趙佳琪
(河北省唐山市樂亭縣第一中學(xué)高二三班 063600)
空間垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直、面面垂直,三者關(guān)系密切,可互相轉(zhuǎn)化,在證明空間垂直時可謂三位一體.
空間中證明線線垂直,大都利用線面垂直的性質(zhì):如果一條直線垂直于一個平面,那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線.但利用的前提是需有線面垂直.
例1 如圖1,在空間四邊形PABC中,PA⊥底面ABC,側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC.
求證:AB⊥BC.
圖1
分析我們可先證明AB(或BC)垂直于BC(或AB)所在的一個平面,即可證明AB⊥BC了.
證明過點(diǎn)A作AD⊥PB于點(diǎn)D.
因?yàn)閭?cè)面PAB⊥側(cè)面PBC,
且側(cè)面PAB∩側(cè)面PBC=PB,
所以AD⊥平面PBC.
又因?yàn)锽C?平面PBC,
所以BC⊥AD.
因?yàn)镻A⊥底面ABC,BC?平面ABC,
所以BC⊥PA.
因?yàn)锳D?平面PAB,PA?平面PAB,AD∩PA=A,
所以BC⊥平面PAB.
因?yàn)锳B?平面PAB,
所以AB⊥BC.
點(diǎn)評本題的轉(zhuǎn)化過程為:面面垂直→線面垂直→線線垂直→線面垂直→線線垂直,總的趨勢是由高維向低維轉(zhuǎn)化,其間應(yīng)用了面面垂直的性質(zhì)定理,線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理.
空間中證明線面垂直,常用的方法有兩種:一是應(yīng)用線面垂直的判定定理,一是應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理.
例2 如圖2,在斜邊為AB的Rt△ABC中,過點(diǎn)A作PA⊥平面ABC,AM⊥PB于點(diǎn)M,AN⊥PC于點(diǎn)N,求證:PB⊥平面AMN.
圖2
分析欲證PB⊥平面AMN,因?yàn)锳M⊥PB,所以只需在平面AMN中再找一條和PB垂直的直線即可,考慮和AN有關(guān)的垂直關(guān)系較多,我們選定AN為論證目標(biāo).
證明因?yàn)镽t△ABC的斜邊為AB,
所以BC⊥AC.
因?yàn)镻A⊥平面ABC,BC?平面ABC,
所以BC⊥PA.
打仗要勇敢,搞學(xué)術(shù)研究為什么還要膽識呢?似乎兩者關(guān)系不大,最近有記者問我,說閻老師你認(rèn)為做一個研究員最重要的品格是什么呢?我的回答是兩個字“勇敢”。
因?yàn)镻A?平面PAC,AC?平面PAC,AC∩PA=A.
所以BC⊥平面PAC.
因?yàn)锽C?平面PBC,
所以平面PAC⊥平面PBC.
因?yàn)锳N?平面PAC,
平面PAC∩平面PBC=PC,AN⊥PC,
因?yàn)镻B?平面PBC,
所以AN⊥PB.因?yàn)锳M⊥PB,AM?平面AMN,
AN?平面AMN,AM∩AN=A,
所以PB⊥平面AMN.
點(diǎn)評本題的轉(zhuǎn)化過程為:線線垂直→線面垂直→
面面垂直→線面垂直→線線垂直→線面垂直.
證明面面垂直離不開線線垂直和線面垂直.
例3 如圖3,已知直角梯形ABCD中AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD.證明:面PAD⊥面PCD.
圖3
分析根據(jù)題目條件可考慮利用面面垂直的判定定理證明.
證明因?yàn)镻A⊥面ABCD,CD?面ABCD,所以CD⊥PA.
因?yàn)椤螪AB=90°,AB∥DC,
所以CD⊥AD.
因?yàn)镻A?面PDA,AD?
面PDA,PA∩AD=A,
所以CD⊥面PAD.CD?面PCD,
所以面PAD⊥面PCD.
點(diǎn)評本題的轉(zhuǎn)化過程為:線面垂直→線線垂直→線面垂直→面面垂直.
立體幾何中最常見的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想,由本文我們可發(fā)現(xiàn),證明垂直關(guān)系的過程實(shí)質(zhì)上就是空間三種垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的過程,轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是空間垂直的判定定理和性質(zhì)定理,所以對這些定理我們一定要注意熟練掌握、靈活運(yùn)用.