張洪笙

在許多題目中，常見求一點關(guān)于某直線對稱的點的坐標問題，如，求點A（-2，1）關(guān)于直線y=±x+2對稱的點A′的坐標.

解此類問題，通常的方法是：

設(shè)點A′的坐標為（x0，y0），由于點A，A′關(guān)于直線l對稱，則有：

（1）AA′⊥l；

（2）AA′中點在直線l上.

由這兩個條件列方程組求得（x0，y0），即可得點A′的坐標.

由于直線l：y=-x+2的方程形式，是形如y=±x+m（m≠0）的形式，為此，介紹一種簡單求法.

已知一點M（a，b），此點關(guān)于直線y=±x+m（m≠0）對稱的點N的坐標可由直線方程和已知點M的坐標直接得出.

不妨取直線方程y=±x+m（m≠0）.設(shè)N點的坐標為（p，q），若求N點的橫坐標，將直線方程化為x=y-m，用M點的縱坐標b代替y即得N點的橫坐標，即p=b-m.同理，將M點的橫坐標a代入方程y=x+m，得N點的縱坐標，即q=a+m，于是N點的坐標為（b-m，a+m）.

下面來證明這個結(jié)論.

分析我們知道，一點（a，b）關(guān)于直線y=±x對稱的點坐標為（±b，±a），由于直線y=±x+m其沿著y軸方向向上或向下平移|m|個單位，使得到直線y=±x，所以類似地可求出點M（a，b）關(guān)于直線y=x+m（m≠0）的對稱點的坐標.

證明如圖所示，直線y=x+m（m≠0），方程變形為y-m=x，令y=-y′，x=x′，則將坐標原點移到O′（0，m），直線y=x+m在新坐標系中的方程為y′=x′，則點M（a，b）在新坐標系中的坐標為M′（a，b-m），那么點M′（a，b-m）關(guān)于直線y′=x′對稱的點N的坐標為（b-m，a），則點N在原坐標系下的坐標N（b-m，a+m），即點M（a，b）關(guān)于直線y=x+m（m≠0）對稱的點N的坐標為（b-m，a+m）.

同樣，可求出點M（a，b）關(guān)于直線y=-x+m（m≠0）的對稱點的坐標為（-b+m，-a+m），證畢.

用此方法，直接可求出前面例子中的點的坐標：x0=2-1=1，y0=2-（-2）=4，即A′（1，4）.方法十分簡捷.

若直線方程式為Ax+By+C=0（AB≠0），當|A|=|B|時，方程可化為y=±x-CB，再由上述方法求出一點關(guān)于直線對稱的點的坐標，下面看兩個例子.

例1求點P（-2，3）關(guān)于直線x-y+4=0對稱的點Q的坐標.

解設(shè)Q點的坐標為（x0，y0），則x0=3-4=-1，y0=-2+4=2，即Q（-1，2）.

例2求點A（4，-3）關(guān)于直線2x+2y-5=0對稱的點B的坐標.

解設(shè)B點坐標為（m，n），方程2x+2y-5=0化為y=-x+52，則可得m=52-（-3）=112，n=-4+52=-32，即B112，32.

可見，用這種方法求形如直線y=±x+m（m≠0）的對稱點的坐標問題十分簡捷.