劉家良

（天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學）

觀察是發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的思維端口，而聯(lián)想是架起知識之間、問題之間紐帶的一座橋梁，觀察、聯(lián)想兩者之間相輔相成.整體建構是解答中考壓軸題的策略之一，在整體建構中朝著目標方向去變形，靈活善變、異中求同，并從中提煉出思想方法，這就需要觀察與聯(lián)想的助力.細品2017年天津市中考試卷第25題，筆者深有感觸.

一、試題解析

題目已知拋物線y=x2+bx-3（b是常數(shù)）經(jīng)過點

（1）求該拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）P(m,t) 為拋物線上的一個動點，點P關于原點的對稱點為P′.

①當點P′落在該拋物線上時，求m的值；

②當點P′落在第二象限內，P′A2取得最小值時，求m的值.

分析：此題是2017年中考天津卷的最后一道試題，其中第（2）小題②問是此題的壓軸一問.第（1）小題用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，由拋物線的頂點坐標公式求頂點坐標.此小題面向全體，考查二次函數(shù)的基礎知識和基本技能；第（2）小題第①問需要綜合多個知識點：關于原點對稱的點的坐標規(guī)律，圖象上的點的坐標與函數(shù)式的關系，解方程（組）.其中消去未知數(shù)t變二元為一元，是解m值的關鍵所在，需要學生具有觀察、遷移和靈活的思維，此問檢測了中等生對相關知識的綜合運用能力；第②問具有較強的甄選功能：根據(jù)坐標的幾何意義構造直角三角形，確立P′A2的函數(shù)式，是破解此題的第一道突破口，將P′A2函數(shù)式中含有的兩個自變量m與t，設法變成含有一個自變量（m或t）的解析式是攔在眾多學生面前的一道“坎”，要越過這道“坎”，就要依據(jù)m和t的關系，將m用含t的式子表示，或將t用含m的式子表示，這其間蘊藏的悉心觀察、注重聯(lián)系、善于變形、整體建構，是解m值的一條思維主線.

解：（1）將點A(-1,0) 代入y=x2+bx-3中，

得1-b-3=0.

解得b=-2.

所以y=x2-2x-3.

得頂點坐標為(1,-4).

（2）①因為點P′與點P(m,t關于原點對稱，

所以點P′的坐標為P′(-m,-t).

因為點P，P′都在拋物線y=x2-2x-3上，

所以m2-2m-3=t，m2+2m-3=-t.

兩式相加，得2m2-6=0.

② （方法1）由題意，知點P(m,t) 在第四象限內，

所以m＞0，t＜0.

由x2-2x-3=0，得

即拋物線y=x2-2x-3與x軸的交點坐標為(-1,0),(3,0).

因為點P(m,t) 為拋物線上的點，

所以0＜m＜3，m2-2m-3=t.

所以m2-2m=t+3.

由兩點間的距離公式，得

所以P′A2=t2+t+4.

因為0＜m＜3，

（方法2）由題意，知點P(m,t) 在第四象限內，

所以m＞0，t＜0.

由x2-2x-3=0，得

即拋物線y=x2-2x-3與x軸的交點坐標為(-1,0),(3,0).

因為點P(m,t) 為拋物線上的點，

所以0＜m＜3，m2-2m-3=t.

P′A2=

因為0＜m＜3，

二、教學啟示

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.將觀察放在學習活動過程之首，可見觀察在學習活動中的重要地位.

解題是對所求對象（數(shù)、式、圖形等）的觀察、聯(lián)想、比較、思考和發(fā)現(xiàn)的系列過程，在尋找“蛛絲馬跡”的線索中開啟思維之門.主動觀察、善于思考，表現(xiàn)在將條件（已知）和結論（未知）化為一體的綜合性聯(lián)動，將整體和局部聯(lián)系在一起做出宏觀分析和微觀思考.例如，整體替換法、構造法、換元法等，使求解過程呈現(xiàn)出巧妙、靈活、簡約的思維氣息，從而達到鍛煉學生思維靈活性和深刻性的目的.因此，教師要為學生創(chuàng)設一些通過觀察而使解題過程變得簡捷的題目，引導學生體驗觀察為解題帶來的便捷，并由此認識到觀察在數(shù)學學習活動中所占的重要地位.

案例1：已知a2-2b=2，求式子2a2-4b-3的值.

此題學生如果直接計算也可以得到所求結果，但是若仔細觀察所求式子和已知之間的數(shù)量關系，就會化復雜為簡單.

師：有思路的同學請舉手.

師：賦值法能化抽象為具體，這種方法值得大家去學習.

生2：由a2-2b=2，得a2=2+2b，代入所求式子，得2(2+2b)-4b-3=1.

師：將所求式子變?yōu)橹缓幸粋€字母的式子，需要將已知式子中的一個字母用含另一個字母的式子表示.運算過程中恰好消去了b，得到所求結果.

師：生3類比生2的方法，得到了所求結果.善于借鑒別人的經(jīng)驗，值得大家學習.

生4：觀察所求和已知，發(fā)現(xiàn)所求和已知之間有一種內在的聯(lián)系，所求式子中的2a2-4b=2(a2-2b)=4,這樣順利得到結果為1.

師：大家分享的4種解法中，生4的解法最為簡捷.大家能說說為什么嗎？

生5：生4沒有忙于計算，而是善于觀察已知和所求式子之間的聯(lián)系，把已知和所求式子進行掛鉤，巧妙得出結果.

師：解題前需要觀察.觀察是我們學習、思考問題的一扇窗.

案例2：如圖1，兩圓是以點O為圓心的同心圓，大圓的弦AB切小圓于點C，AB=8，求由兩圓組成的圓環(huán)面積.

圖1

師：大家表達自己的想法和解法.

生1：求圓環(huán)面積，需知兩圓的半徑，而兩圓的半徑都是未知的.至此我就解不下去了.

生2：“見切線，連半徑”，如圖2，連接OC，OA，則OC⊥AB.再也沒什么線索了.

師：圖中有了大圓和小圓半徑了，可列式試一試.

生3：πOA2-πOC2,還是沒有頭緒啊！

圖2

生4：πOA2-πOC2=π(OA2-OC2).而這里的OA2-OC2=AC2,至此“案子”已破.

師：生4將大圓半徑、小圓半徑，還有弦長的一半通過勾股定理這個媒介融合在一起，巧妙地得出圓環(huán)的面積.彰顯了觀察與聯(lián)想的魅力，體現(xiàn)了整體思想的魅力.

觀察與聯(lián)想是解題者展翅飛翔的羽翼，需要教師提供素材并慢慢的引導，逐步使學生認識到兩者的魅力所在，逐步養(yǎng)成主動觀察、善于聯(lián)想的思考習慣，逐步使思維視線由局部向整體轉移.