陳 翔，張瑞紅

（湖北省宜昌市第三中學(xué)；黃岡師范學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院）

動(dòng)點(diǎn)問題是大家關(guān)注比較多的一種題型，由于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到不同的位置時(shí)，圖形也相應(yīng)地發(fā)生改變，所以教師在講解這類問題時(shí)如果借助幾何畫板軟件畫圖會(huì)十分直觀.下面筆者就這類問題的課件制作提供一些方法供讀者參考.

例1在△ABC中，BC=4,高AD=3,點(diǎn)F沿邊AC從A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)G，以EF為斜邊作等腰直角三角形PEF，且使點(diǎn)P，A在直線EF的異側(cè)，設(shè)EF=x,△PEF與四邊形BCFE重合部分的面積為y.

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，求線段AG的長(zhǎng)；

（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求x的取值范圍.

在制作該題目的課件時(shí)，一般都想畫出重疊部分的內(nèi)部，并用醒目的顏色標(biāo)識(shí).此題顯然有圖1，圖2所示的兩種情況.情況1：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部時(shí)，重疊部分就是△PEF的內(nèi)部.情況2：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外部時(shí)，重疊部分是一個(gè)梯形的內(nèi)部.

圖1

圖2

如果利用幾何畫板軟件先作出情況1時(shí)的△PEF的內(nèi)部，那么它在情況2時(shí)仍然可見，這顯然不行.下面介紹兩種解決問題的方法供讀者參考.

方法1：如果制作一個(gè)“隱藏/顯示”按鈕，使得在情況2時(shí)隱藏△PEF的內(nèi)部，而在情況1時(shí)顯示△PEF的內(nèi)部，此時(shí)無法做到當(dāng)點(diǎn)P剛剛到△ABC外部時(shí)就將△PEF內(nèi)部隱藏，不夠智能，所以這并不是最好的方法.筆者的思路是這樣的：用∠PDA的度數(shù)作為控制△PEF內(nèi)部的顏色參數(shù).因?yàn)楫?dāng)∠PDA是銳角時(shí)，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部；當(dāng)∠PDA是鈍角時(shí)，點(diǎn)P在△ABC的外部.也就是說，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外部時(shí)， 90°-∠PDA的值不存在，如果將△PEF內(nèi)部的顏色參數(shù)設(shè)置為1+那么點(diǎn)P在△ABC的外部時(shí)，由于該值不存在，△PEF內(nèi)部的顏色就不存在，因而不可見.具體作法是：先構(gòu)造△PEF內(nèi)部，并度量∠PDA的度數(shù)，再點(diǎn)擊“數(shù)據(jù)”，計(jì)算的值，選中該值和△PEF內(nèi)部，依次執(zhí)行命令“顯示、顏色、參數(shù)”，在彈出的對(duì)話框中，按圖3所示的方式設(shè)置即可.

圖3

實(shí)際上，1+0× 90°-∠PDA也可用1+0× 2.4-EF或代替，這里的2.4是當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，EF的長(zhǎng)度，1.8是當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，AG的長(zhǎng)度.

方法2：既然用常規(guī)方法所作的重疊部分的內(nèi)部容易相互干擾，如果能做到兩種情況下BC的平行線與AB的交點(diǎn)不同，就可以做到互不干擾.所以筆者將邊AB以點(diǎn)E0為界分成上下兩個(gè)部分（這里的E0就是當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)點(diǎn)E的位置），再隱藏線段AB，連接AE0，BE0，過點(diǎn)F作BC的平行線，分別作出這條平行線和線段AE0，線段BE0的交點(diǎn)，并將這兩個(gè)點(diǎn)的標(biāo)簽都設(shè)為點(diǎn)E，最后作出兩種情況下的重疊部分的內(nèi)部，就可以實(shí)現(xiàn)上述設(shè)想.至于點(diǎn)E0的位置確定，相信讀者能自行解決.讀者可以試試?yán)蒙鲜鰞煞N方法用幾何畫板軟件作出下題中的重疊部分.

練習(xí)1：在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AB=8，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn).P為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊向右作正方形PQMN，作出正方形PQMN與矩形EDBF的重疊部分.

提示：此題可分為如圖4所示的三種情況來設(shè)置.

圖4

例2在?ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1 cm的速度沿AB，BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作直線PM∥BD，PM與AD或DC交于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q也從點(diǎn)A出發(fā)沿同樣的路線、同樣的速度運(yùn)動(dòng).過Q作直線QN∥BD，QN與AD或DC交于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤10），試用t表示直線PM與QN截?ABCD所得圖形的面積S.

點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PM與QN截?ABCD所得圖形的面積有三種情況，如圖5，6，7所示的陰影部分.要用幾何畫板軟件畫出此題的動(dòng)態(tài)圖形，如果不熟悉幾何畫板軟件，會(huì)面臨兩個(gè)問題：一是如何在折線段ABC上作點(diǎn)P，并制作一個(gè)使得點(diǎn)P從點(diǎn)A連續(xù)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的按鈕；二是不同情況下如何作出點(diǎn)Q.下面筆者就這兩個(gè)問題的解決方法提供一些思路供讀者參考.

圖5

圖6

圖7

首先看第一個(gè)問題的解決方法，連接AC，在AC上作一點(diǎn)K，經(jīng)過點(diǎn)K作BD的平行線，將此平行線和線段AB，BC的交點(diǎn)的標(biāo)簽都設(shè)置為P，與線段AD，CD的交點(diǎn)的標(biāo)簽都設(shè)置為M，這樣就作出了點(diǎn)P，M.

如何作出點(diǎn)Q呢？為了便于讀者理解，我們以五邊形ABCDE為例介紹一下幾何畫板軟件中“點(diǎn)的值”的概念.先作五邊形ABCDE，再依次選中點(diǎn)A，B，C，D，E，執(zhí)行命令“構(gòu)造、五邊形的內(nèi)部”，選中該五邊形內(nèi)部，執(zhí)行命令“構(gòu)造、邊界上的點(diǎn)”，設(shè)此點(diǎn)為P，選中此點(diǎn)，執(zhí)行命令“度量、點(diǎn)的值”，這個(gè)值的意義就是當(dāng)它從起點(diǎn)A出發(fā)沿著五邊形的邊界運(yùn)動(dòng)到某一處時(shí)，已經(jīng)走過的路程和五邊形周長(zhǎng)的比值，根據(jù)這個(gè)比值就可以確定該點(diǎn)的位置.（注意：起點(diǎn)A是構(gòu)造五邊形的內(nèi)部時(shí)，第一個(gè)被選中的點(diǎn).）

練習(xí)2：正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿著正方形的邊CB，BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F的速度是點(diǎn)E的速度的兩倍，直線EF和直線AC交于點(diǎn)G.

（1）點(diǎn)F從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G的位置會(huì)發(fā)生改變嗎？試說明理由；

（2）點(diǎn)F從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G的位置會(huì)發(fā)生改變嗎？試說明理由.

綜上所述，利用幾何畫板軟件能畫出由于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形成的不同情況下的圖形，必須綜合利用幾何畫板軟件的度量、計(jì)算、繪制點(diǎn)等功能來解決問題.其主要思路是：如果想讓某種情況下圖形的一個(gè)部分可見，而在另一種情況下這一部分不可見，那么可以將這部分圖形和一個(gè)“后綴”是的值關(guān)聯(lián)，這里的a是自變量x的臨界值，利用這個(gè)值控制不同情況下的圖形的顯示和隱藏.另一種思路是將其中一條線段分成幾段，其分界點(diǎn)就是圖形的臨界狀態(tài).

以上是筆者用幾何畫板軟件制作涉及動(dòng)點(diǎn)問題課件的一些心得體會(huì)，供讀者參考.