

      證明因?yàn)镽t△ABC的斜邊為AB,

      所以BC⊥AC.

      因?yàn)镻A⊥平面ABC,BC?平面ABC,

      所以BC⊥PA.

      打仗要勇敢,搞學(xué)術(shù)研究為什么還要膽識呢?似乎兩者關(guān)系不大,最近有記者問我,說閻老師你認(rèn)為做一個研究員最重要的品格是什么呢?我的回答是兩個字“勇敢”。

      因?yàn)镻A?平面PAC,AC?平面PAC,AC∩PA=A.

      所以BC⊥平面PAC.

      因?yàn)锽C?平面PBC,

      所以平面PAC⊥平面PBC.

      因?yàn)锳N?平面PAC,

      平面PAC∩平面PBC=PC,AN⊥PC,

      因?yàn)镻B?平面PBC,

      所以AN⊥PB.因?yàn)锳M⊥PB,AM?平面AMN,

      AN?平面AMN,AM∩AN=A,

      所以PB⊥平面AMN.

      點(diǎn)評本題的轉(zhuǎn)化過程為:線線垂直→線面垂直→

      面面垂直→線面垂直→線線垂直→線面垂直.

      三、證明面面垂直

      證明面面垂直離不開線線垂直和線面垂直.

      例3 如圖3,已知直角梯形ABCD中AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD.證明:面PAD⊥面PCD.

      圖3

      分析根據(jù)題目條件可考慮利用面面垂直的判定定理證明.

      證明因?yàn)镻A⊥面ABCD,CD?面ABCD,所以CD⊥PA.

      因?yàn)椤螪AB=90°,AB∥DC,

      所以CD⊥AD.

      因?yàn)镻A?面PDA,AD?

      面PDA,PA∩AD=A,

      所以CD⊥面PAD.CD?面PCD,

      所以面PAD⊥面PCD.

      點(diǎn)評本題的轉(zhuǎn)化過程為:線面垂直→線線垂直→線面垂直→面面垂直.

      立體幾何中最常見的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想,由本文我們可發(fā)現(xiàn),證明垂直關(guān)系的過程實(shí)質(zhì)上就是空間三種垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的過程,轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是空間垂直的判定定理和性質(zhì)定理,所以對這些定理我們一定要注意熟練掌握、靈活運(yùn)用.

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