朱悅

[摘 要] 基本模型作為一種重要的解題思路，能夠?qū)狠S題型進(jìn)行分類，幫助學(xué)生快速找到突破口，完成問題的解答. 本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對(duì)基本模型展開論述，為一線數(shù)學(xué)教師講解壓軸題奠定基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] 基本模型；壓軸題；解題策略

隨著新課程改革的實(shí)施，中考數(shù)學(xué)的考試重點(diǎn)也發(fā)生了變化，單純的基礎(chǔ)知識(shí)和基本解題技能的考查逐漸減少，更多的是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)解題綜合能力的考查. 尤其是中考數(shù)學(xué)的壓軸題，對(duì)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力提出了更高的要求. 通過近些年對(duì)中考數(shù)學(xué)題的觀察發(fā)現(xiàn)，壓軸題具有較強(qiáng)的選拔性，能夠拉開學(xué)生之間的得分，外加它較強(qiáng)的綜合性，很多學(xué)生都會(huì)產(chǎn)生畏懼心理. 作為一線教師，要注重?cái)?shù)學(xué)方法的滲透，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行審題，找出關(guān)鍵信息，進(jìn)而總結(jié)解題的策略.

基本模型概述

通過對(duì)中考數(shù)學(xué)壓軸題的分析發(fā)現(xiàn)，在這些形式多樣的題目中，都會(huì)隱藏一些最基本的特點(diǎn)，將這些題目中的不同信息剝離以后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們存在著共同的基本模型. 通過教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)不同題目之間的共性問題，幫助他們總結(jié)壓軸題的解題策略. 在中考數(shù)學(xué)壓軸題中，最常見的基本模型有以下幾類：A型、8型、K型、反A型等（如圖1～圖4）.

基本模型解題意義

在解決中考數(shù)學(xué)壓軸題的時(shí)候，我們需要通過問題的分析，構(gòu)造出一個(gè)基本的思維輪廓，然后根據(jù)這個(gè)思維輪廓去填充條件，這個(gè)思維輪廓就是基本模型，一旦掌握了基本模型，很多壓軸題就可以迎刃而解，這個(gè)過程就是建立數(shù)學(xué)模型的過程.

數(shù)學(xué)建模思想是學(xué)生必須要掌握的一種解題思想方法，通過這一思想方法，能夠?qū)?fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，將抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系剝離出來，還原成為自身熟悉能夠識(shí)別的數(shù)學(xué)問題，從而達(dá)到解題的目的. 另一方面，對(duì)于中考數(shù)學(xué)的壓軸題，涵蓋的知識(shí)較多，如果教師在課上進(jìn)行講解，需要花費(fèi)大量的時(shí)間，每節(jié)課最多講1～2個(gè)問題，這給很多數(shù)學(xué)教師帶來了困擾. 而借助數(shù)學(xué)基本模型，將不同基本模型的解題方式教給學(xué)生，再遇到問題的時(shí)候，學(xué)生只需要從復(fù)雜的壓軸題中提取出基本模型，就可以完成解題，這樣大大地提高了教師關(guān)于壓軸題的教學(xué)效率.

基本模型在壓軸題中的應(yīng)用

1. 基本模型在動(dòng)態(tài)幾何類壓軸題中的應(yīng)用

動(dòng)態(tài)幾何問題是中考數(shù)學(xué)壓軸題的熱門考點(diǎn)，它主要考查學(xué)生結(jié)合圖形的分析和認(rèn)知能力. 該部分的知識(shí)主要包含了點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)等問題，主要研究這些數(shù)量關(guān)系的動(dòng)態(tài)變化過程. 在動(dòng)態(tài)幾何變化的過程中，它的規(guī)律是不變的，我們只需要抓住這一規(guī)律來分析題目就可以很好地解決這一問題，其中這一“規(guī)律”就是我們所說的基本模型.

通過對(duì)該壓軸題的分析可以看出，該題目涉及的是動(dòng)態(tài)幾何問題，我們首先要挖掘出它的基本模型. 通過圖像我們可以看出該題目中的圖形主要涉及了A型、8型、K型，我們就圍繞這幾種模型圖的解法來對(duì)這一問題展開求解.

2. 基本模型在平面幾何類壓軸題中的應(yīng)用

模型的思想不僅蘊(yùn)藏于概念、公式等部分的知識(shí)中，還與數(shù)感、空間觀念密切聯(lián)系. 對(duì)于中考數(shù)學(xué)的壓軸題來說，它們重點(diǎn)考查學(xué)生的推理能力、綜合分析能力，很多時(shí)候基本模型不容易尋找，這個(gè)時(shí)候就需要我們?nèi)ズ侠淼貥?gòu)造基本模型，這樣才能夠完成壓軸題的求解. 在構(gòu)造基本模型的時(shí)候，重點(diǎn)要抓住節(jié)點(diǎn)，一般情況下這類節(jié)點(diǎn)主要涉及比例、倍數(shù)的關(guān)系，這是構(gòu)造輔助線和基本模型的關(guān)鍵所在. 例如，圖7、圖8中的D，E，O三點(diǎn)就屬于節(jié)點(diǎn).

例：如圖9，在三角形ABC中，AD是BC的中線，E是AD的中點(diǎn)，連接CE 且CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，那么AF和BF之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系？

在解決這一問題的時(shí)候，首先要尋找節(jié)點(diǎn)，圍繞節(jié)點(diǎn)來構(gòu)造基本模型. 在這一問題中，首先過D點(diǎn)作DG平行于AB交CF于點(diǎn)G，再證明三角形AEF和三角形DEG全等，然后證明三角形CGD和三角形CBF相似，這樣就可以求出AF和BF的數(shù)量關(guān)系.

3. 基本模型在代數(shù)幾何綜合類壓軸題中的應(yīng)用

對(duì)于代數(shù)幾何綜合類的中考?jí)狠S題來說，主要分為兩種，一種是借助簡(jiǎn)單的幾何圖形來考查學(xué)生的計(jì)算能力，另一種就是側(cè)重幾何圖形，借助幾何圖形的性質(zhì)來完成解題. 不論是哪一種題型，都需要我們?nèi)ふ移渲械幕灸Ｐ?，進(jìn)而簡(jiǎn)化問題，完成問題的解答.

在解決這一問題的時(shí)候，尋找題目中的基本模型是解題的關(guān)鍵，題目中涉及到了直角三角形，我們就可以尋找關(guān)于K型圖的基本模型來求解. 在這一問題中，三角形PAE為直角三角形分為三種情況，分別是A為直角頂點(diǎn)的三角形、E為直角頂點(diǎn)的三角形和P為直角頂點(diǎn)的三角形.

基本模型思想教學(xué)建議

1. 培養(yǎng)學(xué)生基本模型的直觀感受

中考?jí)狠S題綜合性較強(qiáng)，重在考查學(xué)生的推理分析能力和合理猜想能力，很多時(shí)候很難發(fā)現(xiàn)題目中的基本模型，需要我們深入分析，有時(shí)候還需要我們?nèi)?gòu)建基本模型，一旦找出基本模型，壓軸題就可以迎刃而解，因此，基本模型的尋找與構(gòu)造非常關(guān)鍵.

首先，要教會(huì)學(xué)生看圖與識(shí)圖，在平時(shí)的教學(xué)中向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，遇到問題先從直觀的角度去分析，然后再研究它們的數(shù)量關(guān)系. 其次，要培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，想要解決壓軸題，就必須理清題目中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，弄清楚所給的小題之間的關(guān)系，這樣能夠幫助我們更加快速有效地尋找基本模型. 需要注意的是，在解決壓軸題的時(shí)候，不要將精力放在押題上，那樣會(huì)事倍功半，我們要將基本模型的尋找和構(gòu)造作為教學(xué)的重點(diǎn)來展開，這樣才能夠提高壓軸題部分教學(xué)的效率.

2. 教授學(xué)生基本模型的構(gòu)造方法

通過前邊的分析我們可以看出，在課上進(jìn)行壓軸題的講解耗時(shí)耗力，效率較低，借助基本模型，將壓軸題進(jìn)行分類，能夠幫助我們高效地完成壓軸題的教學(xué). 因此，發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造基本模型是解決壓軸題的關(guān)鍵所在. 學(xué)生在審題的時(shí)候，不要因題想題，要根據(jù)具體題型，尋找題目中隱含的基本模型，如有需要，還要去構(gòu)造基本模型. 在教學(xué)中，教師不能夠因題去講題，要注重知識(shí)體系的講解，借助基本模型將知識(shí)構(gòu)成體系，這樣才能夠幫助學(xué)生更好地分析壓軸題. 一旦掌握了基本模型，學(xué)生再遇到壓軸題，就不會(huì)望“圖”興嘆了.

總結(jié)

中考數(shù)學(xué)的壓軸題，涵蓋的知識(shí)較多，借助基本模型能夠?qū)⑦@些復(fù)雜的知識(shí)和題目加以分類，教師在對(duì)壓軸題的教學(xué)中就不需要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力以單個(gè)問題的形式來對(duì)學(xué)生講解，只需要借助基本模型，將這幾類壓軸題型加以說明，讓學(xué)生通過模型對(duì)號(hào)的方式完成教學(xué)，從而大大提高中考?jí)狠S題的教學(xué)效果，提高學(xué)生解決中考數(shù)學(xué)壓軸題的能力.