指向高階思維的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略
——基于“直角三角形全等的判定”的教學(xué)實(shí)踐

馮 劍，周慶忠

（浙江省杭州第十中學(xué)；浙江省杭州市富陽區(qū)教育發(fā)展研究中心）

強(qiáng)化并貫穿于各種教育目的的中心目的——教育的基本思路，就是要培養(yǎng)思維能力.美國(guó)教育家布盧姆按照認(rèn)知的復(fù)雜程度，將思維過程具體化為六個(gè)類目的行為表現(xiàn)，由低到高包括記憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造.其中，前三者是低階思維，體現(xiàn)在學(xué)習(xí)事實(shí)性知識(shí)或完成簡(jiǎn)單任務(wù)的能力，是較低層次的認(rèn)知水平；而分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造為高階思維，是發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或認(rèn)知能力.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》倡導(dǎo)的是問題解決、自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力和創(chuàng)新能力，這種教學(xué)方式的變革需要我們的課堂從低階思維走向高階思維.學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展需要培養(yǎng)學(xué)生的理性精神、數(shù)學(xué)思考、思維能力，這些核心素養(yǎng)的關(guān)鍵因素需要我們的課堂從低階思維走向高階思維.信息時(shí)代，需要的是如何學(xué)會(huì)檢索、操縱信息，學(xué)會(huì)篩選、重組和應(yīng)用信息，這些計(jì)算機(jī)所不能的思維也需要我們的課堂從低階思維走向高階思維.從教學(xué)方式的變革、素質(zhì)教育目標(biāo)的達(dá)成、信息技術(shù)的發(fā)展來看，高階思維已成為現(xiàn)代教學(xué)的核心價(jià)值取向和課堂教學(xué)的目標(biāo)追求，同時(shí)也是提高教育、教學(xué)質(zhì)量和培養(yǎng)創(chuàng)新人才的有效途徑.那么，如何使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)指向高階思維呢？下面筆者以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第2章第8節(jié)“直角三角形全等的判定”為例，談?wù)勚赶蚋唠A思維的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的幾點(diǎn)策略.

一、情境創(chuàng)設(shè)，在激發(fā)與同理過程中指向高階思維

思維的行為表現(xiàn)要求學(xué)生把信息分解成一個(gè)個(gè)部分來加以理解，在課堂上伴隨著學(xué)生的討論、發(fā)現(xiàn)、深入思考、積極參與等行為.真實(shí)的、有意義的問題情境的創(chuàng)設(shè)，往往能激發(fā)學(xué)生的內(nèi)隱學(xué)習(xí)動(dòng)力，使學(xué)生參與課堂的討論、思考，繼而發(fā)現(xiàn)解決問題的方法.這樣的情境導(dǎo)入有助于學(xué)生深化對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，有助于學(xué)生進(jìn)行高階思維活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)新的知識(shí)建構(gòu).

環(huán)節(jié)1：情境導(dǎo)入環(huán)節(jié)設(shè)計(jì).

師：老師家里有一塊如圖1所示的直角三角形玻璃不小心弄破了，想到店里重新配一塊.但是，老師到了商店卻忘帶了玻璃，那么老師需要知道哪些量，才能配到一塊一模一樣的玻璃呢？

生1：知道AB和BC的長(zhǎng)度即可.因?yàn)椋ㄟ^SAS可以證明直角三角形全等.

圖1

生2：只要知道∠A的度數(shù)和AB的長(zhǎng)度，用到證明直角三角形的方法是ASA.

師：很好！用證明三角形全等的方法可以確定直角三角形玻璃的大小和形狀是一樣的.那么，還有其他的方法嗎？

生3：也可以用AAS，SSS來證明！

師：剛才大家用到已學(xué)的四種方法，證明了直角三角形全等的條件.請(qǐng)問老師只知道AB和AC的長(zhǎng)度，可以配到一塊全等的玻璃嗎？

學(xué)生不由自主地相互辯論起來，有的說這是SSA，不能證明全等；有的說可以……

上述課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，讓學(xué)生自主探索證明直角三角形的條件，既復(fù)習(xí)了SSS，SAS，ASA，AAS等已學(xué)判定方法，又為HL定理的引出做好了鋪墊.高階思維的發(fā)生源自學(xué)生對(duì)意義的追求，所以課堂的情境導(dǎo)入是否能滿足學(xué)生的思維需求就顯得十分重要了.為了使課堂指向高階思維，教師在此環(huán)節(jié)中可以跟進(jìn)以下兩種策略.

第一，設(shè)計(jì)有意義的情境.案例中需要知道哪些量才能配到一塊一模一樣的玻璃這一情境可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，益于調(diào)動(dòng)其已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，并為問題解決提供持久的內(nèi)驅(qū)力.課堂只有將問題解決所需要的學(xué)科知識(shí)、策略性知識(shí)及元學(xué)習(xí)知識(shí)鑲嵌于真實(shí)、復(fù)雜的情境之中，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的意愿，才能為高階思維教學(xué)做好情感鋪墊.

第二，設(shè)計(jì)具身性的問題.課堂的導(dǎo)入問題設(shè)計(jì)要充分考慮和尊重學(xué)生的差異，使學(xué)生能積極參與到課堂的討論中來.案例中四種不同的證明全等的方法，以及對(duì)SSA能否證明直角三角形全等的不同想法的表達(dá)，都是學(xué)生不同認(rèn)知習(xí)慣和認(rèn)知方式的一種理解.這樣的課堂才能實(shí)現(xiàn)思維的升格和新知識(shí)的意義增值.

二、定理探究，在探索與綜合過程中指向高階思維

思維的行為表現(xiàn)需要學(xué)生在深入思考、比較、評(píng)估的基礎(chǔ)上做出決策，在課堂上伴隨著學(xué)生的爭(zhēng)論、比較、評(píng)價(jià)、決定、選擇、證明、積極參與等行為.課堂的探究活動(dòng)過程往往要求學(xué)生認(rèn)真收集和處理問題的信息，經(jīng)過觀察、分析、綜合、比較、選擇、概括、猜想和證明等深層次的探索活動(dòng)，并認(rèn)真研究，才能獲得解決問題的答案.指向高階思維的課堂就需要這樣的探索和綜合活動(dòng)過程.

環(huán)節(jié)2：探索定理環(huán)節(jié)設(shè)計(jì).

問題：如圖2，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′，求證：Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′.

圖2

師：小組討論，合作探究.要求運(yùn)用多種方法證明兩個(gè)直角三角形全等.（可借用桌面上的兩個(gè)直角三角形紙板進(jìn)行探究.）

生4：在直角三角形中，我們可以利用勾股定理求得BC=B′C′，然后利用SSS證明這兩個(gè)直角三角形全等.

師：很好！通過勾股定理計(jì)算可知第三組對(duì)應(yīng)邊相等.還有其他方法嗎？

生5：如圖3，我們把兩個(gè)直角三角形拼成等腰三角形ABB′，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”定理可知，AC是∠ABB′的平分線，然后利用AAS或ASA證明全等.

師：太棒了！利用直角三角形紙板，根據(jù)已知可拼成一個(gè)等腰三角形.這種方法叫做“構(gòu)造法”！還有不同的想法嗎？

生6：也可以拼成如圖4所示的圖形，連接CC′.

圖4

由題意可知，△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′=∠AC′C.因?yàn)椤螩=∠C′=90°， 所 以∠BCC′=∠BC′C.由此可得等腰三角形BCC′，從而得到BC=BC′，最后利用SAS證明全等.

師：真會(huì)動(dòng)腦筋，圖形構(gòu)造得很好！下面大家用自己的語言來敘述一下這個(gè)直角三角形的判定定理.

學(xué)生歸納、交流、補(bǔ)充，教師對(duì)學(xué)生不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言進(jìn)行改進(jìn).

文字語言：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.簡(jiǎn)寫：“斜邊、直角邊”或“HL”.

幾何語言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，可以由

案例中，整個(gè)定理探究活動(dòng)由學(xué)生小組合作探究完成.用勾股定理證明比較容易想到，但構(gòu)造法學(xué)生接觸不多，較難形成思路.在探究時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生用好兩個(gè)直角三角形的素材進(jìn)行拼接，使構(gòu)造法更容易得到.高階思維的形成需要富有探索性和創(chuàng)造性的探究活動(dòng)，需要復(fù)雜多元和靈活多變的探究問題.為了使課堂指向高階思維，教師在此環(huán)節(jié)中可以跟進(jìn)以下兩種策略.

第一，設(shè)計(jì)探究性活動(dòng).直角三角形判定定理的探索是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，如果只用勾股定理的方法進(jìn)行證明，那么學(xué)生就失去了定理證明的探究過程.案例中，巧妙的利用兩個(gè)直角三角形紙板讓學(xué)生進(jìn)行探索，使學(xué)生體驗(yàn)探索的過程，促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)方法的轉(zhuǎn)變.兩種利用構(gòu)造法的證明方法，正是學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的有效體現(xiàn).而這也是高階思維課堂所要關(guān)注的重要要素.

第二，引導(dǎo)學(xué)生術(shù)語表達(dá).眾所周知，語言表達(dá)是概念學(xué)習(xí)過程中非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)中各種結(jié)論的獲得都要依靠邏輯推理，而數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力直接影響邏輯推理的進(jìn)行.案例中，由于前面已經(jīng)有了充分的探索和討論，故可試著讓學(xué)生自己概括出定理的文字語言，教師在此基礎(chǔ)上進(jìn)行修正、提升，同時(shí)還需要從精密性的角度讓學(xué)生解釋定理的符號(hào)語言表達(dá)內(nèi)容與之前所學(xué)的四個(gè)判定全等的定理的區(qū)別.

三、疑點(diǎn)突破，在批判與思辯過程中指向高階思維

思維的行為表現(xiàn)需要學(xué)生在對(duì)問題分析、檢查、探測(cè)、判斷、評(píng)論、反思的基礎(chǔ)上促進(jìn)對(duì)知識(shí)的深層次理解.課堂教學(xué)疑點(diǎn)的突破需要學(xué)生嚴(yán)格的估計(jì)思維材料、評(píng)價(jià)解題思路選擇的是否正確，以及評(píng)價(jià)這種思路必然導(dǎo)致的結(jié)果，精細(xì)地檢查歸納、分析和直覺的推理過程.思維一定是由難題和疑問或一些困惑、混淆、懷疑引發(fā)的，指向高階思維的課堂就需要這樣的批判與思辨活動(dòng)過程.

環(huán)節(jié)3：疑點(diǎn)突破環(huán)節(jié)設(shè)計(jì).

生7：老師，直角三角形全等可以用HL定理，那么之前我們?yōu)槭裁凑fSSA不能證明三角形全等呢？

師：非常好，那么，我們就來探討一下，在什么條件下，SSA能判定三角形全等.

生8：在直角三角形中，就是今天學(xué)習(xí)的HL定理！

師：很好！是不是只有在證明直角三角形全等時(shí)可以呢？究竟是什么原因造成的呢？下面大家先進(jìn)行畫圖操作：如圖5，已知線段c及∠θ（∠θ為銳角），畫△ABC，使AB=c，∠A=θ，BC=a，并回答問題：其中，線段a的長(zhǎng)度取何值時(shí)，能且只能畫出一個(gè)△ABC？

圖5

圖6

學(xué)生專注的思考、畫圖，教師巡視、指點(diǎn).

生9：如圖6，我發(fā)現(xiàn)△BCC′是等腰三角形，所以我畫了兩個(gè)△ABC.

師：沒有關(guān)系，雖然沒有完成任務(wù)，但是生9給我們提供了一個(gè)方向.那么，點(diǎn)C′一定能保證 畫出這個(gè)等腰三角形嗎？

生10：如圖7，我發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)C，C′重合，即當(dāng)∠C=90°時(shí)，就只能畫出一個(gè)△ABC.

圖7

師：為什么？

生10：因?yàn)樵谕黄矫鎯?nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，所以當(dāng)a等于點(diǎn)B到AC的距離時(shí)，能且只能畫出一個(gè)△ABC.

師：很好！生10考慮了點(diǎn)C在直線AC上的特殊位置.還有其他情形嗎？

圖8

生11：如圖8，當(dāng)a=c時(shí)，也只能畫出一個(gè)△ABC，并且它是等腰三角形ABC.

圖9

師：好！還有不同意見嗎？

生12：如圖9，我發(fā)現(xiàn)當(dāng)a＞c時(shí)，雖然△BCC′是等腰三角形，但是∠BAC′不是銳角了.所以，我認(rèn)為此時(shí)也只能畫出一個(gè)△ABC.

師：確實(shí)如此，另一個(gè)△ABC是不滿足條件的！大家的發(fā)言都很精彩.下面小組合作討論，總結(jié)、歸納這個(gè)問題.

生13：當(dāng)a等于點(diǎn)B到AC的距離時(shí)，或者a≥c時(shí)，根據(jù)上述條件能且只能畫出一個(gè)△ABC.當(dāng)a小于c且大于點(diǎn)B到AC的距離，即d＜a＜c時(shí)，會(huì)畫出兩個(gè)不同的滿足條件的△ABC.

師：很棒！通過畫圖，我們發(fā)現(xiàn)在特定條件下，SSA可以判定三角形全等.其中圖7闡釋了今天我們學(xué)習(xí)的HL定理.關(guān)于SSA的問題我們也終于徹底解決了.

案例中，由學(xué)生提出的一個(gè)質(zhì)疑問題開始，教師設(shè)計(jì)與此問題有關(guān)的問題情境，變學(xué)生被動(dòng)思維為主動(dòng)思維.從生9一個(gè)不成功的圖形開始，引導(dǎo)學(xué)生通過點(diǎn)C在直線AC上的不同位置進(jìn)行有序探究，從而有效促進(jìn)探索SSA判斷全等三角形的條件.高階思維的形成需要對(duì)問題的方案和結(jié)論存在的錯(cuò)誤進(jìn)行質(zhì)疑和批判，并且引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨、創(chuàng)造，以生成可行的方案和正確的結(jié)論.為了使課堂指向高階思維，教師在此環(huán)節(jié)中可以跟進(jìn)以下兩種策略.

第一，創(chuàng)建批判性氛圍.教學(xué)中學(xué)生的質(zhì)疑、批判也許說是與生俱來的，但批判性思維并不能由此而自然生長(zhǎng)出來.只有當(dāng)“批判”成為學(xué)習(xí)的一種習(xí)慣和一種生活方式，批判性思維才能應(yīng)運(yùn)而生.所以給學(xué)生創(chuàng)建批判性氛圍，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)呐行詥栴}，學(xué)生才能做到不盲從、不盲信，才能保持質(zhì)疑與懷疑，才不會(huì)人云亦云.

第二，設(shè)計(jì)批判性問題.在動(dòng)手操作畫圖的教學(xué)過程中，體驗(yàn)角θ的對(duì)邊BC與鄰邊AB不同大小關(guān)系對(duì)所畫圖形的影響，進(jìn)而感悟有序探究的思想方法.學(xué)生在活動(dòng)、問題和對(duì)話中經(jīng)歷“質(zhì)疑—猜測(cè)—操作—?dú)w納”的過程，獲得了分析、解決問題的成功體驗(yàn)和感悟，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和思維品質(zhì).

四、編題、賞題，在創(chuàng)新與評(píng)價(jià)過程中指向高階思維

思維的行為表現(xiàn)需要學(xué)生使用先前所學(xué)到的知識(shí)，形成新的觀點(diǎn)、信息，在課堂上伴隨著學(xué)生的設(shè)計(jì)、闡述、計(jì)劃、修改、生成、建議、制作等行為.編題和賞題需要學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)，觀察、分析、研究自己在學(xué)習(xí)中遇到的問題，創(chuàng)造性地提出解決這些問題的方案.同時(shí)，需要對(duì)方案的合理性、有效性進(jìn)行預(yù)測(cè)、分析和比較，以便做出鑒別、選擇和改進(jìn).指向高階思維的課堂就需要在課堂上打開學(xué)生的分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造之窗.

環(huán)節(jié)4：編題、賞題環(huán)節(jié)設(shè)計(jì).

教師從角平分線的模型中繼續(xù)引發(fā)學(xué)生思考：若在AC上任取一點(diǎn)H，HE和HB有什么數(shù)量關(guān)系？

例題講解：如圖10，設(shè)∠ABC=∠AEC=90°，H是AC上一點(diǎn)，BC=EC，求證：EH=BH.

圖10

本例是為了鞏固兩大定理而設(shè)計(jì).解題的方法具有多樣性，從用兩次全等的證明，到用一次全等的證明，再到不用全等證明.教師引導(dǎo)學(xué)方法逐步深入，更顯巧妙.

變式練習(xí)：如圖11，點(diǎn)A，C，D在同一條直線上，∠A=∠D=90°，∠CBE=∠CEB，AC=DE，求∠BCE的度數(shù).

圖11

此練習(xí)題難度不大，主要是為了落實(shí)、鞏固基礎(chǔ)，由學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視發(fā)現(xiàn)不足，投影展示.課堂中教師在例題講解和變式練習(xí)之后，安排了如下編題、賞題環(huán)節(jié).

我能編好題：小組合作——好題diy.

編題要求：①各小組利用給定的兩個(gè)直角三角形拼成一幅基礎(chǔ)圖形，釘在KT板上；

②根據(jù)所拼的圖形，設(shè)置條件，給出結(jié)論；

③根據(jù)出題的需要，可以在基礎(chǔ)圖形上增加線段、射線和直線等；

④要求證明其結(jié)論過程中要用到HL定理的知識(shí)；

我能評(píng)好題：我對(duì)________組編的題目進(jìn)行評(píng)價(jià).

①?gòu)臈l件（是否嚴(yán)謹(jǐn)，是否有重復(fù)、累贅或無用）看___________________________；

②從結(jié)論（結(jié)論能否證明，是否能夠得出其他正確的結(jié)論）看_____________________；

③此題主要用了________________數(shù)學(xué)知識(shí).

從前面的幾個(gè)模型，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其都是由兩個(gè)直角三角形拼出來的，通過添加一些條件，可以得出不同的結(jié)論，相信學(xué)生也能編出優(yōu)秀的題目.此環(huán)節(jié)主要讓學(xué)生發(fā)揮創(chuàng)新能力、邏輯推理能力、小組合作能力、表達(dá)能力等.從編題到賞題，鍛煉學(xué)生猜想、核查、評(píng)估、創(chuàng)造等技能，在運(yùn)用高階思維的過程中，問題解決相伴相生.為了使課堂指向高階思維，教師在此環(huán)節(jié)中可以跟進(jìn)以下兩種策略.

第一，設(shè)計(jì)開放性問題.案例中，“我能編好題”環(huán)節(jié)能給所有學(xué)生示范一些知識(shí)、技能，提供理解的機(jī)會(huì)，為學(xué)生提供了進(jìn)行超出能力范圍的推理、思考的平臺(tái)，從編題的反饋也能夠看到學(xué)生使用廣泛的解決方法和策略.孤立的、封閉的、結(jié)構(gòu)良好的問題，局限了學(xué)生在新、舊知識(shí)上的串聯(lián)與重組，很難引發(fā)學(xué)生展開反思、批判、創(chuàng)新等思維活動(dòng)，必然達(dá)不到發(fā)展高階思維的目的.而課堂中的“你能設(shè)計(jì)一個(gè)……嗎？你能提出一個(gè)建議，將……嗎？如果……，將發(fā)生什么？”等一些具有具挑戰(zhàn)性問題更能打開學(xué)生的思維，使學(xué)生在思維“對(duì)話”和碰撞中活化所學(xué)的知識(shí).

第二，提供“生生評(píng)價(jià)”平臺(tái).案例中，“我能評(píng)好題”環(huán)節(jié)能讓學(xué)生對(duì)其他小組編寫的題目的合理性和有效性進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，在找出不足和錯(cuò)誤的同時(shí)，提出整改措施.這種生生評(píng)價(jià)的活動(dòng)可以讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)思路、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)策略展開深度咀嚼、反芻、總結(jié)、升華、拓展，從而培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力和自我反思能力，加深學(xué)生對(duì)題目的理解，提高解題效率和能力.

美國(guó)教育家杜威曾指出，問題的本質(zhì)決定了思考的結(jié)果，思考的結(jié)果控制著思維的過程.這一思維過程的本質(zhì)即是高階思維.圍繞促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的發(fā)展，已成為當(dāng)代教育研究者最為重要的課題之一.因此，課堂教學(xué)不能只停留在課堂教學(xué)形態(tài)與內(nèi)容的變革上，而應(yīng)更多地關(guān)注課堂思維含量、思維品質(zhì)和課堂效益等問題.本文僅僅圍繞高階思維展開相關(guān)的嘗試、探索和反思，旨在拋磚引玉，還待有識(shí)之士進(jìn)一步地實(shí)踐研究.