在“玩”中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

王元　王文清

【摘要】通過對教材上的一道二元不等式問題進行一般化的推廣，得到一個優(yōu)美的一般化的重要的二元不等式，進而用這個二元不等式演繹出一系列多元基本不等式，讓學(xué)生在“玩”中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

【關(guān)鍵詞】玩；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；二元不等式；多元均值不等式

常庚哲教授說：“……大多數(shù)的數(shù)學(xué)定理和命題就是數(shù)學(xué)家‘瞎鼓搗而玩出來的……”.“玩”不僅有“變式、變換、特殊化、一般化、類比、歸納、猜想、探索、推廣、應(yīng)用”的含義，而且要環(huán)環(huán)相扣，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成一系列的“智力游戲”、“思維游戲”、“推理游戲”.

下面以人民教育出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《選修45·不等式選講》第21頁“第二講——證明不等式的基本方法”：“一、比較法”的例1為例，看“數(shù)學(xué)是怎樣玩出來的”.

例1（教材P21）已知a，b是正數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3>a2b+ab2.

1在“玩”中做推廣

將指數(shù)3做推廣，可得一個優(yōu)美的重要二元不等式：若a，b，n，m均是非負(fù)實數(shù)，且n≥m，則an+bn≥ambn-m+an-mbm.[JY]（*）

證明因為an+bn-（ambn-m+an-mbm）=aman-m-bn-m-bman-m-bn-m

=am-bman-m-bn-m，

因為a，b，n，m均是非負(fù)實數(shù)，且n≥m，由冪函數(shù)的性質(zhì)知，am-bm與an-m-bn-m同號或同時為0，所以am-bman-m-bn-m≥0.

即an+bn-（ambn-m+an-mbm）≥0.

所以an+bn≥ambn-m+an-mbm.

2在“玩”中演繹多元不等式

2.1“玩”出“二元基本不等式”

在不等式（*）中，令n=2，m=1，即得，二元基本不等式：若a，b均是非負(fù)實數(shù)，則a2+b2≥2ab.

注由上面的不等式，只要一個代換“a2→a，b2→b”，并兩邊同除以2，即得二元均值不等式：

a+b2≥ab.

2.2“玩”出“三元基本不等式”

已知a，b，c均是非負(fù)實數(shù)，求證：a3+b3+c3≥3abc.

證明在不等式（*）中，令n=3，m=1知，a3+b3≥ab2+a2b，

同理，a3+c3≥ac2+a2c，

b3+c3≥bc2+b2c，

以上三個不等式左右兩邊分別相加，得

2a3+b3+c3≥ab2+c2+ba2+c2+ca2+b2≥2abc+2abc+2abc=6abc，

所以a3+b3+c3≥3abc.

注（1）上述證明是如此的簡潔、優(yōu)美，與教材上用比較法證明相比，不僅避開了學(xué)生初中未學(xué)的兩數(shù)和的立方與兩數(shù)立方的和公式及配湊法、配方法的運用，而且大大降低了解題難度、減少了解題長度，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了公理化的思想.所以上述處理方式很好地體現(xiàn)了“用教材教，而不是教教材”的要求.

（2）由上面的不等式，只要一個代換“a3→a，b3→b，c3→c”，并兩邊同除以3，即得三元均值不等式：a+b+c3≥3abc.

2.3“玩”出“四元基本不等式”

已知a，b，c，d均是非負(fù)實數(shù)，求證：a4+b4+c4+d4≥4abcd.

證明1在不等式（*）中，令n=4，m=2知，a4+b4≥2a2b2，

同理，c4+d4≥2c2d2，

以上兩個不等式左右兩邊分別相加得，

a4+b4+c4+d4≥2a2b2+c2d2≥4abcd.

證明2在不等式（*）中，令n=4，m=1知，a4+b4≥ab3+a3b，

同理，a4+c4≥ac3+a3c，

a4+d4≥ad3+a3d，

b4+c4≥bc3+b3c，

b4+d4≥bd3+b3d，

c4+d4≥cd3+c3d.

以上6個不等式兩邊分別相加，得

3a4+b4+c4+d4

≥a（b3+c3+d3）+b（a3+c3+d3）+c（a3+b3+d3）+d（a3+b3+c3）

≥a·3bcd+b·3acd+c·3abd+d·3abc

=3×4abcd，即a4+b4+c4+d4≥4abcd.

注（1）上面的證明1簡單的難以想象！（2）由上面的不等式，只要一個代換“a4→a，b4→b，c4→c，d4→d”，并兩邊同除以4，即得四元均值不等式：a+b+c+d4≥4abcd.

2.4“玩”出“五元基本不等式”

已知a，b，c，d，e均是非負(fù)實數(shù)，求證：a5+b5+c5+d5+e5≥5abcde.

證明在不等式（*）中，令n=5，m=1知，

a5+b5≥ab4+a4b，

同理，a5+c5≥ac4+a4c，

a5+d5≥ad4+a4d，

a5+e5≥ae4+a4e，

b5+c5≥bc4+b4c，

b5+d5≥bd4+b4d，

b5+e5≥be4+b4e，

c5+d5≥cd4+c4d，

c5+e5≥ce4+c4e，

d5+e5≥de4+d4e.

以上10個不等式兩邊分別相加，得

4（a5+b5+c5+d5+e5）≥a（b4+c4+d4+e4）+b（a4+c4+d4+e4）

+c（a4+b4+d4+e4）+d（a4+b4+c4+e4）+e（a4+b4+c4+d4）

≥5×4abcde，

所以，a5+b5+c5+d5+e5≥5abcde.

注由上面的不等式，只要一個代換“a5→a，b5→b，c5→c，d5→d，e5→e”，并兩邊同除以5，即得五元均值不等式：a+b+c+d+e5≥5abcde.

2.5“玩”出“n元基本不等式”

由上述一系列的結(jié)論，自然有下面的猜想：一般的n元均值不等式：若ai（i=1，2，3，…，n）均是非負(fù)實數(shù)，則∑ni=1ani≥n∏ni=1ai，即1n∑ni=1ai≥n∏ni=1ai.并且由5元基本不等式的證明方法，自然會想到可以用數(shù)學(xué)歸納法給出其證明.

證明（1）當(dāng)n=2時，a2+b2≥2ab已知成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，猜想正確，即∑ki=1aki≥k∏ki=1ai，

那么當(dāng)n=k+1時，因為ak+1i+ak+1i+m≥aiaki+m+akiai+m（i=1，2，3，…，k，m=1，2，…，k，i+m≤k+1），

以上C2k+1=kk+12個不等式相加，并由歸納假設(shè)可得，

k∑k+1i=1ak+1i≥∑k+1i=1ai∑k+1j=1，j≠iakj

=a1（ak2+ak3+ak4+…+akk+1）+a2（ak1+ak3+ak4+…+akk+1）+…+ak（ak1+ak2+ak3+…+akk-1+akk+1）+ak+1（ak1+ak2+ak3+…+akk）

≥k+1k∏k+1i=1ai，

所以，∑k+1i=1ak+1i≥k+1∏k+1i=1ai.

這就是說，當(dāng)n=k+1時，猜想也成立，即若ai（i=1，2，3，…，n）均是非負(fù)實數(shù)，則∑ni=1ani≥n∏ni=1ai，即1n∑ni=1ai≥n∏ni=1ai.3結(jié)束語

本文從教材中的一道例題開始，運用“類比”、“猜想”、“一般化”、“特殊化”等數(shù)學(xué)方法，首先得到了一個一般的二元不等式，并由此二元不等式依次演繹出了二元、三元、四元、五元、……、n元的基本不等式，且先得出的n元基本不等式是演繹下一個n+1元基本不等式的依據(jù)，演繹過程，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進，證明方法類同，可以說是“多題一解”的典型案例.這樣處理，學(xué)生興趣濃、難度小、負(fù)擔(dān)輕、記得住、學(xué)得牢、用得上、能遷移、效果好.

總之，精心研究教材，研究數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系，運用“類比、猜想、推廣、證明、應(yīng)用”的教學(xué)結(jié)構(gòu)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好像是在“玩”一場場智力游戲、思維游戲、推理游戲，并在“玩”中，掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，建立數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，形成良好的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，實踐數(shù)學(xué)方法（類比、猜想、證明、一般化、特殊化、公理化），學(xué)會探索、推廣數(shù)學(xué)問題的方法，學(xué)會創(chuàng)新，在享受數(shù)學(xué)中學(xué)會數(shù)學(xué)，這應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)教學(xué)必需遵循的一條教學(xué)原則.這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)必然會收到低負(fù)高效、事半功倍、點石成金的效果.